人教A版高三数学一轮复习-平面向量-2025届数学零基础讲义（学生版+教师版）

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①向量：既有大小又有方向的量叫向量；
②向量的模：向量的大小或长度；
③零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是任意的；
④单位向量：长度为1的向量；
⑤平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量；
⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量；
⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量；
注明：零向量的方向是任意的，零向量和任何向量平行.
2、平面向量的线性运算
①加减法运算(减法理解为加())：
②平面向量的运算律
（1）加法交换律：；
（2）加法结合律：；
（3）数乘运算：①当时，表示方向和相同，但是模是的倍.
②当时，表示方向和相反，但是模是的倍.
③当时，.
③向量的共线定理：若向量与向量共线，则存在唯一一个实数，使.
④平面向量的数量积：
1）定义：我们把数量叫作与的数量积，即。
2）运算律：①交换律：；②数乘结合律：；③分配律：；
3、平面向量的基本定理与坐标运算
①平面向量的基本定理
如果是同一个平面内的两个非零向量，那么对于这一平面的任意向量，存在唯一一对实数，使；其中，不共线向量叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.
②平面向量的坐标表示与运算
1）向量的坐标求法：已知，则
.
2）向量的坐标运算：已知，则
①；②；
4、平面向量坐标表示与向量表示的相关运算
已知两个非零向量，则：
重点题型·归类精讲
题型一 平面向量中的坐标运算
【例1-1】（2024年真题）已知点，点满足，则的坐标是
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】方法一:向量的运算。
设向量
所以的坐标
方法二:向量的坐标表示。
在坐标系中找到坐标
在第四象限，故选
【例1-2】（2017年真题）已知向量，则___
【答案】
【解析】
【例1-3】（2008年真题）已知平面向量，则
A.-1 B.1 C.-3 D.3
【答案】C
【解析】方法一：
方法二：
【变式1】已知向量，若，则实数m等于（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】D
【解析】由题意：；故选：D
【变式2】已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为向量，所以，则，即，故选：D
【变式3】已知，，求：
(1)；
(2).
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，，所以.
（2）因为，，所以.
【变式4】已知点、、，求．
【答案】
【详解】因为、、，所以，，
所以.
题型二 平面向量中的数量积问题
【例2-1】（2022年真题）若向量满足，且的夹角为120°，则 ．
【答案】-3
【解析】
【例2-2】（2006年真题）设与是平面向量，已知，且，则向量
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】设，即
，解得，所以
求解过程：
所以
本题可快速猜解：正好满足
【例2-3】已知等边三角形边长为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由向量的数量积的运算，可得.
故选：A.
【例2-4】已知向量与的夹角为，且，，则 .
【答案】13
【答案】∵向量与的夹角为，且，，
∴.
故答案为：13.
【变式1】已知向量、满足， 与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为， 与的夹角为，
所以，故选：C
【变式2】己知向量，满足，，且，则与的夹角为____
【答案】
【解析】设与的夹角为，
因为，所以，所以，，
因为 ，，所以，，
因为，所以，故答案为：
题型三 平面向量中的夹角问题
【例3-1】（2023年真题）已知向量，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．120° D．135°
【答案】D
【解析】本题考查数量积公式
与的夹角为
【例3-2】（2015年真题）若向量满足，则___
【答案】
【解析】
【例3-3】（2011年真题）已知平面向量，则与的夹角是
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】设夹角为
【例3-4】已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
【例3-5】已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
【变式1】已知非零向量与满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，而，所以，
所以.
故选：B
【变式2】已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【答案】因为，所以，
设与的夹角为，所以，所以.故选：D
【变式3】已知为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【答案】由题意可得，
将两边平方可得；
可得，可得；
设与的夹角为，则，
所以.
故选：C
题型四 平面向量中的平行、垂直问题
【例4-1】（2018年真题）已知平面向量，单位向量满足，则与的夹角是
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】向量垂直，相乘等于0，即，单位向量长度为1，，所以。
【例4-2】（2016年真题）已知平面向量，若与垂直，则___
【答案】2
【解析】，与垂直
【例4-3】（2012年真题）已知平面向量，若，则
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】
【例4-4】（2009年真题）已知非零向量，满足，且与垂直，则与的夹角为
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】与垂直，则为两个向量的夹角)，，故选B
【例4-5】（2007年真题）已知向量，则与垂直的单位向量是___
【答案】或
【解析】单位向量长度为1，故与垂直的单位向量为
或
【变式1】设向量，若∥，则 .
【答案】2
【解析】因为∥，则，解得.故答案为：2
【变式2】已知向量，．若，则 ．
【答案】1或
【解析】因为向量，，，
所以有，或，
故答案为：1或
【变式3】已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
题型五 平面向量中的长度（模长）问题
【例5-1】（2021年真题）若向量满足，则 ．
【答案】
【解析】思路，见到向量的模(两边有坚线)，先平方，后开方
(向量的平方就是向量长度、向量模的平方)
【例5-2】（2020年真题）已知向量满足，且与的夹角为，则__
【答案】
【解析】思路:向量见模平方
(完全平方公式)
(舍去)或
【例5-3】（2019年真题）已知向量，则
A、5 B、4 C、3 D、
【答案】A
【解析】

【例5-4】（2013年真题）若平面上单位向量的夹角为，则
A、5 B、4 C、3 D、2
【答案】A
【解析】先平方、后开方，
【例5-5】（2010年真题）为平面向量，已知夹角为，则___
【答案】2
【解析】先平方、后开方：，
【例5-6】（2005年真题）已知向量与的夹角为，则
【答案】
【解析】方法一：画出向量，用勾股定理求解
方法二：先平方、再开方
【变式1】已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】∵，又∵
∴9，∴故选：C.
【变式2】已知平面向量，满足，，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【解析】因为，，所以，
即.故选：C
课后模拟·巩固练习
1、设平面向量，，且，则=（ ）
A．1B．14C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以又，则所以，
则，故选：
2、平面向量，若，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，解得，所以，所以．
故选：C．
3、已知向量，，.若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，由可得，，
即，整理得.
又因为，所以，联立，解得或，故，故选C
4、已知点、，且，求点的坐标．
【答案】
【分析】设点的坐标为，利用平面向量的坐标运算与向量相等列出方程组，求解即可．
【详解】设点，由得，，
因为，所以，解得，
所以点的坐标为．
5、设，向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，又，所以，得到，所以，得到，
所以，故选：B
6、若向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，则，
由，有，得，
由，则与的夹角为.
故选：C
7、向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，，又因为，
解之得：，故B项正确.故选：B
8、（多选）设向量，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】对A，，所以，所以，故A正确；
对B，，所以，所以B错误；
对C，因为，且为不共线的两向量，所以，故C正确；
对D，因为，且为不共线的两向量，所以D错误.
故选：AC.
9、已知平面向量，且与的夹角为，则（ ）
A．B．4C．2D．0
【答案】C
【答案】因为，所以，故选：C.
10、已知向量满足，，，则（ ）
A．B．C．5D．20
【答案】B
【答案】因为，所以，所以，
所以.
故选：B.
11、已知向量，的夹角为，，且向量与垂直，则实数（ ）
A．2B．C．D．2
【答案】D
【解析】由，则，即，解得.
故选：D.
12、已知向量，的夹角为，，，则 ．
【答案】
【解析】由题意，
向量，的夹角为，，，
，
故答案为：.
13、已知向量，且，则（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】C
【解析】，由于，所以.故选：C
14、已知向量，，则（ ）
A．B．5C．7D．25
【答案】B
【解析】根据题意，向量，，则，故.故选：B．
15、已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意：，，，所以.故选：D
16、已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，，
∴，
∵，
∴，解得：，
故选：B.
17、已知向量，，，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】因为向量，，所以，
因为，所以，可得，故选：D
18、已知非零向满足，且，则向量的模长为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【解析】解：设，因为，所以，
又，所以，解得.故选：B.
19、已知向量，的夹角为，，，则（ ）
A．B．21C．3D．9
【答案】C
【解析】由题意得：，
故选：C
20、已知向量，满足，，，则_________.
【答案】
【解析】由可得，，即，解得：，所以．
故答案为：．法则
图形表示
三角形法则
平行四边形法则
向量表示
坐标表示
向量的模
，的数量积
与的垂直
与的平行
与的夹角