高中等比数列精品第1课时教学设计

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4.3.1等比数列的概念（第1课时）
一、教材分析
(1)内容的本质
等比数列是两种“最基本”的数列之一，是刻画数学中或现实中具有递推规律和取值规律的特殊数列，对它的概念、取值规律与应用的研究，将为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础.等比数列的概念、性质与应用既是本章的学习基础，也是本章的重点内容.
由于等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，具有明显的对偶关系，因此对于等比数列的研究，可以类比等差数列的研究路径，按照研究一个数学对象的基本路径，即“事实→概念→性质→应用”来展开研究，让学生自主构建等比数列的研究内容和过程，进一步体会通过数学运算、逻辑推理等研究一个数学对象的一般过程.与等差数列类似，等比数列也是具有明确现实背景、可以给出精确的规律表达、在解决实际问题和数学问题中有重要应用价值的一类数列，它是刻画现实生活中“比值不变”的离散数值的特殊数列，是处理现实生活中“等比”问题(例如存款利率、购房贷款、放射性物质的衰变等)的重要数学模型.与等差数列与一次函数的关系类似，等比数列是定义在正整数集(或其有限子集)上的指数型函数.求等比数列的前n项和是研究级数敛散性的基础，可以借鉴“等差数列的前n项和公式”的研究经验，发现和提出研究“等比数列的前n项和公式”的基本路径，并用于解决问题.与等差数列前n项和公式一样，等比数列的前n项和公式是等比数列的定义、通项公式和特征性质直接应用的结果，是研究数列问题的基础.
(2)知识的上下位关系
本单元借鉴了研究函数的经验，按照“一般数列→特殊数列”的顺序展开，“特殊数列”是指取值规律“最简单”的等差数列和等比数列.等比数列通项公式和前n项和公式是借鉴等差数列的相关研究经验所探究的特殊数列的公式与性质，既是等差数列相关公式推导思路的延展，为后续数列相关问题提供了学习内容和思维方法上的引导，也是今后研究级数的预备.在后续数列内容的学习中，将“陌生”的数列转化归结为等差数列、等比数列这两类“特殊数列”是常用的思路.因此，本单元内容有着承前启后的作用.
(3)内容蕴含的数学思想和方法
研究一个数列，基本而重要的问题是它的取值规律，基本的思想方法是通过运算发现“运算中的不变性、规律性”,等差数列、等比数列的定义就反映了这个思想方法.以运算为手段来探索数学对象的取值规律是一种重要的思维方法.通过对5个具体例子共性的归纳，抽象出等比数列的概念，后续对通项公式和前n项和公式进行探究，其中蕴含了特殊与一般、函数与方程、转化与化归、数形结合的数学思想方法.通过研究等比数列与指数函数的关系，感悟数列是特殊的函数，学会以函数的观点看数列的概念、发现和理解数列的性质、认识数列的应用价值等.一方面可以让学生用函数的观点认识和理解数列的内容，另一方面可以加深学生对函数概念及其思想方法的理解，使其体会数学的整体性.等比数列通项公式和前n项和公式的推导中体现了“无限项”到“有限项”的“化多为少”的转化思想，蕴含着用确定数列的基本量表示通项与前n项和的数学思想.与推导等差数列的前n项和公式的“倒序相加法”类似，推导等比数列前n项和公式的“错位相减法”也是一种带有技巧性但很便捷的方法，同时推导等比数列前n项和公式所需要的代数变形技巧具有挑战性，而且蕴含着差分、微积分等基本思想，但与“倒序相加法”不同的是，“错位相减法”源于对等比数列前n项和公式的观察和分析，其探索过程蕴含了丰富的数学思想方法(如特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等),充分体现了数学思想方法的融合.
(4)内容的育人价值
历史上人们对等比数列的研究比等差数列还要早，现实中等比数列的应用十分广泛，学生对于数值呈指数爆炸式增长的情境较为熟悉，本单元的学习有助于学生从数学的角度思考这些生活中常见的情境，树立“数学来源于生活并应用于生活”的观念.在推导等比数列通项公式和前n项和公式的过程中，无论是对归纳猜想法、“累乘法”还是对“错位相减法”的探究，都让学生经历了从等比数列概念出发，观察代数式的形式特点，运用数学思想经过不断尝试得出方法的全过程，这能有效提升学生的数学运算、逻辑推理和数学抽象素养.学生在学习数列求和时，能体会到数学思想方法诞生的曲折过程，感受到数学家在进行数学研究时的探索精神和创新意识，同时对培养学生的科学精神有着十分重要的作用.特别是“错位相减法”所蕴含的“化多为少”和“化繁为简”的数学思想，会让学生感受到数学的“无可名状”之美.在探究数列应用问题时，需要学生发现问题中成等差、等比关系的量，并抽象构造数列模型来刻画现实中具有递推规律的事物，不仅可以培养学生的数学阅读理解能力和数学建模能力，而且有利于学生养成利用数学问题的结论进行决策的思维习惯，是“三会”的具体化.教科书中“一尺之棰”的例子蕴含了数列极限的思想，展现了中华民族先贤们的智慧，是数学学科育人的具体体现。
二、学情分析
(1)认知基础
学生之前经历了探索等差数列定义、通项公式、前n项和公式的过程，对研究数列的一般路径有具体的感受，积累了有关特殊数列求和的研究经验，具备了学习等比数列的认知基础.这些认知基础对于分析等比数列项的变化规律，利用等比数列的定义及性质减少项数，发现错位相减的运算特点，并最终能够顺利地推导出求和公式，起到了引领思路的作用.通过之前函数、等差数列等知识的学习，学生对数列是一种特殊的函数这一观念有了较为深入的理解，初步具备了从函数的角度看待数列的思维习惯，这些都有助于学生探究等比数列与指数函数的关系.学生经历过从实际问题中抽象出等差数列模型的过程，具备一定的数学建模能力，这有利于学生自主解决等比数列的实际应用问题.
(2)认知困难
首先，在探究等比数列和指数函数的关系时，在且(与指数函数底数取值范围相同)和的条件下，等比数列的通项公式实际上是经过坐标变换和对称变换的指数函数表达式，对于这一点，部分学生理解起来可能会有困难.另外教科书“边空”中的问题“类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性”,对于基础薄弱的学生，要分类讨论出完备的结论也会有一定难度.其次，虽然学生有过推导等差数列前n项和公式的数学活动经验，但“倒序相加法”和“错位相减法”在思维方法上有所不同，学生容易产生知识的负迁移，同时很多学生会觉得“错位相减法”巧妙但“想不到”,怎样让推导过程能够相对自然地呈现，成为学生理解推导过程合理性的一个关键.再者，准确地从实际问题中抽象构建出数列模型，对部分学生而言会遇到困难.最后，对于教科书例题中出现的由等差、等比数列通过运算组合成的“陌生”数列的问题，由于在前面的内容中找不到现成的方法，学生往往会不知如何下手。
(3)应对策略
①探究等比数列和指数函数的关系时，可以简单回顾一下函数的坐标变换和对称变换，利用信息技术多作一些图象帮助学生理解.对于“类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性”这一问题，可引导学生从函数单调性的角度结合图象来考虑，囿于课堂容量，可以放到课后思考题中，在作业讲评中予以解决.
②在探究推导等比数列前n项和公式时所用的“错位相减法”时，要引导学生用数列的基本量(特别是首项和公比)去表示前n项和，思考如何“消项”,多观察定义式、通项公式和,充分开展自主探究、合作交流，多做尝试，进而得出推导公式的思路.此处教师启发的度要把握好，不宜直接点明方法，要让学生经历探究中思维逐渐从模糊到清晰的升华过程.从某种意义上说，推导公式的过程比公式本身更重要.
③对于数列的实际应用问题，关键是发现问题中成等比关系的量，从实际背景中抽象出数列模型.教学时要加强对学生数学阅读理解能力的培养，帮助学生正确理解题意，可以按顺序列举几个具体数值帮助寻找规律，这种由特殊到一般的操作方法符合学生的认知规律.同时从文字语言到数学符号表达规律时，要让学生独立写出，对出现的表达不准确的内容可以采取全班讲评的方式予以修正，之后给出准确的符号表述，这对提升学生的数学符号表达能力十分重要.
④对于由等差、等比数列构造的新数列及递推数列的相关问题，教学时，一是要通过“求通项→用电子表格求出若干项→发现规律→证明结论”的途径进行解决，其中学生不容易想到数列单调性的证明方法，实际教学中要引导学生从特殊函数的角度观察数列，再结合函数单调性的判定方法，探究解决方法；二是“陌生”的数列可通过代数变形转化为最常用的两类特殊数列——等差数列和等比数列，这是今后解决类似问题的重要思维方向，对变形过程中渗透的“转化与化归”数学思想，教学中要引起足够重视.
三、教学目标
（一）课程标准要求
①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。
②探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。
③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。
④体会等比数列与指数函数的关系。
（二）课时目标要求
(1)能通过具体实例，归纳出等比数列的概念，并形成符号化定义；能根据定义探索归纳出等比数列的通项公式，能解释公式的含义和限制条件；能根据等比中项的概念写出对应等式.
(2)能通过解析式、图象等，说出等比数列的通项公式与指数函数之间的共性与差异；会用函数的观点解释等比数列，提升数学抽象、逻辑推理素养.
(3)会通过解方程组求等比数列的基本量，并能得出等比数列的一些性质，会利用通项公式解决一些简单问题，着重提升数学运算素养.
四、重点难点
教学重点：等比数列的概念
教学难点：等比数列通项公式的推导.
五、教学过程
环节一：创设情境，导入新课
问题1：在前面的学习中，我们已经学习了等差数列，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
师生活动：独立思考后，学生代表回答.类比等差数列的概念，从加、减、乘、除运算的角度，学生回答的可能有三种数列：等和、等积和等商(比)数列(仿照等差数列命名).
如：等和数列：;等积数列：;
等商(比)数列：等.
在此过程中，教师引导学生了解：相对于等和与等积数列，等比数列的性质更为丰富，在生活中的应用更广泛，本节课我们将要研究等比数列.
追问：请你回顾等差数列的学习历程，我们按照怎样的研究路径实现等差数列内容的研究的？
师生活动：师生一起回顾等差数列的学习历程，形成等差数列的研究路径和研究方的共识。
即“通过运算探究实例中数列的共同取值规律→抽象出定义→根据定义归纳得到通项公式→利用通项公式，探究数列与相关函数的关系→利用通项公式解决问题→推导数列的前n项和公式→利用通项公式与前n项和公式解决问题”.
设计意图：本节的内容可以为学生提供了很好的自主学习的机会，教学时可以让学生在与等差数列类比的基础上，自己发现研究对象，并针对研究对象提出研究内容、探索研究方法、获得研究结论.教学中，可侧重提醒学生注意新的研究对象的独特性.
环节二：回顾旧知，学习新知
问题2：请看下面几个问题中的数列.类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现这些数列的取值规律?你发现了什么规律?
情境1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
；①
；②
；③
情境2．《庄子・天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是
④
情境3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
⑤
情境4．某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
．⑥
师生活动：我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．
如果用表示数列①，那么有
，，……，．
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9．
其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律．
发现数列②满足；
数列③满足；
数列④满足
数列⑤满足
数列⑥满足
这表明数列①②③④⑤⑥具有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数.
设计意图：学生可以通过除法运算发现例子中数列的不变性，体会以运算为手段来探索数学对象的取值规律是一种重要的思维方法.学生除了会用文字语言表达规律外，还应学习用数学符号去表示规律，这也是用数学的语言表达世界的具体体现.
问题3：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能归纳它们的共性，抽象出等比数列的概念吗?
等比数列的概念：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列（gemetric prgressin），这个常数叫做等比数列的公比（cmmn rati），公比通常用字母表示（显然)．例如，数列①~⑥的公比依次是9，100，5，，2，．
与等差中项类似，如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项（gemetric mean）．此时，，．
追问1：你能类比等差数列的定义的符号表示写出等比数列定义的符号表达式吗?
师生活动：学生回顾等差数列的符号表示：或，进而结合等比数列的概念类比等差数列的符号表示即可得到等比数列概念的符号表示：或
追问2：你能根据等比数列的定义及符号表示，给出等比数列定义的内涵么？
理解等比数列的定义，需要注意以下几个方面：
“从第2项起”是后续条件，有两层内涵：一是因为第1项没有前一项，所以没有办法与前一项作比比较；
“从第2项起”表明成立，则，公比可以是任意非零实数；
确保该数列中任何一项与前一项的比都是同一个常数.
每一项与它的前一项的比指出作比比较的顺序；
强调作比比较的两项必须相邻.同时，等比数列的符号描述为判定一个数列是否为等比数列提供了基本依据和方法，也是推导等比数列通项公式的起点，是理解概念内涵的关键。
问题4：类比等差数列通项公式的推到过程（归纳迭代法和累加法），你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
师生活动：设一个等比数列的首项为，公比为．根据等比数列的定义，可得
，
即就是等比数列的递推公式．
所以
，，，…．
于是
……
归纳可得
．
当时，上式为．这就是说，上式当时也成立．
所以
以上方法为逐步迭代法
令一方面：（累乘法）
由定义得，，，……，，
将这些等式的两边分别相乘得
，
整理得：
.
当时，上式为，这就是说，上式当时也成立．
综上，首项为，公比为的等差数列的通项公式为：
追问：等比数列的通项公式中涉及了哪几个量?你能由此分析一下确定一个等比数列的基本条件吗?
师生活动：学生观察通项公式的结构回答：首项、公比、项数、第项.其中，首项、公比是基本量，由基本量就可以唯一确定一个等比数列.因此，在解决等比数列问题时，我们要重视用基本量表示数列中其他元素.
设计意图：在利用不完全归纳法得出通项公式的基础上，引导学生探究另外一种推导方法——“累乘法”。这样既能从逻辑上消除学生对归纳推理所得结论的疑问，又可以让他们在今后遇到递推求通项等问题时多一种思维方向，在探究过程中还可以让学生进一步体会“以简驭繁”的转化思想。
问题5：在等差数列中，公差的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，通过类比，等比数列可以与那个函数建立联系？
师生活动：类似于等差数列与一次函数的关系，由可知，当且时，等比数列的第项是函数当时的函数值，即（如图4.3-1所示）.
反之，任给函数（为常数，，且），则，，…，，…构成一个等比数列，其首项为，公比为
追问1：类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性．
师生活动:教学中可以引导学生思考，除了要像指数函数那样，分为和两种情况讨论外，还要考虑时的情况，以及将整个数列分为和两种情况进行讨论.具体地，可以引导学生列出下表中的几种情况.
追问2：公比且的等比数列的图象有什么特点?
师生活动：师生一起通过具体的等比数列的图象的作图，探究得到结论：公比且的等比数列的图象特点是：等比数列的图象是函图像上一群孤立的点。
设计意图：基于等比数列与指数函数的关系，通过具体数列图象的画法，直观得出图象特点.不仅从代数角度论证了数列与对应函数的关系，还通过图象加以“印证”,学生既能体会代数与几何的统一性，又能进一步加深对数列是特殊的函数的理解.
环节三：根据新知，简单应用
例1：若等比数列的第4项和第6项分别为8和12，求的第5项．
分析：等比数列由，唯一确定，可利用条件列出关于，的方程（组），进行求解．
解法1：由，，得
②的两边分别除以①的两边，得
．
解得
或．
把代入①，得
此时
．
把代入①，得
此时
．
因此，的第5项是24或．
解法2：因为是与的等比中项，所以
．
所以
．
因此，的第5项是24或．
设计意图：例1与4.2节的例7类似，也给定了两个独立的条件.与等差数列的问题类似，只要给定两个独立的条件，就能确定等比数列，从而求出数列的某一项等.但与等差数列不同的是，根据两个给定条件得到的关于首项和公比的方程组的解往往不唯一，有时会得到两个的值，也就是得到两个不同的等比数列.此外，为了让学生熟悉等比中项，教科书把例1中要求的数列的某一项设置为给定两项的等比中项，这样学生就可以直接利用等比中项的定义解决问题了.
例2：已知等比数列的公比为，试用的第项表示．
解：由题意，得
，①
．②
②的两边分别除以①的两边，得
．
所以
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示．
设计意图：部分学生不能顺利将文字阅读转化为“数学阅读”,教师要逐字逐句分析题目，引导学生明白问题的实质是要用已知量和表示.对两种思路算法的分析十分必要，不能心中只有具体方法没有数学思想，消元、降次是解方程(组)重要的数学思想。
例3：数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列．
分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．
解：设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，80，，．于是得
解方程组，得
或
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，．
师生活动：学生独立思考，教师给出解答示范．
设计意图：例3安排了一道综合应用等差数列和等比数列的通项公式解决问题的题目．根据条件包含的等量关系，列出关于数列相关量的方程组是解决这类问题的常用策略．本题利用中间量去表示其他各项，可以减少所设未知数的个数．通过此题提高学生分析问题、解决问题的能力．
方法规律 等比数列通项公式的求法
1. 在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项，因此根据已知条件，建立关于的方程组，求出，后再求出，这是常规方法.
2. 在已知等比数列中任意两项的前提下，利用也可求出等比数列中的任意一项.故只需充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再根据公式求，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.
随堂演练：
1. 已知是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数．
【答案】第一行：4，16，；第二行：50，0.08，0.0032
【解析】
【详解】第一行：，
所以.
第二行：2.在等比数列中，
(1)已知，求；
(2)已知，求.
解：设等比数列的公比为．
（1）由得．
再由得，
则，
所以，所以．
（2）由得，因为，所以，
所以
环节四：新知再认识，能力提升
题型一：等比中项问题.
例：（1）已知等比数列的前3项依次为，求实数的值；
解：因为等比数列的前3项依次为，
所以，解得或.
又因为当时，不合题意，
所以实数x的值为.
（2）已知数列为等比数列，若数列的前三项和为168，，
求，的等比中项.
【详解】设等比数列的公比为，因为，所以.
由已知得，即，解得，
若G是，的等比中项，则有，
所以，所以，的等比中项为.
方法规律：等比中项的应用
等比中项的理解
（1）是与的等比中项，则与的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项.此时，，即等比中项有两个，且互为相反数.
（2）时，不一定是与的等比中项.例如，但不是等比数列；
（3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项；
（4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中，
变式训练：
1．若数列是等比数列，则实数的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据等比中项的性质计算可得.
【详解】因为数列是等比数列，
所以，解得或，
当时，不满足，故舍去；
当时，经检验符合题意，所以.
故选：B
2.在等差数列中，，如果是与的等比中项，那么________.
解：设等差数列的公差为，
由题意得，∴.
又∵是与的等比中项，
∴，即，
∴，解得或 (舍去).
∴.
题型二：等比数列的判定
例.1.对数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论．
【答案】是（证明见解析）
【详解】由题意知:,
因为，，，为定值常数，且
所以数列为以为首项，为公比的等比数列.
2．数列的前n项和为，且.
(1)求证：数列为等比数列;
(2)求数列的通项公式；
【答案】(1)证明见解析，
【详解】因为①，
所以当时，②，
①②得：，即(*)，
又当时，，即，所以，
由(*)可得，，
则数列an为以2为首项，2为公比的等比数列，故；
规律方法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列满足(，为常数且不为零)或 (，，为常数且不为零)，则数列是等比数列.
(2)通项公式法：若数列的通项公式为，则数列是等比数列.
(3)等比中项法：若 (且)，则数列为等比数列.
变式训练：
1.已知是等比数列，求证：成等比数列．
【详解】证明：因为是等比数列，
所以是的等比中项，则，且均不为零．
又，
，
所以，
即是与的等比中项．
所以是等比数列．
2．在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由．
【答案】是等比数列，理由见解析
【详解】因为，所以当时，，
当时，，整理可得，
因为，又.
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列．
题型三：累乘法求数列通项公式
例：已知数列中，，，求数列的通项公式．
【详解】因为，所以当时，，
所以，，…，，，
以上个式子左右两边分别相乘，
得，即，
所以．
当时，，符合上式．
所以数列的通项公式是．
规律方法：累乘法（叠乘法）（记忆累乘法模型）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
，，，……，
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
再检验即可.
变式训练：
已知数列的前项和为，且满足．
(1)求的值；
(2)试猜想的通项公式，并证明．
【答案】(1)， (2)，证明见解析
【详解】（1）由题知，，解得，
同理，，解得；
（2）由（1）可猜想，证明如下：
已知，当时，有，
化简得，即，
则有，
又，故，
则，
当时，上式仍成立，则．
题型四：形如(为常数)的通项公式求解
例：1．已知数列中，，证明：数列是等比数列.
【答案】证明见解析
【详解】因为，所以，
因为，所以，又，
所以，所以数列是以5为首项，2为公比的等比数列；
2．正项数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】证明见解析
【分析】依题意可得，即可得结合等比数列的定义证明即可.
【详解】因为，所以，
又因，所以，
所以根据等比数列定义可知是以为首项，为公比的等比数列.
所以，即
规律方法：形如(为常数，)的通项公式求解方法
形如(为常数)的通项公式求解方法为构造数列为等比数列求解，具体的步骤如下：
设，并整理得
将与对比得，
当时，解得
证明()为等比数列，并根据等比数列求得的通项公式
根据的通项公式得的通项公式.
，
变式训练：
1．已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若正整数m，r，k成等差数列，且，试判断能否构成等比数列，并说明理由．
【答案】(1)(2)不能构成等比数列，理由见解析.
【详解】（1）
由，可得，
数列是以6为首项，2为公比的等比数列，
（2）不能构成等比数列，理由如下：
，若构成等比数列，则，
，即.
由题意知，，
，
，，
均为偶数，为奇数，为偶数，
不可能成立，不可能构成等比数列.
环节五：凝练升华，课堂小结
问题6：回顾本节课的学习内容，回答下列问题：
(1)如何证明一个数列是等比数列?
(2)本节课推导等比数列通项公式用了哪几种方法?是如何推导的?
(3)请说说等比数列与指数函数之间的关系.
(4)从算法的角度来看，含有等比数列基本量的相关方程(组)的解法有什么特点?解法中蕴含了什么数学思想?
师生活动：在学生独立回顾、思考总结的基础上进行班级交流，然后教师点评、总结.
设计意图：利用符号化概念判定某数列是否为等比数列是此类问题的基本思维，需要通过问题促进学生对概念的深化理解.学生通过学习推导等比数列通项公式的几种方法，既积累了处理代数式的数学活动经验，同时还能有效提升逻辑推理能力.数列是离散型函数，从函数的角度理解数列是本章内容的核心思想，学生需要加深理解.通过解方程(组)求等比数列基本量时，要运用消元、降次思想，结合等比数列的特点形成算法思路.
环节六：布置作业，应用迁移
巩固作业：教科书第31页练习第1、3、5题
1．判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比．
（1）3，9，15，21，27，33；（2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641；
（3），，，，，；（4）4，，16，，64，．
1．【解析】（1）3，9，15，21，27，33；因为，故不是等比数列；
（2），，，，；
所以，所以是等比数列，公比；
（3），，，，，；显然，故不是等比数列；
（4）因为，，，，，；
所以，所以是等比数列，公比．
3. 在等比数列中，，．求和公比q．
【答案】或
【详解】解：设等比数列的首项为，公比为，
因为，，
由等比数列的性质可得，，又，
，，
，解得：，
当时，由，所以；
当时，由，所以
所以或
5．已知数列是等比数列．
（1），，是否成等比数列？为什么？，，呢？
（2）当时，，，是否成等比数列？为什么？当时，，，是等比数列吗？
5．解析：（1）设等比数列的公比为，则，，
，则，，成等比数列；
又，则，所以，，成等比数列；
（2），，
，所以，，成等比数列；
又，则，所以，，是等比数列．
环节七板书设计
4.3.1等比数列的概念
1.等比数列的概念 例1.
文字语言：
符号语言：
等差中项：
例2
2.等比数列的通项公式：
例3
3.等比数列与指数函数的关系
的范围
等比数列的单调性
单调递减
不变
单调递增
单调递增
不变
单调递减
q
2
8
2
0.2