人教A版高三数学一轮复习-正余弦定理与解三角形-2025届数学零基础讲义（学生版+教师版）

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在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2、三角形常用面积公式
（1）(表示边上的高)；
（2）；
（3）(为三角形内切圆半径)．
3、三角形中的射影定理
在 中，；；．
4、常用解题技巧
在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．
重点题型·归类精讲
题型一 正余弦定理的选择
【例1-1】（2023年真题）记的内角的对边分别是，若，则AB边上的高为 ．
【例1-2】（2022年真题）在中，边AB、AC、BC分别对应着角C、角B、角A，已知，则AB=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例1-3】（2019年真题）在中，，则___
【例1-4】（2017年真题）的内角的对边分别为，若，则
A、 B、 C、 D、
【例1-5】（2015年真题）已知是钝角三角形，，则
A、 B、 C、 D、
【例1-6】（2014年真题）在中，三边的比为，则的最大角等于
A、 B、 C、 D、
【变式1】（2011年真题）在中，，则
【变式2】在中，角的对边分别是，已知，，，则（ ）
A．7B．19C．D．
【变式3】在中，角所对的边分别为，若，则角（ ）
A．B．C．D．
【变式4】在中，边长，则边长（ ）
A．B．C．D．
【变式5】在中，已知，则 ；
【变式6】在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
题型二 三角形的周长与面积
【例2-1】（2021年真题）记的内角A、B、C的对边分别是，已知。
（1）求；
（2）求的面积。
【例2-2】（2008年真题）是锐角的三条边，已知的面积是，则
【例2-3】（2006年真题）在中，已知其三边长的长度分别是，且是边上的高，则的长度等于___
【变式1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【变式2】在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【变式3】在锐角中，，，分别为角、、所对的边，且.
(1)求角.
(2)，，求的面积.
【变式4】的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
题型三 边角互换常见形式
【例3-1】（2016年真题）的内角的对边分别为，且，则
A、 B、 C、 D、
【例3-2】（2014年真题）的内角的对边分别是，且
(1)证明：为直角三角形
(2)若成等差数列，求
【例3-3】（2007年真题）中和的对边分别是和，满足，则的大小为
A、 B、 C、 D、
【例3-4】（2005年真题）在中，角的对边分别是，则
A、 B、 C、 D、
【变式1】在中，角所对的边分别为，，角= 。
【变式2】在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，角=
【变式4】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，:，求角=
题型四 解三角形的综合运用
【例4-1】（2024年真题）在中，
(1)求
(2)点在边上，且，求的面积
【例4-2】（2020年真题）的内角的对边分别为
(1)若，求
(2)若，求的面积
【例4-3】（2019年真题）的内角成等差数列
(1)求
(2)求的最大值
【例4-4】（2012年真题）已知是锐角三角形，证明：
【变式1】已知A、B、C为的三个内角，它们的对边分别为a、b、c，若2acsA=ccsB+bcsC．
（1）求A；
（2）若，的面积，求b+c的值．
【变式2】在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【变式3】已知的三个内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长.
课后模拟·巩固练习
1、在中，角、、的对边分别为、、，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2、在中，若，则（ ）
A．B．C．
3、在中，已知，则角A等于（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
4、在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
5、在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
6、在中，内角、、的对边分别为、、，已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
7、在中，已知，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
8、在中，，则（ ）
A．B．C．D．
9、在中，角，，的对边分别为，，，若的面积等于，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
10、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． 若，，，则边c=_______，ABC的面积等于_______
11、在中，角所对的边分别为，若角依次成等差数列，且，则____________．
12、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，．
（1）求角C的大小；
（2）求的值；
（3）求的值．
13、在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
14、（1）在中，角所对的边分别为，若，则角 。
（2）已知中，角的对边分别为，，则角 ．
（3）在中，，则
（4）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 .
15、在△ABC中，若，则（ ）
A．B．C．D．
16、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则 ．
17、在中，，，，则边上的高为 ．
18、在中，角的对边分别为.已知向量，向量，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值.定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
．
常见变形
（1）边化角
，，；
（2）角化边
，，；
；
．