特殊全等三角形五种热考模型（原卷版）-中考数学二轮专题练习

这是一份特殊全等三角形五种热考模型（原卷版）-中考数学二轮专题练习，共32页。
【中考母题学方法】
【典例1-1】（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【典例1-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段BD，作交AB的延长线于点．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点，则______；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点，使，请直接写出线段的长度．
【典例1-3】（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．

图1 图2 图3
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接．
①求证：点是的中点；
②若，求的面积．
【典例1-4】（2024·海南·中考真题）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，于点P，交于点M．
①求证：点P在的平分线上；
②当时，猜想与的数量关系，并证明；
③作于点N，连接，当时，若，求的值．
【典例1-5】（2024·重庆·中考真题）在中，，，过点作．
(1)如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：；
(2)如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，平分交于点，求证：；
(3)若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接，．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值．
【中考模拟即学即练】
【变式1-1】（2024·上海宝山·一模）在直线l上放置三个正方形a，b，c，正方形a的边长为3，正方形c的边长为4，则正方形b的面积是 ．
【变式1-2】（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在中，，，于点E，且．求证：．
【变式1-3】（2024·甘肃嘉峪关·二模）矩形中，，点是边的中点，连接，过点作的垂线，与矩形的外角平分线交于点．
(1)【特例证明】如图（1），当时，求证：；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
(2)【类比探究】如图（2），当时，求的值（用含k的式子表示）．
【变式1-4】（2024·青海西宁·三模）类比探究题：
【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为0,1，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系．
【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______．
题型二：手拉手模型
【中考母题学方法】
【典例2-1】（2024·新疆·中考真题）【探究】
（）已知和都是等边三角形．
①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由；
②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由．
【运用】
（）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长．
【典例2-2】（2024·广西·中考真题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接，
①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；
②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
【典例2-3】（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．
(1)求证：，；
(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系：___________________；
②求证：．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】（2024·浙江宁波·二模）如图与均为等腰直角三角形，，直线与直线交于点，在与绕点任意旋转的过程中，到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）．
【变式2-3】（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ．
【变式2-4】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，点是正方形对角线的交点，是等腰直角三角形，，，当的顶点在线段（不与，重合）上绕点旋转的过程中，直角边交边于点，直角边交边于点．
(1)如图1，当点与点重合时，求证：；
(2)如图2，当（为正整数，）时，在旋转过程中，
①请写出线段，之间的数量关系，并说明理由；
②若，，求的长（用含，的代数式表示）．
题型三：倍长中线模型
【中考母题学方法】
【典例3-1】（山东泰安·中考真题）若和均为等腰三角形，且．
（1）如图（1），点B是的中点，判定四边形的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点G是的中点，连接并延长至点F，使．求证：①，②．
【典例3-2】（2024·贵州遵义·模拟预测）辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题变得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题．
(1)请在①，②中任选择一个填空：
你选择的是_______，产生效果是_______．（产生效果写一个或两个）
(2)如图①，在三角形中，是的一条中线，，求的长．
(3)如图②，在中，，点是边上两个不同的动点，以为边在内部（包括边界）作等边三角形，点，F分别是的中点，当的周长取最大值时，求线段的长．
【典例3-3】（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____．
【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，．
请你补全余下的证明过程．
【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ．
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】（2023·黑龙江大庆·三模）如图，四边形中，°，为边BD上一点，连接，，为的中点，延长BM交DE的延长线于点，交BM于点，连接交CE于点．

(1)求证；
(2)若，，求证：四边形为矩形．
【变式3-2】（2024·山西·模拟预测）综合与实践
【问题情境】
如图1，在中，，点D，E分别在边AB，上，，连接DE，CD，，为CD的中点，连接．
【数学思考】
（1）线段与的数量关系，说明理由．
【猜想证明】
（2）若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【深入探究】
（3）若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若是的中点，连接AN，若，直接写出CD的长．
【变式3-3】（2024·重庆綦江·二模）在等边中，为边上一点，于．
(1)如图1，若，，求的值；
(2)如图2，线段的垂直平分线交于，点为的中点，连接，，，求证：；
(3)如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为边上点右边一动点，连接BM、，当取得最小值时，直接写出的值．
题型四：截长补短法
【中考母题学方法】
【典例4-1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
【典例4-2】如图，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=CD，∠BAC=80°，∠BDC=100°，以D为顶点作一个50°角，角的两边分别交边AB，AC于点E、F，连接EF，点E、F分别在AB、CA延长线上，则BE、EF、FC之间存在什么样的关系？并说明理由．
【中考模拟即学即练】
【变式4-1】课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【变式4-2】如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．
（1）求证：；
（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
【变式4-3】如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．
（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．

【变式4-4】在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：∠BFC=90°+12∠A；
（2）已知∠A=60°．
①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；
②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．
题型五：半角模型
【中考母题学方法】
【典例5-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．

（1）如图①，当时，探究如下：
由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．
（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
【典例5-2】（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．

由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，

∴___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．

【拓展应用】
如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】
如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．

【典例5-3】（2024·湖北恩施·模拟预测）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．
(1)填空：的度数为______；②线段之间的数量关系为______；
(2)如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在中，，，平面上一动点P到点B的距离为4，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连，则是否有最大值和最小值？若有，直接写出，不需要说明理由．
【中考模拟即学即练】
【变式5-1】（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
(2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由．
【变式5-2】（2024·湖南·模拟预测）如图，将等腰的斜边向上平移至（点B和A重合），连接，M为线段上一点（不与点C重合），连接并将其绕点A顺时针旋转至，连接交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，分别取的中点连接，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．
【变式5-3】．（2022·安徽合肥·模拟预测）等腰直角与等腰直角的直角顶点重合．与相交于，的延长线交于，连接．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，，在同一条直线上，取的中点，分别连接，，求证：；
(3)如图3，过作的平行线，过作的平行线，两线相交于，且点在的延长线上，若，求的值．
三步模型抽离法
“一线三等角”模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等三角形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角,解题步骤如下:
第一步：依据特征找模型
特征1:是否存在两个三角形共顶点;
特征2:是否存在一条直线上有三个等角;
特征3:是否存在等线段
第二步：抽离模型
在题图中抽离出两个全等三角形
第三步：利用性质解题
利用全等三角形的性质解题
常见基础模型如下:
类型
图示
条件
结论
同侧一线三等
角
点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD
(或AC=BP或CP=PD)
△APC≌△BDP
异侧一线三等
扇
点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3，
且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)
△APC≌△BDP
证明：如图，在上截取，连接．
，
．
，，
，
．
平分，，
．
．
∴……（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）
三步模型抽离法
第一步：依据特征找模型
特征1:是否存在两个等腰三角形;
特征2:是否存在两个等腰三角形的顶角相等，且共顶点
第二步：抽离模型
以两个等腰三角形的腰及对应顶点的连线围成的两个新三角形全等
第三步：利用性质解题
利用全等三角形的性质解题
常见基础模型如下：
图示
OC在△OAB内且拉手线无交点
OC在△OAB外且拉手线无交点
OC在△OAB外且拉手线有交点
条件
在等腰ΔOAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=a,将ΔOCD 绕点0旋转一定角度后,连接AC,BD(称为“拉手线”左手拉左手,右手拉右手),若拉手线有交点,记相交于点,连接 OE
结论
1.△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等);
2.EO平分∠AED:
3.∠AEB=∠AOB=a
倍长中线
图一
图二
图三
3、过端点向中线作垂线
题眼
1．普通三角形+中点
2．等腰三角形+底边中点
3．直角三角形+斜边中点
4．两个中点
大致图形
辅助线名称
倍长中线
三线合一
斜边中线
中位线
具体做法
延长到点E，
使，连接
连接
连接
连接
产生效果

①
②
“截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.
截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该换一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路.
方法
截长法
补短法
条件
在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD
图示
方法
在AB上截取AE=AC,连接DE
延长AC到点E，使CD=CE,连接DE
结论
△DEB是等腰三角形
△CDE是等腰三角形
半角模型
等边三角形含半角
已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，
∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上，
∠EDF＝60°．
结论1：EF＝BE＋CF，
∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．
正方形含半角
已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．
结论2：EF＝BE＋DF，
∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．
等腰直角三角形含半角
已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
点D，E在BC上，∠DAE＝45°．
结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2．