第14讲 中心对称（人教版）-2025年初中新九年级暑假数学衔接讲义（人教版）含答案

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·模块一 中心对称
·模块二 中心对称图形
·模块三 关于原点对称的点的坐标
·模块四 课后作业
模块一
中心对称
1. 中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。
中心对称的性质
（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
【考点1 中心对称的概念及性质】
【例1.1】如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）

A．OB=OB'B．∠ACB=∠A'B'C'C．点A的对称点是点A'D．BC∥B'C'
【例1.2】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为（ ）
A．4B．33C．233D．433
【例1.3】如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB=4，OD=3，则阴影部分的面积之和为___________．
【变式1.1】如图，线段AB和CD关于点O中心对称，若∠B=40°，则∠D的度数为________．
【变式1.2】如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点A′是对称点；②BO=B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB=∠C′A′B′．其中正确结论的个数为 ___________个．
【考点2 中心对称作图】
【例2.1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点，以点O为对称中心，画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1．
【例2.2】如图所示．
(1)请你在图中画出△A′B′C′，使其与△ABC关于点O成中心对称；
(2)请你在图中△ABC的边上找一个点作出△DEF，使其与△ABC关于点成中心对称，使△DEF与△ABC合成的图形为平行四边形．
【变式2.1】已知四边形ABCD按要求画出图形．
(1)在图①中，画出以点D为对称中心，并且与四边形ABCD成中心对称的四边形；
(2)在图②中，画出以四边形ABCD外一点O为对称中心，并且与四边形ABCD成中心对称的四边形．
模块二
中心对称图形
中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。
【考点1 中心对称图形的概念】
【例1.1】下列图形：①平行四边形；②线段；③等边三角形；④直角三角形，是中心对称图形的有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【例1.2】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】下列新能源汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.2】如图，O是▱ABCD的对称中心．这个图形是不是中心对称图形？如果认为是，请说明理由；如果认为不是，在原图上添加一些线，使它成为中心对称图形．
【考点2 作中心对称图形】
【例2.1】将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．

【例2.2】如图是由3个同样的正方形所组成，请再补上一个同样的正方形，使得由4个正方形组成的图形成为一个中心对称图形．画出所有情况（给出的图形不一定全用，不够可添加）．
【变式2.1】如图，6×6的正方形网格图中（每个正方形边长为1），已知A、B两点均为格点，连接AB，请按要求画格点图形（项点均在格点上）．

(1)在图1中画出四边形ACBD，使其为中心对称图形．
(2)在图2中画出线段EF，使得EF⊥AB，且EF=2AB．
【变式2.2】图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影．请在余下的空白小正三角形中，分别按下列要求选取1个涂上阴影：（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
(1)使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形．
(2)使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．
【考点3 中心对称图形的性质】
【例3.1】如图，在平行四边形ABCD中，点O为对角线的交点，AB=7，过点O的直线分别交AB和CD于点F、E，折叠平行四边形后，点A落在点A'处，点D落在点D'处，若AF=3，则DE的长为（ ）
A．5B．4.5C．4D．3.5
【例3.2】如图所示，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD=60°，∠ADO=90°，BD=12，点P是AO上一动点，点Q是OC上一动点（P，Q不与端点重合），且AP=OQ，连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是______．
【变式3.1】如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD>AB，E、F是AB边上的点，且EF=12AB，G、H是BC边上的点，且3GH=BC，若S1,S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是（ ）
A．S1S2=23B．S1S2=32C．S1S2=21D．S1S2=12
【变式3.2】如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB=3,AC=2,∠CAB=90°，则AE的长是________．
模块三
关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
【考点1 关于原点对称的点的坐标】
【例1.1】在平面直角坐标系中，点M与点N−1,2关于原点对称，则点M的坐标是（ ）
A．−1,−2B．1,2C．1,−2D．−1,2
【例1.2】在平面直角坐标系中，有A(5，−3)，B0，4，C−4，0，D(−5，3)四点，其中关于原点对称的两点为（ ）
A．点A和点BB．点B和点CC．点C和点DD．点D和点A
【例1.3】已知点A3a−9,2−a关于原点对称的点为A′，点A′关于x轴对称的点为A″，点A″在第四象限，那么a的取值范围是______．
【变式1.1】点M位于平面直角坐标系第四象限，且到x轴距离是5，到y轴距离是2，则点M关于原点的对称点M′的坐标是（ ）
A．2,5B．−2,5C．5,−2D．−5,2
【变式1.2】点P（3，-4）与点Q（-3，4）关于________ 对称.
【变式1.3】把点Pm+3，n−5先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，得到点N，若点N关于原点的对称点M的坐标为−3，−6，则m+n=_________．
【考点2 作已知图形关于原点对称的图形】
【例2.1】如图，平面直角坐标系中， △AOB的顶点坐标分别为O0,0，A−2，3，B−4，2．

(1)请在图中作出与△AOB关于原点O对称的图形△A′OB′；
(2)点A′的坐标是________；点B′的坐标是________．
【例2.2】如图，正三角形ABC在第一象限内．

(1)作出△ABC关于x轴为对称轴的对称图形△A1B1C1；
(2)作出△ABC关于原点O为对称中心的对称图形△A2B2C2；
(3)△A1B1C1与△A2B2C2存在怎样的对称关系？
【变式2.1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A−1,4，B−4,2，C−3,5．（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1)平移△ABC得到△A1B1C1，若A1的坐标为2,2，则C1的坐标为______；
(2)若△A2B2C2和△ABC关于原点O成中心对称，则B2的坐标为______；
(3)△ABC的面积为______；
(4)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A3B3C3．
模块四
课后作业
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点GB．点HC．点ID．点J
3．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为（ ）
A．8B．10C．15D．30
4．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使其与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
5．在圆、正六边形、正八边形中，属于中心对称图形的有________个．
6．若点P2m−3n,2、Q−3,n−m关于原点对称，则m+n=________．
7．若点A1,m与点B−1,1−x关于原点O成中心对称，则m的最小值为______．
8．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A3,3、B5,1、D−3,−1，则点C的坐标为__________．
9．已知点Pa+1，−a2+1关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是______．
10．如图所示的图形中，都是由左边变成右边的图形，分别进行了平移、旋转、轴对称和中心对称变换．其中进行了中心对称变换的是_____________，进行了轴对称变换的是___________．（填序号）
11．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A1,1，B4,2，C3,4．
(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A−1,4，B−4,2，C−3,5，（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1)平移△ABC得到△A1B1C1，若A1的坐标为2,2，则B1的坐标为_____________；
(2)若△A2B2C2和△ABC关于原点O成中心对称，则C2的坐标为_______________；
(3)△ABC的面积为_______________；
(4)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A3B3C3．