第03讲 一元二次方程的解法（公式法）和根与系数的关系（人教版）-2025年初中新九年级暑假数学衔接讲义（人教版）含答案

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·模块一 根的判别式
·模块二 公式法解一元二次方程
·模块三 根与系数的关系
·模块四 课后作业
模块一
根的判别式
一元二次方程根的判别式
b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等得实数根
△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等得实数根
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
【考点1 根据判别式判断方程根的情况】
【例1.1】关于一元二次方程x2+3x=4根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【例1.2】已知实数k，现甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程kx2−(k+2)x+14k=0讨论如下．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲和丙说的对B．甲和丁说的对C．乙和丙说的对D．乙和丁说的对
【例1.3】若x=1是一元二次方程ax2−bx+2=0(a≠0)的一个根，那么方程ax2+bx+2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有一个根是x=−1
C．没有实数根D．有两个相等的实数根
【变式1.1】已知a为实数，下列关于x的一元二次方程一定有实数根的是（ ）
A．x2−2ax+a2+1=0B．x2−2ax+2a2+1=0
C．x2+2a−1x−2a=0D．x2+2a+1x+a2=0
【变式1.2】对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b=b2−ab，例如3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程m+2⊗x=1−m的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定
【变式1.3】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有下列说法：
①若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有两个不相等的实数根；
②若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根；
③若c是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则b2−4ac=(2ax0−b)2
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点2 已知根的情况确定字母的值或取值范围】
【例2.1】若关于x的方程x2−x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥14B．k0D．b2−4ac1B．k=1C．k