人教A版 (2019)选择性必修 第二册等差数列优质第2课时教案

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4.2.1等差数列的概念（第2课时）
一、教学目标
①掌握等差数列的重要性质，并应用，培养学生逻辑推理，数学运算素养；
②能够根据等差数列的性质进行运算.
二、重点难点
重点：等差数列性质及其应用
难点：等差数列性质的推理.
三、教学过程
环节一：创设情境，导入新课
在大自然中，美无处不在，雄伟的高山，潺潺的溪流，茂密的森林.同样，数学也可以给人以美的感受.我们来看下面这个例子：如图，某仓库有一堆钢管，最上面有四根，下面每一层比它的上一层多一根，记最上层钢管数为，往下每一层的钢管数依次记为，
则，，，，，.
师：假设我们把这堆钢管倒过来放置，如下图，你能从中发现什么规律吗?
易知数列是等差数列，那么这种规律性是否具有一般性呢？本节课，我们将学习等差数列的概念和通项公式的实际应用，进而探究等差数列的性质
环节二：情境问题，探究应用
情境问题一：
例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定的取值范围．
问题1：如何根据实际意义建立数列模型?题目条件中包含哪些不等关系?利用什么公式列不等式?
问题情境二：
例2.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．
（1）求数列的通项公式．
（2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由．
问题2：如何确定新的等差数列的首项和公差?判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么?
思考：
（1）如果插入个数，那么的公差是多少？
（2）对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？
问题情境三：
例3：已知数列是等差数列，，且．求证：．
思考：
1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？
等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列的某一项和公差表达第项，即，变形可得.
2）例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？
练习：
课本17页练习第1、2、3题
练习（第17页）
1．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗?第10排有多少个座位?
2．画出数列的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率．
3．在等差数列中，，且，求．
环节四：新知再认识，能力提升
题型一：利用等差数列的性质计算
例：（1）已知数列，为等差数列，且公差分别为，，则数列的公差为（ ）
A．B．C．D．
（2）已知数列为等差数列，且公差为.
1）若，，求的值；
2）若，，求公差.
方法规律：等差数列等差中项的应用
等差数列的性质
(1)在等差数列中,,且,则.
(2)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列.
(3)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列.
(4)若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为
(5)若分别是以为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列.
(6)若是等差数列,公差为,则,组成公差为的等差数列.
变式训练：
1．设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第37项为（ ）
A．1B．0C．100D．3700
2．已知在等差数列中，，，则（ ）
A．30B．32C．34D．36
3．在等差数列中，已知，，求的值．
题型二：灵活设元求解等差数列.
例. （1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列；
（2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．
规律方法 等差数列项的常见设法
(1)通项法：设数列的通项公式，即设.
(2)对称项设法：
当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：…，，…；
当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：…，，….
对称项设法的优点是：若有个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为.
变式训练：
已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.
环节五：凝练升华，课堂小结
问题4：回顾本节课的学习内容，回答下列问题：
本节课学习了数列的哪些性质，你有什么体会？
环节六：布置作业，应用迁移
巩固作业：教科书第25页习题4.2第5、6、8题
巩固作业答案：
5.已知一个多边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为、求这个多边形的边数．
6. 已知数列，都是等差数列，且，，，求数列的前100项和．
8. 已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和．