特殊三角形的常考题型（8大热考题型）（原卷版）-中考数学二轮专题练习

这是一份特殊三角形的常考题型（8大热考题型）（原卷版）-中考数学二轮专题练习，共32页。
题型一：等腰三角形的性质
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式1-1】（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
【变式1-3】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ．
【变式1-4】（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2025·山东临沂·一模）如图，在同一平面内，将绕点 A 旋转得到，使得，已知， 则（ ）

A．B．C．D．
2．（2023·辽宁营口·三模）已知为一锐角，如图，按下列步骤作图：
①在边上取一点D，以O为圆心，长为半径画弧，交于点C，连接．
②以点D为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接． 若，则的度数为 （ ）
A．B．C．D．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是一张三角形纸片，其中，按如下步骤折纸：
第一步：将该纸片对折，点B 与点C 重合，折痕为；
第二步：展开后，再将该纸片折叠；折痕为，点A的对称点恰好落在上
根据以上折纸过程，可以求出折痕的长度为（ ）
A．10B．C．D．
4．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
5．（2025·湖南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接BD，则的度数为 ．
6．（2024·安徽合肥·三模）如图，在和中，，，，分别连接，，延长交于．
（1）若，则 ；
（2）连接，若，，则的长为 ．
题型二：等腰三角形的判定
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）．
【变式2-1】（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为

【变式2-2】（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，．
(1)求证：；
(2)若，平分，请直接写出的形状．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F，若，则为（ ）
A．4B．3.5C．3D．2.5
2．（2024·海南三亚·二模）如图，是的中位线，平分交于点，若，，则边的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，则的长度是
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，平分，交于点E，若，，则的长为 ．
5．（2024·湖南长沙·二模）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为 ．
6．（2024·山西太原·二模）如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点，；②分别以，为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点，作射线，与边交于点；③以为圆心，长为半径画弧，交于边于点．若，，则点，之间的距离为（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．（23-24九年级下·宁夏中卫·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C，D，E，F均在格点上．下列结论：
①连接，点A与点F关于成轴对称；
②连接，，，则是等腰三角形；
③连接，点B，E到线段的距离相等．
其中，正确结论的序号是 ．
8．（2024·海南海口·一模）如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是，则点到AB的距离为 ，的值是 ．
9．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，是边的中点，是上一点，BD交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求BD的长．
10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，交于点，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．
题型三：等腰三角形的构造与个数问题
【中考母题学方法】
【典例1】（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．

【典例2】（2023·浙江宁波·中考真题）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．

(1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的．
(2)将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的．
【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线向上平移个单位，与轴交于点，与双曲线交于点．
(1)求反比例函数和直线的表达式；
(2)求点的坐标；
(3)在轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-1】（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【变式3-2】（2023·贵州遵义·三模）四边形是平行四边形，下列尺规作图不能得到等腰三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·河北邯郸·三模）如图中的点都在格点上，使（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是 （ ）

A．B．C．D．
【中考模拟即学即练】
32．（2023·浙江台州·一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（ ）．
A．B．C．D．
4．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)直接写出抛物线与x轴的交点坐标及直线的解析式；
(2)点P是上方抛物线上一点，当时，求出点P的坐标（不与点A重合）；
(3)在抛物线的对称轴上存在点M，使是等腰三角形，请直接写出此时点的坐标．
题型四：等腰三角形的性质与判定的综合问题
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·甘肃兰州·中考真题）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：
①本条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接AB；
②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）；
③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在CB延长线上的落点记为点D；
④用另一根足够长的木条画线，连接AD，，则画出的是直角．
操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2，，请画出以点A为顶点的直角，记作；
推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：
证明：，
与是等腰三角形．
．（依据1______）
．
，（依据2______）
，
．
依据1：______；依据2：______；
拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作，使得直角边（或）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式4-1】（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则的周长为 ．
【变式4-2】（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18B．C．9D．
【变式4-3】（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，则与l的位置关系是________．
【变式4-4】（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
(1)求证：；
(2)若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖北宜昌·一模）如图，分别以点B和点C为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于A、M两点；作直线；连接；
(1)是什么三角形？说明理由；
(2)在中，是平分线，是平分线．求证：．
2．（2025·江苏·一模）某段河流的两岸是平行的，某数学老师带领甲，乙两个数学兴趣小组，在不用涉水过河的情况下，去测得河的宽度，结果都获得了准确的答案．
3．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：

(1)；
(2)．
4．（2024·云南昆明·一模）如图，在等腰直角中，点D在上，将绕顶点B沿顺时针方向旋转90°得到
(1)求的度数；
(2)若求BD的长．
5．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，把一个含有角的直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，其中点的对应点为点，连接．
(1)是_____三角形，的度数是_____
(2)若，求的面积．
6．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，以为边作矩形 (点、在的同侧)，且，连接．
(1)如图1，当点在的中点时，点、、在同一直线上，求的长；
(2)如图2，当时，求证：线段被平分．
7．（2025·贵州·模拟预测）小红在学习了等腰三角形相关性质后，对等腰直角三角形的性质进一步探究．在等腰直角中，，，点是直线上一点，点是直线上一点，．
(1)【问题解决】当平分时，则 ；
(2)【问题探究】当点E是线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】当，时，求的长长．
题型五：等边三角形的性质与判定的综合
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．
【变式5-1】（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是 ．
【变式5-4】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，点是等边内一点，若将绕点按逆时针方向旋转一个角度后得到，连接，若，则的长度为（ ）
A．1B．2C．D．
2．（2024·湖南·模拟预测）动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ）
A．2B．C．D．
3．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为 ．
4．（2023·四川达州·模拟预测）如图，是等边三角形，边在轴上，反比例函数的图象经过点，若，，则的值为 ．
5．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边的顶点在坐标原点，顶点在轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ．
6．（2024·湖北·模拟预测）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，，DE相交于O，．
(1)判断的形状；
(2)求的度数．
7．（2024·浙江宁波·模拟预测）在等边三角形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，交于点，连接．

(1)依题意补全如图；
(2)若，求；
(3)若，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明．
8．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．
(1)填空：的度数为______；②线段之间的数量关系为______；
(2)如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在中，，，平面上一动点P到点B的距离为4，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连，则是否有最大值和最小值？若有，直接写出，不需要说明理由．
题型六：含有30°锐角的直角三角形
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1B．C．0D．
【变式6-1】（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，若，则的长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式6-2】（2024·新疆·中考真题）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 ．

【变式6-3】（2023·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转60°，得到，则点C的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【变式6-4】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ．
【变式6-5】（2023·四川绵阳·中考真题）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度，，则中柱AD（D为底边中点）的长为 ．
【变式6-6】（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为 .

【中考模拟即学即练】
1．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，在中，，，求作的三等分线．
阅读以下作图步骤：
（1）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，作直线交于点F，交于点H，画射线；
（2）以点C为圆心，适当的长为半径画弧，交于点M，交于点N；
（3）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点G，画射线，则射线即为所求．
下列说法不正确的是（ ）
A．B．C．D．为等边三角形
2．（2024·河北·模拟预测）如图，在是边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，交于点F，下列说法不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·贵州黔东南·二模）如图，中，，，，点在的延长线上，点在边上，且．若，则的边长为（ ）
A．2.5B．3.5C．2D．
3．（2023·辽宁锦州·三模）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，长为半径作弧，与直线交于点F，与交于点G，若，则的长为 ．
5．（2024·湖北·模拟预测）问题背景 如图（1），在与中，，，．求证：．
类比探究 如图（2），D，P是等边外两点，连接并取的中点M，且，，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
拓展应用 如图（3），在四边形中，，，，，，直接写出的长．

题型七：斜边上的中线
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接
(1)求CD的长；
(2)求的周长．
【变式7-1】（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A．3B．6C．D．
【变式7-2】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（ ）

A．的垂直平分线一定与相交于点
B．
C．当为中点时，是等边三角形
D．当为中点时，
连接，并延长交于，如图2所示：

【变式7-3】（2024·四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（ ）
A．B．C．2D．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·甘肃陇南·三模）如图，在中，，点D在上，且，点E和点F分别是和的中点，则的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2024·陕西·模拟预测）如图，在中，，是的高线，是的中线，连接．若．则为（ ）

A．4B．2．5C．3D．
3．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，，，点D为斜边的中点，，则 ．
4．（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ．
5．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ．
6．（2025·广西柳州·一模）如图，在中，，，为边的高，点在轴上，点在轴上，点在第一象限，若从原点出发，沿轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点随之沿轴下滑，并带动在平面内滑动，设运动时间为秒，当到达原点时停止运动．连接，线段的长随的变化而变化，当最大时， ．
题型八：勾股定理及其应用
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ．
【典例2】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ．
【典例3】（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ．
【变式8-1】（2023·江苏南京·中考真题）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（ ）
A．80 平方里B．82平方里C．84平方里D．86平方里
【变式8-2】（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ．
【变式8-3】（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东深圳·一模）如图，矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点C，，三点共线时，交于点E，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，中，于点，则CD的长为 ．
3．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线分别与，DB，交于点，，，若，，则 ．
4．（2024·浙江宁波·二模）如图，已知在矩形 中， ，点是AB的中点，点为边 上的动点，将矩形 绕点 逆时针旋转，得到矩形，在矩形 绕点 逆时针旋转的过程中，记 的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差为 ．
5．（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为 ．
6．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则 ．
7．（2023·四川乐山·模拟预测）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形
(1)用含a的代数式表示图2中小正方形的边长；
(2)若图2中，大正方形面积是小正方形面积的13倍，求a值．
8．（2024·云南曲靖·一模）如图，E是正方形的边上一点，以点A为中心，把绕点A逆时针旋转得到，连接
(1)求的度数；
(2)若求的长．
94．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）．
(1)【动手操作】
当点落在边CD上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________；
(2)【问题探究】
如图②，与CD相交于点，与CD相交于点，且，求证：；
(3)【拓展延伸】
已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长．
9．（2023·江苏常州·模拟预测）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？
把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图．于是，由，，可得．
【感知】
（1）如图2，在中，若，，则______．
【探究】
（2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，，请探索线段、、之间的等量关系，并说明理由．
【拓展】
（3）如图4，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度______．
组别
方案
甲组
①在河岸边点处，选对岸正对的一棵树，即垂直河岸；②沿河岸直行处有一棵树，继续前行到达点处；③从点处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的点处时（即点在同一直线上），停止行走；④测得的长为．
乙组
①在河岸边点处，选对岸正对的一棵树，即垂直河岸；②从点出发，沿着与直线成角的方向前进到处，在处测得，③量出的长，它就是河宽（即点之间的距离）
问题解决
（1）根据甲组的方案，
①河的宽度是 ；
②请说明他们做法的正确性（需写出必要的过程）
（2）根据乙组的方案，请写出在判断过程中，他们都用到了哪些数学几何知识？（至少2条）