江苏省灌南高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省灌南高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间长度：120分钟 满分：150分 命题人：李磊磊 做卷人：汤湾湾
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
2. 化简，得（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量的夹角为60°，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ）
A. B.
C. (3，2)D. (1，3)
6. 已知，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（ ）
A. B. 6C. D.
8. 矩形中，，，是矩形内(不含边框)的动点，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中错误有（ ）
A. 充要条件是且B. 若，，则
C. 若，则存在实数，使得D.
10. 下列计算中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 都是锐角，，则
11. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 若非零向量，则不与垂直
B. 、为实数，若，则与共线
C. 若平面内有四个点，则必有
D. 在中，为中点，若，则是在上的投影向量
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 设为实数，已知为单位向量，向量的模为，，______．
13. 计算＝________.
14. 圆是中华民族传统文化形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，或是平面上两个不共线的向量，且， ，．
（1）若，方向相反，求k的值；
（2）若A，C，D三点共线，求k的值．
16. （1）已知，求的值；
（2）化简：.
17. 已知向量，．
（1）若，求实数k的值；
（2）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
18. 已知函数.
（1）求该函数的单调递增区间；
（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.
19. 在图1中，已知圆心角为的扇形AOB的半径为1，C是AB弧上一定点，，P是AB弧上一动点，作矩形MNPQ，如图2所示．
（1）求AB弧的长及扇形AOB的面积；
（2）若，求、和；
（3）在图2中，求矩形MNPQ面积的最大值？这时等于多少度？
灌南高级中学2024-2025学年第二学期第一次月考
高一年级数学学科试卷
考试时间长度：120分钟 满分：150分 命题人：李磊磊 做卷人：汤湾湾
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用垂直关系的向量表示，数量积的坐标表示列式计算得解.
【详解】向量，则，，
由，得，
所以.
故选：B
2. 化简，得（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逆用余弦函数的和差公式即可得解.
【详解】.
故选：C.
3. 已知向量的夹角为60°，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据向量数量积的定义，即可得答案；
【详解】，
故选：C.
【点睛】本题考查向量数量积的定义，考查运算求解能力，属于基础题.
4 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数的两角和差公式，对已知条件进行平方处理，然后通过变形得到的值．
【详解】解：对两边平方，，
即①，
对两边平方，，
即②，
① +②得，，
即，
即，
则，解得
故选：C
5. 已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ）
A B.
C. (3，2)D. (1，3)
【答案】A
【解析】
【分析】先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，由横坐标和纵坐标分别相等，得到结果．
【详解】设顶点的坐标为
，，
且，
故选：．
6. 已知，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据的范围确定，然后使用正切差公式.
【详解】由，知，故，从而.
所以.
故选：D.
7. 已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线定理和平面向量基本定理得到方程组，求解即可.
【详解】∵与是共线向量，
∴存在实数，使得，即，
已知是两个不共线的向量，
则有，解得.
故选：A.
8. 矩形中，，，是矩形内(不含边框)的动点，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的加法公式，可得，再根据数量积公式化简可得，结合三角函数的性质，即可求出结果.
【详解】记，则，，
，，
所以当，时，取最小值.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中错误的有（ ）
A. 的充要条件是且B. 若，，则
C. 若，则存在实数，使得D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于选项A，根据相等向量的定义，即可做出判断；对于选项B，根据零向量与任意向量平行即可做出判断；对于选项C，根据向量与共线的充要条件即可做出判断；对于选项D，根据向量加法的三角形法则即可做出判断.
【详解】对于选项A，若，则和的长度相等且方向相同.
当时，和的长度相等；
当时，和的方向不一定相同，故A不正确；
对于选项B，若，，则当，和不一定平行，故B不正确；
对于选项C，若，则当，则存在唯一一个实数，使得；
当，时，则不存在实数，使得，故C不正确；
对于选项D，由向量加法的三角形法则可知，，故D正确.
故选：ABC.
10. 下列计算中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 都是锐角，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，利用商数关系和正弦的和差公式，即可求解；对于B和C，取特殊角，即可求解；对于D，根据条件，利用平方关系，求得，，再通过构角，利用余弦的差角公式，即可求解.
【详解】对于A，因为，正确，
对于B，当时，，错误，
对于C，当时，，错误，
对于D，因为都是锐角，则，又，则，，
所以，正确，
故选：AD.
11. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 若为非零向量，则不与垂直
B. 、为实数，若，则与共线
C. 若平面内有四个点，则必有
D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，取，即可求解；对于B，取，即可求解；对于C，利用向量的运算，即可求解；对于D，根据条件，利用向量的运算，可得，再利用投影向量的定义，即可求解.
【详解】对于选项A，若，则有，
此时与垂直，所以选项A错误，
对于选项B，若，则，但与不一定共线，所以选项B错误，
对于选项C，因为，即，所以选项C正确，
对于选项D，因为分别是与同向的单位向量，
又，且为的中点，知，即，
所以是在上的投影向量，故选项D正确，
故选：CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 设为实数，已知为单位向量，向量的模为，，______．
【答案】
【解析】
【分析】由数乘向量模的性质可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为为实数，已知为单位向量，向量的模为，，
则，解得.
故答案为：.
13. 计算＝________.
【答案】1
【解析】
【分析】
将式中用代换，然后利用两角差的正切公式可得答案
【详解】解：＝＝tan 45°＝1.
故答案为：1
【点睛】此题考查两角差的正切公式的应用，属于基础题.
14. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解.
【详解】如图，为圆心，连接，则,
因为点在线段上且，则圆心到弦的中点的距离，这也是的最小值.
所以，所以，
则，即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，或是平面上两个不共线的向量，且， ，．
（1）若，方向相反，求k的值；
（2）若A，C，D三点共线，求k的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由，方向相反，则存在负数使得，再根据向量相等即可求出k的值；
（2）由A，C，D三点共线，则存在使得，再根据向量相等即可求出k的值．
【小问1详解】
由，方向相反，则存在负数使得，
所以，
所以，解得或(舍去)，
故k的值为．
【小问2详解】
由A，C，D三点共线，则存在使得，
又，
所以，
所以，解得或，
故k的值为或．
16. （1）已知，求的值；
（2）化简：.
【答案】（1）；（2）-1
【解析】
【分析】（1）通过联立方程组求解的值，再结合角的范围确定，进而求出和；（2）先对原式进行切化弦化简，利用三角函数差角公式逐步变形，最终得出结果.
【详解】（1）由可得.
解得或，
由，故.
所以.
于是.
（2）原式
.
17 已知向量，．
（1）若，求实数k的值；
（2）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
【答案】（1）k＝
（2）．
【解析】
【分析】（1）先求出，然后再根据垂直关系即可求出；
（2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数k的取值范围.
【小问1详解】
，
因为，所以，
解得：.
【小问2详解】
若与的夹角是钝角，
则且与方向不相反，
即，且
解得：且，
故实数k的取值范围是.
18. 已知函数.
（1）求该函数的单调递增区间；
（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）易得，再利用正弦函数的性质求解；
（2）由得到，根据，得到，则由求解.
【小问1详解】
，
，
令，，则，，
故该函数的单调递增区间，；
【小问2详解】
对任意，都有可得，
所以，
又，所以，
要满足对任意，都有，则有，
解得：，
所以实数的取值范围为.
19. 在图1中，已知圆心角为的扇形AOB的半径为1，C是AB弧上一定点，，P是AB弧上一动点，作矩形MNPQ，如图2所示．
（1）求AB弧的长及扇形AOB的面积；
（2）若，求、和；
（3）在图2中，求矩形MNPQ面积的最大值？这时等于多少度？
【答案】（1）;.
（2）;；
（3）当，矩形面积的最大值为.
【解析】
【分析】（1）先由公式求弧AB长，再由扇形的面积公式求出扇形AOB的面积；
（2）由两角差的正切公式可得的值，进而求出的大小，再求出的大小，由两角差的余弦公式可求出的值.
（3）设，即可由三角函数表示出，即可得矩形MNPQ面积与的函数式，最后进行变换得，即可讨论最值最值成立的条件.
【小问1详解】
解：AB弧的长为，
根据扇形的面积公式可得.
【小问2详解】
因为，，
所以,
，因为，所以，
，
.
【小问3详解】
设，则，，
所以，
所以矩形的面积
，
，所以当时，取得最大值，
所以，矩形面积的最大值为.