第01讲 一元二次方程的定义及解法（直接开平方法）（人教版）-2025年初中新九年级暑假数学衔接讲义（人教版）含答案

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·模块一 一元二次方程
·模块二 直接开平方法解一元二次方程
·模块三 课后作业
模块一
一元二次方程
1. 一元二次方程得定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）得方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。
3. 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程得解，也叫做一元二次方程得根。方程得解得定义就是解方程过程中验根得依据。
【考点1 一元二次方程的定义】
【例1.1】下列方程中是一元二次方程的是（ ）
①ax2=bx；②−32x2−2x=13；③(x−2)(2x−1)=0； ④x2−1x−2=0； ⑤y2−1−y=1；⑥(x−3)(x+1)=x2−8．
A．①②④⑥B．②C．①②③④⑤⑥D．②③
【例1.2】当m=______时，关于x的方程(m+2)xm+3+6x−9=0是一元二次方程．
【例1.3】关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x+|m|−1=0，常数项为0，则m的值等于（ ）
A．1B．－1C．1或－1D．0
【变式1.1】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2=0B．x2=xx+1
C．2x+1x+1=0D．x3+x−1=0
【变式1.2】关于x的方程a−12x2+ax+1=0是一元二次方程，则a的取值范围为________．
【变式1.3】若关于x的方程a−4xa−2+3x−2=0是一元二次方程，则a的值为______．
【考点2 一元二次方程的一般形式】
【例2.1】一元二次方程3x2−x+4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，−x，5B．3，−1，−4C．3，−1，4D．3x2，−1，4
【例2.2】将方程x(x+1)=2(x−1)化为一元二次方程的一般式，正确的是（ ）
A．x2−x+1=0B．x2−x+2=0C．x2−2x−1=0D．x2+2x+1=0
【变式2.1】已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一次项系数是3，它的一个根是2，则这个方程为______．
【变式2.2】若方程5x2−x−3=x2−3+x的二次项系数是4，则方程的一次项系数是______，常数项是_______．
【变式2.3】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项．
(1)3x2+2=5x
(2)4x2−5x=10
(3)8x−21=x2
(4)x+1x−1=2x
(5)4xx−1=5x+2
(6)x−22=6x2+4．
【考点3 一元二次方程的根（解）】
【例3.1】已知方程x2−7x+15−k=0的一个根是2，则k的值是（ ）
A．−11B．5C．−5D．−3
【例3.2】若a是关于x一元二次方程3x2−x−2023=0的一个实数根，则2023+2a−6a2的值是（ ）
A．4046B．−4046C．−2023D．0
【例3.3】若关于x的一元二次方程ax2+bx−3=0a≠0有一个根为x=2023，则方程ax−12+bx−3=b必有一根为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【变式3.1】关于x的一元二次方程(m−3)x2+5x+m2−9=0有一个解是0，则m＝______．
【变式3.2】若m是一元二次方程x2−x−3=0的根，则m3+m2−5m的值为_____
【考点4 建立一元二次方程模型】
【例4.1】如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（ ）

A．60−x40−x=1750B．60−2x40−x=1750
C．60−2x40−x=2400D．60−x40−2x=1750
【例4.2】2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．600(1+2x)=2850B．600(1+x)2=2850
C．600+600(1+x)+600(1+x)2=2850D．2850(1−x)2=600
【例4.3】我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步．”设阔为x步，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．2x+2x+12=864B．xx−12=864
C．x+x+12=864D．xx+12=864
【变式4.1】某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有x支球队参加比赛，可列方程为（ ）
A．xx−1=45B．12x(x−1)=45C．xx+1=45D．12xx+1=45
【变式4.2】电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（ ）
A．603−x80+10x=18000B．603+x80−10x=18000
C．603+x110−10x=18000D．603−x50+10x=18000
模块二
直接开平方法解一元二次方程
直接开平方法解一元二次方程
一般地，对于形如x2=a(a≥0)得方程，根据平方根得定义可解得x1=a,x2=−a.
【考点1 解形如x2=p（p≥0）的方程】
【例1.1】方程x−22=0的根是（ ）
A．x1=x2=2B．x1=2，x2=0C．x1=−2，x2=0D．x1=2，x2=−2
【例1.2】关于x的一元二次方程的两个根分别是与，则________．
【变式1.1】方程2x2=1的解是__________．
【变式1.2】已知方程的解是有理数，那么对于下列实数m不能取的数是（ ）
A．1B．4C．9D．10
【变式1.3】方程的一个根为，则另一个根为x=___________．
【考点2 解形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程】
【例2.1】解一元二次方程，四名同学分别得到下列四个答案，你认为正确的一个答案是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【例2.2】若方程可以直接用开平方法解，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2.3】定义一种新运算，，则方程的解是（ ）
A．B．，
C．，D．
【变式2.1】方程的根为（ ）
A． B． C． D．
【变式2.2】一元二次方程（x＋1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋1＝，则另一个一元一次方程为（ ）
A．x－1＝B．x＋1＝2C．x＋1＝－D．x＋1＝－2
【变式2.3】小明用直接降次法解方程时，得出一元一次方程，则他漏掉的另一个方程为____．
【变式2.4】若，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【变式2.5】已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为 _________________．
模块三
课后作业
1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2=2+3x B．2(x−1)+x=2C．x2+3x=2x D．x2−xy+4=0
2．以−2为一根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2−2x=0B．x2−x=0C．x2+x+2=0D．x2+x−2=0
3．关于x的一元二次方程2xa−2+m=4的解为x=1，则a+m的值为（ ）
A．9B．8C．6D．4
4．关于x的一元二次方程a−2x2+x+a2−4=0的其中一个根是0，则a=_____．
5．若关于x的一元二次方程mx2+nx−2022=0m≠0的一个解是x=1，则m+n+1的值是________．
6．已知m是方程x2−x−2=0的一个根，则m2−m+2023的值为_______．
7．若关于 x 的一元二次方程 (2a−4)x2+(3a+6)x+a−8=0 没有一次项，则 a 的值为___________．
8．写出一个二次项系数为2，且方程有一个根为0的一元二次方程是____________
9．若（x2＋y2﹣1）2＝25，则x2＋y2＝________．
10．方程x+12=k−2有实数根，则k的取值范围是______．
11．若一元二次方程(x-3)2＝1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是_____．
12．已知x=2是一元二次方程x2=p的一个根，则另一根是___________．
13．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b=a2+b，如：4★2=42+2=18．若x−5★3=12，则实数x的值是________．
14．若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是4m−3与2m−3，则m的值是_________．
15．求下列各式中的x：
(1)3x2=75；
(2)2x−12=98．