第07讲 y=ax²+k和y=a(x-h)²的图象与性质（人教版）-2025年初中新九年级暑假数学衔接讲义（人教版）含答案

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·模块一 二次函数 y=ax²+k的图象与性质
·模块二 二次函数 y=a（x-h)²的图象与性质
·模块三 课后作业
模块一
二次函数 y=ax²+k的图象与性质
二次函数 y=ax²+k的图象与性质
【考点1 二次函数 y=ax²+k的图象】
【例1.1】下列各点一定在二次函数y=x2−1图象上的是 （ ）
A．0，0B．1，1C．1，0D．0，1
【答案】C
【分析】分别求出当x=0、x=1时二次函数的函数值即可得到答案．
【详解】解：当x=0时，y=x2−1=−1；
当x=1时，y=x2−1=0；
∴点1，0在二次函数y=x2−1的图象上，点0，0，1，1，0，1不在二次函数y=x2−1的图象上，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数图象上的点的坐标一定满足对应的二次函数解析式是解题的关键．
【例1.2】当a0时，二次函数y=ax2+c的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：y=ax2+c，
∵a0,b=0，
∴抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为：x=−b2a=0，
故选D．
【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【例1.3】在下列平面直角坐标系中画出二次函数y=14x2+1与二次函数y=−14x2−1的图象，并说明两个函数图象性质的相同点与不同点．
【答案】画图见解析，两个函数图象性质的相同点与不同点见解析
【分析】先分别列表，再分别描点，再分别连线，再根据图象总结两个函数的相同点与不同点即可.
【详解】解：列表如下：
描点并连线
列表如下：
两个函数的性质的相同点：两个函数的函数图象都是抛物线，都是轴对称图形，对称轴都是y轴，顶点都在y轴上，形状相同，
两个函数的性质的不同点：y=14x2+1的开口向上，y=−14x2−1的开口向下；
y=14x2+1的顶点坐标为(0,1), y=−14x2−1的顶点坐标为(0,−1),
对于y=14x2+1：
当x0时，y随x的增大而增大，
当x=0时，函数y有最小值1；
对于y=−14x2−1：
当x0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，函数y有最大值-1；
【点睛】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数图象的性质，掌握“利用列表，描点，连线画函数图象”是解题的关键.
【变式1.1】已知点M（-1，m）在二次函数y=2x2+1图象上，则m的值为__________．
【答案】3
【分析】代入x=-1，即可求出m的值．
【详解】解：∵点M（-1，m）在二次函数y=2x2+1图象上，
∴m=2×(−1)2+1=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入x=-1求出m值是解题的关键．
【变式1.2】已知关于x的二次函数y=−x2+c的图像不经过第一、二象限，请写出一个合适的常数c的值为______．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】根据二次函数图像的特点解答即可．
【详解】解：∵关于x的二次函数y=−x2+c的图像不经过第一、二象限
∴c≤0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像，根据二次函数解析式的系数确定图像位置是解答本题的关键．
【变式1.3】抛物线 y=−2x2−3的开口 _____，对称轴是 _____，顶点坐标是 ________，当x_____时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小．
【答案】 向下 y轴 (0,−3) 0
【分析】利用二次函数的性质判定即可．
【详解】解：抛物线y=−2x2−3的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,−3)，当x0时，y随x的增大而减小．
故答案为：向下，y轴，(0,−3)，0．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
【考点2 二次函数 y=ax²+k的性质】
【例2.1】已知抛物线y=x2−3，如果点A(1,−2)与点B关于该抛物线的对称轴对称，那么点B的坐标是（ ）
A．(2,1)B．(−2,−1)C．(1,2)D．(−1,−2)
【答案】D
【分析】先根据抛物线解析式求得对称轴为y轴，然后根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：∵抛物线y=x2−3，对称轴为直线x=0，即y轴，
∴点A(1,−2)与点B关于该抛物线的对称轴对称，则点B的坐标是(−1,−2)
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出抛物线的对称轴是解题的关键．
【例2.2】已知A−1,y1,B3,y2,C0,y3在二次函数y=ax2+c(a>0)的图象上，则y1,y2,y3为的大小关系正确的是（ ）
A．y3