江苏省徐州市铜山区大许中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份江苏省徐州市铜山区大许中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了 单选题， 多选题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列结论中，不正确的是（ ）
A. 向量共线与向量∥意义是相同的
B. 若=，则∥
C. 若向量，满足，则=
D. 若向量=则向量=
2. 在中，为边上中线，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，，若，则点的坐标为（ ）
A. （3，2）B. （3，-1）C. （7，0）D. （1，0）
4. 的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知平面向量满足，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（ ）
A B. C. 2D.
8. 已知角，均在内，，，则角的值为（ ）
A. B. C. D.
二、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知向量，其中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若与夹角为锐角，则
C. 若，则在方向上投影向量为D. 若
10. 下列化简正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
三、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12 已知向量，若，则_____.
13. 计算：_________．
14. 已知，且为锐角，则的值为_________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，．
（1）求；
（2）若向量与互相垂直，求值．
16. 已知，，.
（1）求；
（2）求.
17. 已知.
（1）求的值；
（2）求值.
18. 已知△ABC中，A(2,4)，B(－1,－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）求点D和向量 的坐标；
（3）设∠ABC＝θ，求cs θ．
19. 已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
大许高一第二学期月考数学试卷
一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列结论中，不正确的是（ ）
A. 向量共线与向量∥意义是相同的
B. 若=，则∥
C. 若向量，满足，则=
D. 若向量=则向量=
【答案】C
【解析】
【分析】由平行向量和共线向量的定义，相反向量的概念，逐个选项验证即可.
【详解】选项 A, 由向量共线的定义可得向量 共线与向量 意义是相同的, 故A正确;
选项 B, 当向量 , 则一定有 , 故B正确;
选项 C, 向量 满足 , 但方向不定, 故不一定有 , 故C错误;
选项 D, 由向量 和相反向量可得向量 , 故D正确.
故选: C.
2. 在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.
【详解】∵为边上的中线，∴，
∵E为的中点，∴，
∴，
故选：D.
3. 已知，，若，则点的坐标为（ ）
A. （3，2）B. （3，-1）C. （7，0）D. （1，0）
【答案】C
【解析】
【分析】设点的坐标为，根据，列出方程组，即可求解.
【详解】设点的坐标为，则，，
因为，即，
所以，解得，所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示，以及平面向量的坐标运算，其中解答中熟记平面向量的坐标表示及运算是解答的关键，着重考查运算能力.
4. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】由
，
故选：C.
5. 已知平面向量满足，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】由得，
由得，即
故选：B
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用两角和的正切公式计算即可.
【详解】因为，，则.
故选：D.
7. 如图，在直角梯形中，，，，为中点，若，则的值（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解.
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：
则，
所以，
因为，
所以，
则，解得，
所以，
故选：B
8. 已知角，均在内，，，则角的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由同角的平方关系可得，再由余弦的和差角公式，即可得到结果.
【详解】因为，且，所以，
因为，所以，所以为钝角，
所以，
则
，且，则.
故选：C
二、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知向量，其中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若与夹角为锐角，则
C. 若，则在方向上投影向量为D. 若
【答案】AC
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数判断A；根据向量夹角为锐角有，注意同向共线的情况判断B；由投影向量的定义求投影向量判断C；根据向量坐标求模判断D.
【详解】若，则，解得，A正确；
若与夹角为锐角，则，解得，
当，，此时，与夹角为，B错误；
若，则，因为在方向上投影为，与同向的单位向量为，
所以在方向上投影向量为，C正确；
由题设，，D错误.
故选：AC
10. 下列化简正确是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由和差角公式，二倍角公式求值逐项判断即可.
【详解】对于A，，
故A正确；
对于B，
，
，故B错误；
对于C，，
故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据同角三角函数基本关系式，结合角的变换公式，即可求解.
【详解】A.由，则，，故A正确；
B. 由，则，，故B错误；
C.，，
，故C正确；
D.由，则，故D正确.
故选：ACD
三、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，若，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】求出的坐标，根据平面共线向量的坐标运算列方程求解.
【详解】因为向量，可得，
又因为，可得，
解得，可得.
故答案为:.
13. 计算：_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用差角的正切公式可得答案.
【详解】，
所以.
故答案为：
14. 已知，且为锐角，则的值为_________．
【答案】##45°
【解析】
【分析】由题先求出的值，再求出的值，再利用的范围求出角即可．
【详解】为锐角，，
，
，
为锐角，，
故答案为：．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15 已知向量，．
（1）求；
（2）若向量与互相垂直，求的值．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量数量积的定义计算即可；
（2）根据平面向量垂直的性质可得到，计算即可求解.
【小问1详解】
由，，
.
【小问2详解】
若向量与互相垂直，
则，
所以．
16. 已知，，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的余弦公式可求得的值；
（2）计算出、的值，再利用两角差的余弦公式可求得的值.
小问1详解】
解：因为，则，
所以.
【小问2详解】
解：由（1）可得，
因为，则，
可得，
所以
.
17. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角基本关系式可求；
（2）先由同角基本关系式求出，再由，可解.
【小问1详解】
因为，
所以，又，
则，
【小问2详解】
由，
，
所以，则，
所以，
因为，所以.
18. 已知△ABC中，A(2,4)，B(－1,－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）求点D和向量 的坐标；
（3）设∠ABC＝θ，求cs θ．
【答案】（1）证明见解析
（2）D点坐标为，＝．
（3）
【解析】
【分析】（1）由向量垂直的坐标表示求解即可；
（2）设D点坐标，由向量垂直与平行的坐标表示求解即可；
（3）由两向量夹角的余弦公式直接求得.
【小问1详解】
证明：因为，
所以
即．
【小问2详解】
设D点坐标为，则．
∵AD⊥BC，
∴，即.①
又，，
所以，即，②
由①②解得，
故D点坐标为，又A(2,4)，
∴．
【小问3详解】
因为
所以．
19. 已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得出，结合两角和的余弦公式化简可得结果；
（2）求出的值，利用两角和的正切公式可求得的值，求出的取值范围，即可得解.
小问1详解】
解：，则
，
因此，.
【小问2详解】
解：因为且，所以，，
因为，则，，
因为，故，
所以，，所以，，
所以，，
因此，.