人教A版高三数学一轮复习-指对幂函数的性质-2025届数学零基础讲义（学生版+教师版）

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①根式
1）如果，那么叫做的次方根；
2）式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数；
3）当为奇数时，；当为偶数时，
②分数指数幂的意义
1）分数指数幂
1°正分数指数幂： 2°负分数指数幂：
3°0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的0次幂没有意义．
2）实数指数幂的运算性质
③指数函数的概念、图象与性质
1）指数函数的概念：函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是，是底数．
易错点：形如且且的函数叫做指数型函数，不是指数函数.
2）指数函数的图象与性质
2、对数运算及对数函数
①对数的概念
1）一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
2）常用对数与自然对数
②对数的性质与运算性质
1)对数的运算法则 如果且那么


2)对数恒等式：
3)对数换底公式:1°换底公式： ，推广
③对数函数的图象与性质
3、反函数
指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称
4、幂函数
①幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
②常见的五种幂函数的图象和性质比较
重点题型·归类精讲
题型一 根式与指数幂互化
【例1-1】计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1) (2)100 (3)
【解析】（1）原式=1+=1+=
（2）原式===100
【变式1】化简（式中各字母均为正数）：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）原式.
（2）原式.
（3）方法一（从里向外化）．
方法二（从外向里化）
题型二 指数函数的概念
【例2-1】下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】指数函数解析式为且，
对于①②④，、和不符合指数函数解析式特征，①②④错误；
对于③，符合指数函数解析式特征，③正确.故选：B.
【变式1】若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数是指数函数，所以.故选：C
题型三 指数函数的解析式与函数值
【例3-1】指数函数且图像经过点，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【解析】由题意，得，故，故选：C
【变式1】若指数函数的图象经过点，则 ．
【答案】/
【解析】设指数函数且，过点，，解得：，，.故答案为：.
题型四 与指数函数相关的值域问题
【例4-1】（2021年真题）函数的最小值是 ．
【答案】1
【解析】这是一个指数函数，因为，所以函数是偶函数，关于轴对称，轴是函数对称轴，所以当时，函数取最小值，最小值。可利用五点作图画出大致图象。过点当时，，取最小值
【例4-2】求下列函数的值域；
(1)； (2)； (3).
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）的定义域为R，值域为；（2）由知，故的定义域为；
由知，故的值域为；（3）的定义域为；由知，故的值域为.
【例4-3】函数的值域是 ．
【答案】
【解析】由函数值域为，则函数的值域为.故答案为：
【变式1】函数的值域为 ．
【答案】
【解析】因为函数在上是增函数，所以，
，故函数值域为：，故答案为：.
【变式2】若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】∵在R上单调递增，∴在上单调递增，∴当x=2时，取得最小值为4；当x=a时，取得最大值为 ，∴，解得：a=3.故选：C.
题型五 指数函数图像
【例5-1】已知对不同的值，函数的图象恒过定点，则点的坐标是 .
【答案】
【解析】由指数函数的图象恒过点，而要得到函数的图象，
可将指数函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位.则点平移后得到点.则点的坐标是故答案为：
【例5-2】函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由图象可知，函数为减函数，
从而有；法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标，令，得，
由，即，解得.
法二：函数图象可看作是由向左平移得到的，则，即.故选：D.
【变式1】利用函数的图象，作出下列各函数的图象：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
【答案】作图见解析
【解析】
题型六 指数函数型的单调性及应用
【例6-1】函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，解得，所以函数的定义域为，因为开口向下，对称轴为，可知在上单调递增，在上单调递减，且在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间为.故选：B.
【例6-2】（2020年真题）已知
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】利用数形结合画出图象当时，比较与的大小
当时，在上面在下面，即
【例6-3】解不等式
解：

【例6-4】（1）已知，，，则（ ）.
A．B．C．D．
（2）下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】（1）B（2）A
【解析】（1），即；，即；，即.所以有.故选：B.（2）由幂函数在R上单调递增，则，又指数函数在R上单调递减，则.则故选：A.
【变式1】已知函数，则的增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数定义域为，令，又在上单调递增，的增区间为，所以的增区间为.故选：A.
【变式2】已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，因为，所以，因此.故选：B
【变式3】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由单调递增，则可知，即B正确.
题型七 指数式与对数式互化
【例7-1】将下列指数式与对数式进行互化．
(1) (2) (3) .(4)； (5)； (6)
【答案】(1)(2)(3)(4)；（5)；(6)
【解析】（1）由可得.（2）由，可得.（3）由，可得.（4）由，可得；（5）由，可得；（6）由，可得；
【变式1】将下列指数式与对数式互化．
(1)； (2)； (3)； (4).
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，所以；（4）因为，所以.
题型八 对数运算性质
【例8-1】（2017年真题）___
【答案】2
【解析】
【例8-2】（2004年真题）的值是
A、1 B、4 C、18 D、28
【答案】B
【解析】
【例8-3】求下列各式中x的值．
(1)； (2)； (3).
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】（1）∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴；（3）由可得，，故，所以.
【例8-4】求下列各式的值．
(1)；(2)；(3)
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）；
（2）；
（3）
【变式1】计算下列各式的值．
(1)；
(2)
【答案】(1)1(2)
【解析】（1）原式可化为：
（2）原式可化为：
题型九 对数与指数的综合应用
【例9-1】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，，所以，所以.故选：B.
【变式1】已知，则 .
【答案】2
【解析】由题意可得，，则，，
故.故答案为：2.
题型十 对数函数的概念
【例10-1】若函数是对数函数，则a的值是（ ）
A．1或2 B．1 C．2 D．且
【答案】C
【解析】∵函数是对数函数，∴，且，解得或，∴，故选：C．
【变式1】下列函数是对数函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是，对于A，满足，故A正确；对于B，C，D，形式均不正确，均错误.故选：A
题型十一 对数函数图像的辨析
【例11-1】函数与（其中）的图象只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误；对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意；对于C，时，为上增函数，图象错误；对于D，时，为上增函数，图象错误；故选：B
【变式1】若，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】，在上单调递减，且过第一，第四象限，图像向左平移个单位，得到，故函数的图象不经过第一象限，故选：．
题型十二 比较对数值的大小
【例12-1】比较下列各组中两个值的大小．
①.②.③.④且.
【答案】答案见解析
【解析】①因为在上是增函数，且，则，所以
②作出和的图象如下图．由图象知.
③因为，,所以.
④当时，函数在定义域上是增函数，则有；
当时，函数在定义域上是减函数，则有.
综上所述，当时，；当时，.
【变式1】三个实数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于，，
故，故选：B
【变式2】若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，所以．故选：D
题型十三 对数型函数的单调性及应用
【例13-1】（2020年真题）不等式的解集为__ _
【答案】
【解析】解不等式首先解方程，然后根据函数单调性求解，首先理解对数函数的由来，化作对数函数，化作对数函数，，化作对数函数，先算出，求得，若，则，因为是减函数，随的增大而减小，变大的话变小，变小的时候变大。又因为对数函数的真数，所以的解集为。
【例13-2】函数的递减区间为 .
【答案】
【解析】因为在上单调递减，由复合函数的单调性可知，的递减区间为的单调递增区间，且要满足，解得或，其中在上单调递增，故的递减区间为.
【例13-3】已知函数，则使得成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设，即，因为函数在上单调递增，所以，解得.故选：B
【例13-4】函数在区间上的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在上是减函数，，即值域为.故选：A
【例13-5】求函数的值域.
【答案】
【解析】因为函数的定义域为：，而方程的，所以对恒成立，令：
在上是减函数，所以，即原函数的值域为故答案为：
【例13-6】（2015年真题）若，且，则的取值范围是___
【答案】
【解析】因为，所以对数函数单调递减，，解得或，所以的取值范围是
【变式1】不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】因为，可得对数函数为单调递增函数，则原不等式等价于，解得，即原不等式的解集为.故答案为：
【变式2】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由知，，值域是．故选：C
【变式3】函数的值域是 ．
【答案】
【解析】令，则，因为，所以的值域为，
因为在是减函数，所以，所以的值域为，
故答案为：
【变式4】（2010年真题）函数的单调递增区间是
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】是复合函数递减，递增
所以整个函数递减，如红色实线图令，找到函数的零点，
解得，故在区间函数值大于0在区间，函数值小于0
绝对值之后把轴负半轴部分翻上去，得到红色虚线部分，故函数在区间递增
课后模拟·巩固练习
1、计算下列各式的值.
(1) (2)
(3)； (4)（，）.
【答案】(1)(2)2(3)100(4)
【解析】（1）原式
（2）原式
（3.
（4）原式.
2、下列大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A，函数在R上单调递增，则，A错误；对于B，函数在R上单调递增，则，函数在R上单调递减，则，因此，B错误；
对于C，函数在R上单调递增，则，C正确；对于D，函数在R上单调递减，则，D错误.故选：C
3、已知，，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，，，且在上递增，，，故选：A
4、函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，因为为单调递减函数，且函数是开口向上对称轴为轴的抛物线，所以的单调递减区间为，所以函数的单调递增区间为.
5、对且的所有正实数，函数的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是 ．
【答案】
【解析】由函数，当时，可得，所以该函数恒经过定点.
6、比较下列各组数的大小：
(1)与； (2)，，； (3)与.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1），在上单调递减，又，，即.
（2），，在上单调递增，又，，即.（3），，.
7、比较下列各题中两个值的大小：
(1)，； (2)，； (3)，．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）因为，所以函数在其定义域上单调递减，又，所以；（2）在同一平面直角坐标系中画出指数函数与的图象，当时，由图象可得；（3）因为幂函数在上单调递增，且，所以，又根据指数函数在上是减函数，可得，所以．
8、＝（ ）
A．1 B．2 C．－1 D．－5
【答案】C
【解析】原式.故选：C
9、 .
【答案】
【解析】原式.故答案为：
10、 ．
【答案】
【解析】.故答案为：
11、设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，，因为在定义域上是增函数，且，故.故选：C
12、函数是对数函数，则实数a＝ .
【答案】1
【解析】由题意得，解得或1，又且，所以故答案为：1
13、对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 .
【答案】
【解析】设对数函数的解析式为(且)，由已知可得，即，解得，即函数解析式为，故答案为：
14、已知函数的定义域为，则函数的值域是 ．
【答案】
【解析】∵，∴，即，即，则函数的值域为.
15、已知函数，则的值域是 .
【答案】
【解析】,
单调递增，，则的值域是。故答案为：
16、设，，，则的大小关系为 .
【答案】
【解析】根据对数函数单调性可知，即可得；而，即；由指数函数单调性及值域可得，即可得；所以可得.
17、（2019年真题），则的取值范围是
A、 B、 C、 D、
【答案】A.
【解析】
18、（2013年真题）不等式的解集为
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】，解得或;对数函数真数大于且，解得，所以不等式解集为
19、（2012年真题）已知函数在区间单调递增，则的取值范围是___
【答案】
【解析】，在区间单调递增，则：当时，，故。
20、（2009年真题）有下列四个函数
其中是奇函数的是
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】，函数为偶函数
，，
，函数为奇函数，非奇非偶奇函数
21、（2009年真题）不等式的解集是
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】对数函数的真数，即，解得或，，故选D
22、（2005年真题）求关于的不等式的解集
解： ，两边同时平方得：
23、（2003年真题）在同一坐标系中，函数与的图象
A、关于原点对称 B、关于轴对称 C、关于直线对称 D、关于对称
【答案】C【解析】指数函数，对数函数，关于直线对称
24、（2003年真题）已知，那么
A、 B、 C、 D、或
【答案】B
【解析】，
25、（2003年真题）比较的大小并用"