人教A版高三数学一轮复习-三角函数图像及其性质-2025届数学零基础讲义（学生版+教师版）

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2、常见三角函数的周期计算公式
（1）函数或的周期;
（2）函数的周期;
（3）函数的周期;
（4）函数的周期.
3、y=Asinωx+φ的图象与性质
①函数图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.
②由到的变换:向左平移个单位长度而非个单位长度
重点题型·归类精讲
题型一 三角函数的图像的周期类问题
【例1-1】（2020年真题）函数的最小正周期是
A、 B、 C、 D、
【例1-2】下列函数中，最小正周期为π的函数是（ ）
A．y＝sinx B．y＝cs x C．y＝sin D．y＝cs
【例1-3】函数的最小正周期是 .
【变式1】函数的最小正周期是 .
题型二 三角函数图像的奇偶性类问题
【例2-1】（2024年真题）函数是
A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的偶函数
C、最小正周期为的奇函数 D、最小正周期为的偶函数
【例2-2】（2018年真题）函数是
A、最小正周期为2的周期函数，且为奇函数B、最小正周期为4的周期函数，且为奇函数
C、最小正周期为2的周期函数，且为偶函数D、最小正周期为4的周期函数，且为偶函数
【例2-3】（2007年真题）已知，函数为偶函数，则
【例2-4】（2006年真题）函数是
A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的偶函数
C、最小正周期为的奇函数 D、最小正周期为的偶函数
【例2-5】（2005年真题）函数在区间上是
A、奇函数 B、偶函数 C、减函数 D、增函数
【例2-6】（2003年真题）函数的最小正周期是___
【变式1】下列函数中，周期为的奇函数为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A． B．
C．D．
【变式3】已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型三 三角函数图像的单调性类问题
【例3-1】（2016年真题）函数的单调递增区间是___
【例3-2】（2011年真题）已知函数，则是区间
A、上的增函数 B、上的增函数
C、上的增函数 D、上的增函数
【例3-3】（2009年真题）函数
A、在上是增函数 B、在上是增函数
C、在上是减函数 D、在上是减函数
【例3-4】已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【变式1】函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．，D．
【变式2】已知函数，则（ ）
A．在单调递减B．在单调递增
C．在单调递减D．在单调递增
【变式3】函数， 的单调递减区间为 ．
题型四 三角函数图像的对称性类问题
【例4-1】（2016年真题）函数图像的对称轴为
A、 B、
C、 D、
【例4-2】函数的图象（ ）
A．关于直线对称B．关于直线对称
C．关于点对称D．关于点对称
【例4-3】函数图象的一个对称中心可以是（ ）
A．B．C．D．
【例4-4】若函数的图象关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】函数的一个对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】下列直线中，可以作为曲线的对称轴的是（ ）
A．B．C．D．
题型五 三角函数图像的最值、值域类问题
【例5-1】（2022年真题）函数的最小值是（ ）
A.-7 B.-6 C.-5 D.-4
【例5-2】（2019年真题）函数的最大值是
A、 B、 C、 D、
【例5-3】（2015年真题）函数的最小正周期和最小值分别是
A、和 B、和 C、和 D、和
【例5-4】（2013年真题）已知函数
(1)求该函数的最小正周期
(2)当时，求该函数的最大值
【例5-5】（2009年真题）函数的最小值是
A、 B、 C、0 D、1
【例5-6】（2004年真题）使函数取得最小值的所有的集合是___
【变式1】函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
【变式2】已知函数，，若函数的值域为，则 .
【变式3】函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4】函数的值域是 ．
【变式5】函数，的值域是 .
题型六 三角函数图像伸缩平移变换
【例6-1】（2008年真题）函数的图象由的图象向右平移个单位得到，则
A. B. C. D.
【例6-2】为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【变式1】已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，则( )
A．B．
C．D．
【变式2】已知函数，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
题型七 三角函数图像综合
【例7-1】（2023年真题）已知函数，则（ ）
A.的最大值为 B.的最小正周期为
C.曲线关于直线 对称 D.曲线关于点对称
【例7-2】（2014年真题）若且，则
A、 B、 C、 D、
【例7-3】（2011年真题）已知函数的图像与函数的图像关于轴对称，则
A、 B、 C、 D、
【例7-4】（2010年真题）已知函数
(1)求的最小正周期和最小值
(2)图像的对称轴方程为，求所有可能的值
(3)若，求的值
【例7-5】（2007年真题）已知，如果函数的最小正周期是，且其图象关于直线对称，则取到函数最小值的自变量是
A、 B、
C、 D、
【变式1】（2007年真题）已知集合，则______(用区间表示)
【变式2】已知函数，则错误的是（ ）
A．的最小值为
B．的图象关于点对称
C．直线是图象的一条对称轴
D．在区间上单调递减
课后模拟·巩固练习
1、函数的（ ）
A．图象关于x轴对称B．图象关于y轴对称
C．图象关于原点对称D．以上都不对
2、列函数中，是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
3、已知函数，则下列描述错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．是函数图象的一个对称轴
C．是函数图象的一个对称中心
D．若函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，则为奇函数
4、将函数（）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
5、已知函数．
(1)求的图象的对称中心和对称轴；
(2)写出的单调递增区间；
(3)当时，求的最值．
6、若函数）是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7、函数的单调递增区间是 .
8、函数的一个单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
9、已知函数，则的值域是（ ）
A．B．C．D．
10、函数的最小值是 ．
11、函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
12、函数的最小值是 ．
13、设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
14、已知函数，则“＋2kπ，k∈Z”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
15、不等式在上的解集为（ ）
A．B．
C．D．
16、函数的最小值是（ ）
A．B．C．0D．
17、函数与y轴最近的对称轴方程是 ．
18、求函数，的最大值为 ，最小值为 ．
19、（1）函数，的值域为 ；
（2）函数的最大值是 .
20、已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若，求函数的最大值．
21、设函数．
（1）求的最小正周期和对称轴方程；
（2）当，时，求值域．函数
图象
定义域
R
R
值域
R
函数的最值
最大值1,当且仅当
最小值-1,当且仅当
最大值1,当且仅当,
最小值-1,当且仅当,
无最大值和最小值
单调性
增区间
减区间
增区间;减区间
增区间
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性
周期为,
最小正周期为
周期为,
最小正周期为
周期为,最小正周期为
对称性
对称中心
，
对称轴
无对称轴
零点