高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册等差数列公开课第2课时教案

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4.2.2等差数列的前n项和（第2课时）
一、教学目标
①通过等差数列的前n项和公式的变形应用，体会等差数列前n项和与一元二次函数表达式的关联，培养学生的逻辑推理核心素养；
②通过等差数列的前n项和的性质的探究与应用，进一步培养学生的数学运算核心素养；
③通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活.同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养.
二、重点难点
教学重点：等差数列前n项和的性质
教学难点：等差数列前n项和性质应用
三、教学过程
环节一：创设情境，导入新课
某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位．
环节二：回顾旧知，学习新知
问题1：从上述引例情境的探究中，你能总结一下建立数列模型解决实际问题的基本步骤吗?
变式探究：
《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有这样一个问题：“今有女善织，日益功疾。初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何?”其意思为：“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布.第一天织5尺，一个月(按30天计)共织390尺，问：每天多织多少布?”已知1匹=4丈，1丈=10尺，试计算该女子每天多织的布为多少尺.
问题2.已知数列的前项和为，其中，，为常数，且，求数列的通项公式，并说说你有什么发现？
环节三：根据新知，简单应用
例1.已知等差数列的前项和为，若，公差，则是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由．
变式训练：
1.已知等差数列的前n项和为，，且，则（ ）
A．B．
C．当时，取最小值D．当时，n的最大值为10
2．在等差数列中，，，求的最小值以及相对应的n值．
环节四：新知再认识，能力提升
题型一：等差数列前n项和的性质应用
1．片段和性质
例. 若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（ ）
A．30B．70C．50D．60
2.等差数列前n项和,则也为等差数列
例．在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ．
3.等差数列的前项和分别为，则.
例．等差数列的前项和分别为，已知，则的值为
4.单调性与对称性．
例.在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
变式训练：
1．设为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．12B．14C．16D．18
2．已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ）
A．﹣4040B．﹣2024C．2024D．4040
3．已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ）
A．2B．3C．5D．6
4．已知等差数列的公差为，前项和为．设甲：；乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
题型二：等差数列，求数列的前n项和问题
例．已知数列an的前项和.
(1)求数列an的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由;
(2)记数列的前项和为，若，求.
变式训练：
已知等差数列的前项和为，与的等差中项为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
环节五：凝练升华，课堂小结
问题5：回顾本节课的学习内容，回答下列问题：
1. 本节课学习了等差数列前n项和的哪些性质？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
环节六：布置作业，应用迁移
巩固作业：教科书第24页练习第3题
教科书第25页习题4.2第7，8题
拓展作业：教科书第24页练习第5题
巩固作业：
3．已知等差数列，，，…的前项和为，是否存在最大（小）值?如果存在，求出取得最值时的值．
7.已知是等差数列的前项和．
（1）证明是等差数列；
（2）设为数列的前项和，若，，求．
8．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和．
拓展作业：
5．已知数列的通项公式为，前项和为．求取得最小值时的值．