特殊相似三角形五大热考模型（原卷版）-中考数学二轮专题练习

这是一份特殊相似三角形五大热考模型（原卷版）-中考数学二轮专题练习，共31页。
【中考母题学方法】
【典例1-1】（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
【典例1-2】（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交CD的延长线于点F．求证：．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
【典例1-3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的面积．
【中考模拟即学即练】
【变式1-1】（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边AD上，点C落在点N处，与CD交于点，折痕分别与边AB，CD交于点，，连接BM．若，则的值是 ．
【变式1-2】（2023·江苏南通·一模）正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点．
(1)当时，求的度数用含的式子表示；
(2)点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由；
(3)若，求的值．
【变式1-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，在轴上，在轴上，，的长是方程的两个根．请解答下列问题：
(1)求点的坐标；
(2)若直线分别交轴、轴、于点，，，且是的中点，直线交延长线于点，，求的值；
(3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点（不与点重合），使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型二：A字模型
【中考母题学方法】
【典例2-1】（2022·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【典例2-2】（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．
【典例2-3】（母子型）（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长．
【典例2-4】（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在中，，垂足为．
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长．
【典例2-5】（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．

操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点．
理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，，点E、F在直线上．
①作线段的中点；
②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知线段AB，CD相交于点，，，．求．
【变式2-2】（2024·江苏南京·模拟预测）已知：中，为边上的一点．
(1)如图①，过点作交边于点，若，，，求的长；
(2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)如图③，点在边上，连接、，若，的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
【变式2-3】（2024·辽宁沈阳·一模）【知识回顾】
（1）如图1，在中，是边上的中线，，求的取值范围．
小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小明同学的思考过程：在中，已知两边和的长度，根据条件只能直接求出BC边的取值范围．而要想求中线的取值范围，只有将中线转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．如图2，可以延长到点E，使，连接，这样就构造了，将求的取值范围，转化为求的边的取值范围；
②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点C作交延长线于点F，于是得到．进而将求的取值范围，转化为求的取值范围．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，在中，D是边的中点，点E在边上，，求的取值范围．
【能力提升】
（3）如图5，在正方形中，O为对角线的中点，，点G在边上，E为平面内一点且，以为斜边，在的右侧作等腰直角三角形，连接，求的取值范围．
【变式2-4】（2023·江苏淮安·二模）我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？
(1)【方法回顾】证明：三角形中位线定理．
已知：如图，在中，、分别是、的中点．
求证：，．

证明三角形中位线性质定理的方法很多，但多数都需要通过添加辅助线构图去完成，下面是其中一种证法的添加辅助线方法，阅读并完成填空：
添加辅助线，如图1，在中，过点作，与的延长线交于点．可证______，根据全等三角形对应边相等可得，然后判断出四边形是______，根据图形性质可证得，．

(2)【方法迁移】如图2，在四边形中，，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．

(3)【定理应用】如图3，在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点，直接写出的值（用含的式子表示）．

【变式2-5】（母子模型）（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)如图，若，求证：；
(3)如图，若延长恰好经过点，求的值．
题型三：8字与A字模型综合
【中考母题学方法】
【典例3-1】（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ）

A．4B．6C．8D．10
【典例3-2】（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ．
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】（2024·浙江宁波·二模）已知在等腰 中， ，是的三等分点且靠近点， 是的中点，过点作交延长线于点 ．
(1)求 的值；
(2)连接 ，若 ，，求的值．
【变式3-2】（2023·江苏泰州·一模）如图，在菱形中，，，为对角线上一点，在上运动，连接并延长交的延长线于点，交于点．
(1)求菱形的面积；
(2)如图，若点是的中点；
当时，求的长；
若的面积为，求的长；
(3)记，是否存在一个的值，使得点在上运动时，为定值，若存在，请求出这个定值，并直接写出的长的取值范围；若不存在，请说明理由．
题型四：旋转(手拉手)模型
【中考母题学方法】
【典例4-1】（2023·湖南常德·中考真题）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．

【典例4-2】（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【典例4-3】（2023·四川巴中·中考真题）综合与实践．

(1)提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点O．
①的度数是___________．
②__________．
(2)类比探究．如图2，在和中，，且，连接并延长交于点O．
①的度数是___________．
②___________．
(3)问题解决．如图3，在等边中，于点D，点E在线段上（不与A重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为的中点，N为的中点．
①试说明为等腰三角形．
②求的度数．
【典例4-4】（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（2022·广西钦州·模拟预测）【问题发现】和可以绕点旋转且均为等边三角形，班长在探究发现，当点，，在同一条直线上如图1所示，则有：①；②．他的理由如下：
∵和均为等边三角形，
∴，，，，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴，
∴，
∴，
综上，可得；．
(1)【类比探究】和可以绕点旋转且均为等腰直角三角形，其中，，．当点，，在同一条直线上如图2所示，请你类比以上（1）【问题发现】先判断线段，之间的数量关系及的度数，然后写出你的理由．
(2)【拓展应用】如图3，和可以绕点旋转且均为直角三角形，其中，，，．现将绕点旋转，当所在直线经过点B时，的长是多少？（直接写出答案）
【变式4-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）在综合实践课上，老师组织同学以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究．
【观察猜想】如图①，和均为等边三角形，当点E、D分别在边上，易证：，．

【实践发现】如图②，将图①中的绕着点B逆时针旋转，连接、，线段与线段的数量关系为 ，直线与直线相交，所夹锐角为 °；
【类比探究】和均为直角三角形，．
（1）观察感知：如图③，当且点E、D分别在边上，易证：；
（2）问题呈现：如图④，将图③中的绕着点B逆时针旋转，连接、．直线与直线交于点M．线段与线段的数量关系为 ， °；
（3）探究证明：如图⑤，当时，线段与线段的数量关系是什么？请说明理由，此时， °；
（4）拓展应用：在（3）的条件下，若，，将绕点B逆时针旋转一周，在整个旋转过程中，当点A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线的距离．
【变式4-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践
“手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用．
某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究：
如图①，已知和均是等腰直角三角形，，且，，易证：，．
深入探究：
（1）如图②，将图①中绕点A逆时针旋转，连接、，并延长分别与、相交于点、，求证：，．
解决问题：
（2）如图③，将图①中绕点逆时针旋转，使与重合，其他条件不变，若，，则_______，_______．
拓展应用：
（3）如图④，将图①中绕点逆时针旋转，连接、，若，，，则______，______．（提示：求时，可过点作于点）
【变式4-4】（2024·陕西西安·模拟预测）【计算与推理】
（1）如图1，，与交于点，为的中点，，，则的长为_______；
（2）数学课上张老师拿了一块大三角板和一块小三角板，其中，按如图2所示位置放置，使两个三角板的角的顶点重合．连接、，当绕点顺时针旋转时，试判断，的值是否变化？如果不变，请求出，的值，如果变化，请说明是如何变化并加以证明：
【操作与探究】
（3）现有一块足够大的木板，为参加学校科技节比赛，小明想在这块木板上裁出一个等边三角形（）部件做模型，他的操作如下：
第一步：用两块大小不一的含角的直角三角板和按如图3所示位置放置，其中，含有角的顶点重合，分别延长交于点，连接，得到；
第二步：取的中点，分别连接，，得到．
请问，按上述操作，裁得的部件是否符合要求？请说明理由．
题型五：一线三等角模型
【中考母题学方法】
【典例5-1】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【典例5-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）

A．3B．C．2D．1
【典例5-3】（2024·湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于．
(1)求证：．(2)若为中点，且，求长．
(3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由．
【中考模拟即学即练】
【变式5-1】（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．
【变式5-2】（2024·广东佛山·模拟预测）综合探究
如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线分别与x轴、y轴、线段、直线交于点E、F、P、Q．
(1)当时，求证：．
(2)探究线段、之间的数量关系，并说明理由．
(3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-3】（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【变式5-4】．如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证： .

【变式5-5】（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求CF的长度为 ．
（2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积．
（3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度．
【变式5-6】（2023·江西上饶·模拟预测）综合与探究

(1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为_____________；
(2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点E，F分别在边，上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在中，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长．
【变式5-7】（2024·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1，中，，，直线过点，过点、分别作于点，于点，则（不用证明）．

(1)【类比探究】如图2，在中，，且，上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．
(2)【拓展延伸】①如图3，在中，，且，猜想线段、、之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
②若图1的中，，，并将直线绕点旋转一定角度后与斜边相交，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点，请在备用图上画出图形，并直接写出线段、、之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）．
【变式5-8】（2023·浙江宁波·二模）【基础巩固】如图1，P是内部一点，在射线上取点D、E，使得．求证：；
【尝试应用】如图2，在中，，，D是上一点，连接BD，在BD上取点E、F，连接，使得．若，求CE的长；
【拓展提高】如图3，在中，，，D是上一点，连接BD，在BD上取点E，连接CE．若，，求的正切值．

8字——平行型
条件：CD∥AB,
结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似);
左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;
四边形ABCD为一般梯形.
条件：CD∥AB,PD=PC.
结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似)
ΔPAD≅ΔPBC左右全等；
四边形ABCD为等腰梯形；
8字——不平行型
条件：∠CDP=∠BAP.
结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似);
ΔAPD∼ΔBPC(左右相似);
A字模型
如图一

如图二
如图三
①______
②______
如图，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC，形象地说图①为“A”字形，图②为“8”字形，它们都是平行线型的基本图形．
模型展示：
将图①中的△ADE绕点A旋转一定角度，则得图②，图②为“旋转型”相似的基本图形，即△ABC∽△ADE.
模型展示：如图，已知：∠A＝∠CPD＝∠B，则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角，故称为“一线三等角”型相似．