江苏省扬州市2024-2025学年九年级上册期中数学检测试卷合集2套（含解析）

这是一份江苏省扬州市2024-2025学年九年级上册期中数学检测试卷合集2套（含解析），共62页。
A．ax2﹣3x+2＝0B．
C．x2+5x＝0D．x（x2﹣4x）＝3
2．（3分）若⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
3．（3分）已知5个数a1、a2、a3、a4、a5的平均数是a，则数据a1+1，a2+1，a3+1，a4+1，a5+1的平均数为（ ）
A．a+1B．aC．aD．2a
4．（3分）若a+3b＝0，且ab≠0，则的值等于（ ）
A．5B．﹣5C．6D．﹣6
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列变形结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝7C．（x﹣4）2＝1D．（x﹣4）2＝7
6．（3分）一组数据26，32，32，36，46，■7，52进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
7．（3分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A．15°B．28°C．29°D．34°
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形对角线BD所在直线上的一个动点，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF（点A，E，F按逆时针排序），则CF长的最小值为（ ）
A．B．C．4D．2
二.填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
9．（3分）若关于x的方程（m+2）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则m的取值范围是 ．
10．（3分）已知线段a＝2，b＝8，则a，b的比例中项是 ．
11．（3分）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分．
12．（3分）已知点O是△ABC的外心，且AO+BO＝6，则CO＝ ．
13．（3分）某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，则平均每月的增长率为 ．
14．（3分）已知某组数据方差为S2＝，则的值为 ．
15．（3分）如图，平面直角坐标系中，正方形EFBG和正方形ABCD是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若AD＝6，则点G的坐标为 ．
16．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 ．
17．（3分）如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若⊙O经过其顶点A、B、C，则圆心O到AB的距离为 ．
18．（3分）如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB＝10，BE＝2，过点E作弦CD⊥AB，P是上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为 ．
三.解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置。）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．
20．（8分）甲、乙两名运动员在相同条件下6次射击成绩的折线统计图如下：
（1）填表（单位：环）
（2）计算甲、乙射击成绩的方差，并判断哪位运动员的射击成绩更稳定？
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．
（1）证明：无论m取何值，此方程必有实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB＝1，AC、BC的长是此方程的两个根，求m的值．
22．（8分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）当每件的售价为50元时，日销量为 件；
（2）若日利润为448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？
23．（10分）请按下列要求作图．
（1）如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线；
（2）如图2，已知⊙O2，点Q在⊙O2外，用尺规作⊙O2上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹）
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE，且CB＝CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，AB＝4，求⊙O的半径．
25．（10分）阅读材料，解答问题：
我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现，如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可以推出x1+x2＝﹣，x1•x2＝；已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：已知实数a，b满足：a2﹣7a+1＝0，b2﹣7b+1＝0，且a≠b，则a+b＝ ，ab＝ ；
（2）间接应用：在（1）条件下，求的值；
（3）拓展应用：已知实数m，n满足：＝7，n2﹣n＝7且mn+1≠0，求﹣n的值．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M （填内、外、上）；
（4）在方格中，连接AB，AC，BC，将△ABC以原点O为位似中心，缩小为原来的，请画出缩小后的图形△A1B1C1．
27．（12分）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，，AE＝3，DF＝6，则菱形ABCD的边长为 ．
28．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．
（1）当t＝1时，⊙M的半径是 cm，⊙M与直线CD的位置关系是 ；
（2）在点P从点A向点B运动过程中，当⊙M与矩形ABCD相切时，求t的值．
（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，t的值是 ．
答案与试题解析
一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
1．（3分）下列属于一元二次方程的是（ ）
A．ax2﹣3x+2＝0B．
C．x2+5x＝0D．x（x2﹣4x）＝3
【分析】根据定义（只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程）判断即可．
解：A、ax2﹣3x+2＝0当a＝0时方程变为一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、有分式不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、x2+5x＝0满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、x（x2﹣4x）＝3去括号并移项后为x3﹣4x2﹣3＝0是一元三次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程的判断，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2．（3分）若⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
解：根据圆心到直线的距离5大于圆的半径4，则直线和圆相离．
故选：C．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，能够熟练运用数量关系判断直线和圆的位置关系．
3．（3分）已知5个数a1、a2、a3、a4、a5的平均数是a，则数据a1+1，a2+1，a3+1，a4+1，a5+1的平均数为（ ）
A．a+1B．aC．aD．2a
【分析】根据平均数的算法计算即可．
解：由题意得，，
则a1+1，a2+1，a3+1，a4+1，a5+1的平均数为：，
故选：A．
【点评】本题主要考查平均数的概念，熟练掌握算术平均数是计算是关键．
4．（3分）若a+3b＝0，且ab≠0，则的值等于（ ）
A．5B．﹣5C．6D．﹣6
【分析】直接利用已知代入分式化简得出答案．
解：∵a+3b＝0，且ab≠0，
∴a＝﹣3b，
则分式．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式化简求值，正确对式子进行变形，化简求值是解决本题的关键．在解题过程中要注意思考已知条件的作用．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列变形结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝7C．（x﹣4）2＝1D．（x﹣4）2＝7
【分析】首先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
解：x2﹣4x﹣3＝0，
∴x2﹣4x+4＝3+4，
即（x﹣2）2＝7，
故选：B．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
6．（3分）一组数据26，32，32，36，46，■7，52进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断．
解：这组数据的平均数、方差和中位数都与第6个数有关，而这组数据的众数与第6个数无关．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7．（3分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A．15°B．28°C．29°D．34°
【分析】根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，从而可求得∠ACB的度数．
解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，
根据量角器的读数方法可得：（86°﹣30°）÷2＝28°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角的度数和它所对的弧的度数之间的关系：圆周角等于它所对的弧的度数的一半．
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形对角线BD所在直线上的一个动点，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF（点A，E，F按逆时针排序），则CF长的最小值为（ ）
A．B．C．4D．2
【分析】根据正方形的性质和题干给定的△AEF是以AE为斜边作等腰直角三角形，证明△GLA∽△FLE，得到进一步证明△GLF∽△ALE，得到GF∥AB，由正方形的性质得点H为BC的中点，有点F在BC的垂直平分线GH上运动，当点F与点H重合时，CF的值最小．
解：连接AC交BD于点G，连接GF并延长交BC于点H，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝45°，AB＝CB＝4，
∵△AEF是以AE为斜边作等腰直角三角形，
∴AF＝EF，∠AFE＝90°，∠FAE＝∠FEA＝45°，
∵BD⊥AC，
∴∠AGL＝∠EFL＝90°，
∵∠ALG＝∠ELF，
∴△GLA∽△FLE，
∴，则，
∵∠GLF＝∠ALE，
∴△GLF∽△ALE，
∴∠LGF＝∠LAE＝45°，
∴∠LGF＝∠ABD，
则GF∥AB，
∴∠GHC＝∠ABC＝90°，
∵点G为正方形ABCD对角线的交点，
∴点H为BC的中点，
∴点F在BC的垂直平分线GH上运动，
∵CH⊥GH，
∴当点F与点H重合时，CF的值最小，此时．
即CF长的最小值为2．
故选：D．
【点评】此题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质和垂线段最短，利用相似的边长比证明对应三角形边长的相似比，并找到点的运动轨迹是解题的关键．
二.填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
9．（3分）若关于x的方程（m+2）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则m的取值范围是 m≠﹣2 ．
【分析】方程（m+2）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，二次项系数不能为零，由此即可求解．
解：根据题意得，m+2≠0，
∴m≠﹣2，
故m≠﹣2．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
10．（3分）已知线段a＝2，b＝8，则a，b的比例中项是 4 ．
【分析】设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可知，c2＝ab，代入数据可直接求得c的值，注意两条线段的比例中项为正数．
解：设线段a，b的比例中项为c，
∵c是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，
∴c2＝ab＝2×8，
即c2＝16，
∴c＝4（负数舍去）．
故4．
【点评】本题主要考查了线段的比．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b＝b：c，即b2＝ac，那么b叫做a与c的比例中项．
11．（3分）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 77 分．
【分析】根据该应聘者的总成绩＝创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值即可求得．
解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70×+80×+90×＝77（分），
故77．
【点评】此题考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的计算方法．
12．（3分）已知点O是△ABC的外心，且AO+BO＝6，则CO＝ 3 ．
【分析】根据三角形外心的性质结合AO+BO＝6，即可求解．
解：∵点O是△ABC的外心，
∴AO＝BO＝CO，
∵AO+BO＝6，
∴CO＝3，
故3．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟记三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等是解题的关键．
13．（3分）某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，则平均每月的增长率为 25% ．
【分析】设平均每月的增长率是x，根据2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，可列方程求解．
解：设平均每月的增长率是x，根据题意得
160（1+x）2＝250，
解得x＝25%或x＝﹣225%（舍去）．
答：平均每月的增长率是25%．
故25%．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用﹣﹣增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，增长率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．
14．（3分）已知某组数据方差为S2＝，则的值为 4 ．
【分析】由题意知，这组数据为2、3、3、8，再根据平均数的定义求解即可．
解：由题意知，这组数据为2、3、3、8，
所以这组数据的平均数为＝4，
故4．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式和算术平均数的定义．
15．（3分）如图，平面直角坐标系中，正方形EFBG和正方形ABCD是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若AD＝6，则点G的坐标为 （6，3） ．
【分析】根据位似图形的概念得到BG∥CD，证明△OBG∽△OCD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
解：∵正方形EFBG和正方形ABCD是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，
∴BG∥CD，＝，
∴△OBG∽△OCD，
∴＝＝，即，
解得：OB＝6，BG＝3，
∴点G的坐标为（6，3），
故（6，3）．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念得到BG∥CD是解题的关键．
16．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 x＝2021 ．
【分析】结合已知条件得到x+2＝2022，求得x即可．
解：a（x+2）2+bx+2b+c＝0整理得a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，
∴关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，其中一根为x+2＝2023，
解得x＝2021．
故x＝2021．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到x+2＝2023是解题的难点．
17．（3分）如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若⊙O经过其顶点A、B、C，则圆心O到AB的距离为 ．
【分析】取AB的中点D，过点D作DE⊥AB交AB于点D，交CF于点E，则圆心O在DE上，在取DE上取圆心O，连接OB，OC，根据题意可得DE⊥CF，，DE＝3，OB＝OC，再由勾股定理可得OD2+BD2＝OE2+CE2，即可求解．
解：如图，取AB的中点，过点D作DE⊥AB交AB于点D，交CF于点E，则圆心O在DE上，在取DE上取圆心O，连接OB，OC，
根据题意得：DE⊥CF，，DE＝3，OB＝OC，
∵OB2＝OD2+BD2，OC2＝OE2+CE2，
∴OD2+BD2＝OE2+CE2，
∴，
解得：，
即圆心O到AB的距离为．
故．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得到圆心的位置是解题的关键．
18．（3分）如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB＝10，BE＝2，过点E作弦CD⊥AB，P是上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为 ．
【分析】先根据圆周角定理判断点Q在以AD为直径的圆上，连接AD，以AD为直径作⊙M，如图，连接MO并延长交⊙M于Q′，则当Q点运动到Q′时，OQ的值最小，连接OD，再利用勾股定理计算出DE、AD、OM，然后计算OQ′即可．
解：∵AQ⊥PD，垂足为Q，
∴∠AQD＝90°，
∴点Q在以AD为直径的圆上，
连接AD，以AD为直径作⊙M，如图，
连接MO并延长交⊙M于Q′，
当Q点运动到Q′时，OQ的值最小，
连接OD，
在Rt△ODE中，∵OD＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴DE＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝4，
∴MA＝MQ′＝2，
在Rt△AOM中，OM＝＝，
∴OQ′＝MQ′﹣OM＝2﹣＝，
∴OQ的最小值为．
故答案为．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．
三.解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置。）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）∵a＝1，b＝4，c＝﹣1，
∴△＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
则x＝＝＝﹣2，
即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）∵（x﹣1）（x+3）﹣5（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（8分）甲、乙两名运动员在相同条件下6次射击成绩的折线统计图如下：
（1）填表（单位：环）
（2）计算甲、乙射击成绩的方差，并判断哪位运动员的射击成绩更稳定？
【分析】（1）根据图得出两运动员的涉及环数，依据平均数、中位数、众数的定义求解即可；
（2）根据方差的定义计算，再依据方差的意义求解即可．
解：（1）∵甲的6次射击成绩为：6、8、7、10、8、9，
∴平均数：，
8环出现2次，其他均为1次，即众数为8，
∵乙的6次射击成绩为：9、6、9、7、9、8，
∴排列为：6、7、8、9、9、9，中位数为，
9环出现3次，其他均为1次，即众数为9，
（2）甲射击成绩的方差为：
，
乙射击成绩的方差为
，
∵，
∴乙运动员的射击成绩更稳定．
【点评】本题主要考查折线统计图，
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．
（1）证明：无论m取何值，此方程必有实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB＝1，AC、BC的长是此方程的两个根，求m的值．
【分析】（1）证明Δ＞0即可；
（2）根据△ABC是等腰三角形分类讨论即可．
（1）证明：∵Δ＝（m﹣3）2﹣4×1×（﹣3m）
＝m2﹣6m+9+12m
＝m2+6m+9
＝（m+3）2≥0，
∴无论m取何值，此方程必有实数根；
（2）解：当AB＝1为腰时，则AC或BC有一条边为腰，
x2+（m﹣3）x﹣3m＝0的解为1，
∴1+（m﹣3）﹣3m＝0，
解得：m＝﹣1，
∵m＝﹣1时原方程两根为1和3，此时三角形三边为1，1，3，这样的三角形不存在，
∴m＝﹣1不合题意，应舍去，
当AB＝1为底时，则AC，BC为腰，
方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0有两个相等的实数根，
Δ＝（m+3）2＝0，
解得m＝﹣3，
综上所述，m的值﹣3．
【点评】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法是解题的关键．
22．（8分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）当每件的售价为50元时，日销量为 40 件；
（2）若日利润为448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？
【分析】（1）利用日销售量＝20+2×降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，日销售量为（140﹣2x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合商家想尽快销售完该款商品，即可得出每件售价．
解：（1）20+×10＝20+2×10＝20+20＝40．
答：当每件售价为50元时，日销量是40件．
故40；
（2）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，日销售量为20+×10＝（140﹣2x）（件），
依题意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝448，
整理得：x2﹣110x+3024＝0，
解得：x1＝54，x2＝56，
又∵商家想尽快销售完该款商品，
∴x＝54．
答：每件售价应定为54元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（10分）请按下列要求作图．
（1）如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线；
（2）如图2，已知⊙O2，点Q在⊙O2外，用尺规作⊙O2上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹）
【分析】（1）根据方格的特征，因为BD＝AE，∠BDA＝∠AEC＝90°，AD＝EC，得AB是直径，△ABD≌△CAE，即得∠BAD+∠ABD＝∠BAD+∠EAC＝∠BAC＝90°，据此作图即可；
（2）连接QO2，再作线段QO2的垂直平分线，交QO2于一点，即为点O，以点O为圆心，OQ为半径，⊙O2相交于点A，点B，连接QA，QB，因为QO2为直径，∠QAO2＝90°＝∠QBO2，即为切线l2，切线l2′，即可作答．
解：（1）如图1，直线AC即为所求：
；
（2）所有过点Q的切线为切线l2，切线l2′，如图2所示：
．
【点评】本题考查了切线的性质，过圆外一点作圆的切线（尺规作图）以及方格作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE，且CB＝CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，AB＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，DE，根据等腰三角形的性质和直径所对圆周角是直角得∠OEC＝90°，于是得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，由AC2+BC2＝AB2，OE2+CE2＝OC2得到关于r 的方程，即可求出半径．
（1）证明：如图，连接OE，DE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝∠DEB＝90°，
∴∠DEC+∠CEB＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠B＝∠CEB，
∴∠A＝∠DEC，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵∠A+∠ADE＝90°，
∴∠DEC+∠OED＝90°，即∠OEC＝90°，
∴OE⊥CE．
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，AB＝4，BC＝CE，
设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（2r+2）2+BC2＝（4）2，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
∴OE2+CE2＝OC2，
∴r2+BC2＝（r+2）2，
∴BC2＝（r+2）2﹣r2，
∴（2r+2）2+（r+2）2﹣r2＝（4）2，
解得r＝3，或r＝﹣6（舍去）．
∴⊙O的半径为3．
【点评】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键．
25．（10分）阅读材料，解答问题：
我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现，如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可以推出x1+x2＝﹣，x1•x2＝；已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：已知实数a，b满足：a2﹣7a+1＝0，b2﹣7b+1＝0，且a≠b，则a+b＝ 7 ，ab＝ 1 ；
（2）间接应用：在（1）条件下，求的值；
（3）拓展应用：已知实数m，n满足：＝7，n2﹣n＝7且mn+1≠0，求﹣n的值．
【分析】（1）由题意可知a、b是方程x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得a+b＝7，ab＝1；
（2）将所求式子变形为，再将（1）的代数式代入求值即可；
（3）由题意可知、﹣n是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系求解即可．
解：（1）∵a2﹣7a+1＝0，b2﹣7b+1＝0，且a≠b，
∴a，b是方程x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝7，ab＝1，
故7，1；
（2）
＝
＝，
∵a+b＝7，ab＝1，
∴原式＝；
（3）∵，n2﹣n＝7且mn+1≠0，
∴、﹣n是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，
∴．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，弄懂题干所给的例子，灵活应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 （2，0） ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M 内 （填内、外、上）；
（4）在方格中，连接AB，AC，BC，将△ABC以原点O为位似中心，缩小为原来的，请画出缩小后的图形△A1B1C1．
【分析】（1）连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，交于点M，则点M即为经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，即可得出答案．
（2）连接AM，利用勾股定理求出AM的值，即可得出答案．
（3）连接DM，利用勾股定理求出DM的值，与⊙M的半径作比较，即可得出结论．
（4）利用位似的性质作图即可．
解：（1）连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，交于点M，
则点M即为经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，
点M的坐标为（2，0）．
故（2，0）．
（2）连接AM，
由勾股定理得，AM＝＝，
∴这个圆的半径为．
故．
（3）连接DM，
由勾股定理得，DM＝＝，
∵＜2，
∴点D（5，﹣2）在⊙M内．
故内．
（4）如图，△A1B1C1即为所求．
【点评】本题考查作图﹣位似变换、垂径定理、点与圆的位置关系，熟练掌握位似的性质、垂径定理、点与圆的位置关系是解答本题的关键．
27．（12分）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，，AE＝3，DF＝6，则菱形ABCD的边长为 ．
【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，得出，则可得出结论；
（2）证明△BFE∽△BCF，得出比例线段，则BF2＝BE⋅BC，求出BC，则可求出AD．
（3）分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段，则，可求出DG，则答案可求出．
（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB．
∴．
∴AC2＝AD•AB；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C．
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF．
∴．
∴BF2＝BE⋅BC．
∴，
∴；
（3）解：如图，分别延长EF，DC相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE＝3，∠EAC＝∠G，
∵，
∴∠EDF＝∠BAC．
∴∠EDF＝∠G．
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD．
∴．
∴DE2＝EF⋅EG．
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2．
∴．
又∵，
∴
∴
则菱形ABCD的边长为，
故．
【点评】此题考查相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
28．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．
（1）当t＝1时，⊙M的半径是 cm，⊙M与直线CD的位置关系是 相离 ；
（2）在点P从点A向点B运动过程中，当⊙M与矩形ABCD相切时，求t的值．
（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，t的值是 ．
【分析】（1）先求出PB，BQ的长，根据勾股定理可得PQ的长，根据直角三角形的外接圆直径是斜边即可求解；
（2）如图3，根据切线的性质作辅助线EF，则EF⊥AD，EF⊥BC，由EF＝FM+ME列方程即可求解；
（3）如图4，作辅助线，构建全等三角形，证明AP＝PQ，AD＝DQ，最后根据勾股定理列方程即可求解．
解：（1）如图1，过M作KN⊥AB于N，交CD于K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥CD，
∴⊙M的直径是PQ，KN⊥CD，
当t＝1时，AP＝3，CQ＝4，
∵AB＝6，BC＝8，
∴PB＝6﹣3＝3，BQ＝8﹣4＝4，
∴PQ＝＝5，
∴⊙M的半径为cm，
∵MN∥BQ，M是PQ的中点，
∴PN＝BN，
∴MN是△PQB的中位线，
∴MN＝BQ＝×4＝2，
∴MK＝8﹣2＝6＞，
∴⊙M与直线CD的位置关系是相离；
故，相离；
（2）如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EF⊥AD，EF⊥BC，
则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，
∴PQ＝10﹣5t，
∴PM＝＝FM＝5﹣t，
△BPQ中，ME＝PB＝3﹣t，
∵EF＝FM+ME，
∴5﹣t+3﹣t＝6，
解得：t＝；
当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EF⊥CD，EF⊥AB，
则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，
∴PQ＝10﹣5t，
∴PM＝＝EM＝5﹣t，
∴MF＝EF﹣ME＝，
∴8﹣（5﹣t）＝，
解得：t＝；
综上所述：当⊙M与矩形ABCD相切时t＝或；
（3）如图4，过D作DG⊥PQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ，
∵∠APD＝∠NBQ，∠NBQ＝∠NPQ，
∴∠APD＝∠NPQ，
∵∠A＝90°，DG⊥PG，
∴AD＝DG＝8，
∵PD＝PD，
∴Rt△APD≌Rt△GPD（HL），
∴PG＝AP＝3t，
∵BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，
∴PQ＝10﹣5t，
∴QG＝3t﹣（10﹣5t）＝8t﹣10，
∵DC2+CQ2＝DQ2＝DG2+QG2，
∴62+（4t）2＝82+（8t﹣10）2，
∴3t2﹣10t+8＝0，
（t﹣2）（3t﹣4）＝0，
解得：t1＝2（舍），t2＝．
故．
【点评】本题四边形和圆的综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，添加恰当辅助线是本关键．
江苏省扬州市2024-2025学年九年级上学期期中数学检测试卷（二）
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 ．
2．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的一个根为﹣1，则k＝ ．
3．（2分）已知⊙O半径为4cm，点P到圆心O的距离为4.5cm，那么点P与⊙O的位置关系是 ．
4．（2分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，可以将其变形为（x+h）2＝k（h、k为常数）的形式，则k＝ ．
5．（2分）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是 （结果保留π）．
6．（2分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 ．
7．（2分）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP＝35°，则的长l＝ （结果保留π）．
8．（2分）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝26°，则∠CAB＝ ．
9．（2分）镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，则可列方程 ．
10．（2分）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
11．（2分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，＝2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F，若∠AFB＝60°，则∠DEB＝ °．
12．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，，点P为线段AC的中点，连接BP，则BP的最大值是 ．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）
13．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2x﹣3＝xB．2x+3y＝5C．2x﹣x2＝1D．x+＝7
14．（3分）一元二次方程x2+5x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
15．（3分）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m+n的值为（ ）
A．2B．﹣2C．5D．﹣5
16．（3分）如图，AB、AD、DE是⊙O的切线，切点分别是B、C、E．若AD＝20，AB＝12，则DE的长是（ ）
A．6B．8C．10D．12
17．（3分）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．5B．10C．12D．20
18．（3分）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下：首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0（m＞0、n＞0）时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（ ）
A．m＝2，n＝3B．m＝，n＝2C．m＝，n＝2D．m＝2，n＝
三、解答题（本大题共有8小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（20分）解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）x2+4x﹣1＝0；
（3）；
（4）3x（x﹣2）＝x﹣2．
20．（6分）关于x的方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数值时，求方程的两个根．
21．（6分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝110°，点E在AD上．
（1）∠BAD＝ °；
（2）求∠AED的度数．
22．（8分）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为1.5m，拱门下端AB为1.8m．
（1）在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若拱门最高点为点D，求点D到地面（AB）的距离．
23．（8分）杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元．试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出2100件；销售定价每上涨1元，销售量就减少30件．
（1）当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出 件文化衫，销售利润是 元．
（2）若每件文化衫的售价上涨x元（x＞0），
①平均每天售出 件文化衫（用含x的代数式表示）．
②若每天的销售利润恰好为27000元，且获利不超过35%，求x的值．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，与边AC相交于点D，与边AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线PQ交BC、AB于点P、Q，连接EP．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，OA为1，求线段EP的长．
25．（10分）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是Rt△ABE和Rt△CDE的边长，易知AD＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾氏方程”．
请解决下列问题：
（1）方程x2+2x+1＝0 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”；
（2）求证：关于x的“勾氏方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）如图2，⊙O的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，AB＝2m，CD＝2n，m≠n．若关于x的方程mx2+10x+n＝0是“勾氏方程”，连接AD，求∠BAD的度数．
26．（10分）如图1，在矩形ABCD中，边长AB＝a，AD＝b，其中a、b（a＜b）分别是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，连接BD．点O从点C出发，沿CB向点B运动（到达点B停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为t秒．
（1）BD＝ ；
（2）如图2，在运动过程中，连接OD，将△ODC沿OD折叠，得到△ODP，连接BP，当BP取最小值时，t为 ，此时，AP的值为 ；
（3）如图3，在运动过程中，以O为圆心，OC的长为半径作半圆，交射线CB于Q，当半圆O与△ABD的边有两个交点时，直接写出t的取值范围．
答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 x＝±2 ．
【分析】式子x2﹣4＝0先移项，变成x2＝4，从而把问题转化为求4的平方根．
解：移项得x2＝4，
∴x＝±2．
故x＝±2．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
2．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的一个根为﹣1，则k＝ ﹣2 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣x+k＝0得到关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案．
解：根据题意得：
12﹣（﹣1）+k＝0，
解得：k＝﹣2，
故﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
3．（2分）已知⊙O半径为4cm，点P到圆心O的距离为4.5cm，那么点P与⊙O的位置关系是 在圆外 ．
【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
解：∵OP＝4.5＞4，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故在圆外．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
4．（2分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，可以将其变形为（x+h）2＝k（h、k为常数）的形式，则k＝ 1 ．
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方形式，即可得出k的值．
解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，即（x﹣2）2＝1，
∴k＝1，
故1．
【点评】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法是关键．
5．（2分）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是 20π （结果保留π）．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
解：∵底面圆的半径为4，
∴底面周长＝8π，
∴侧面面积＝×8π×5＝20π．
故20π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
6．（2分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 k＜4且k≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4k＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4k＞0，
解得k＜4且k≠0，
即k的取值范围为k＜4且k≠0．
故k＜4且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（2分）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP＝35°，则的长l＝ π （结果保留π）．
【分析】由等腰三角形的性质求出∠AOB的度数，由弧长公式即可计算．
解：由作图知：OP垂直平分AB，
∵OA＝OB，
∴∠AOB＝2∠BOP＝2×35°＝70°，
∵扇形的半径是1，
∴的长＝＝π．
故π．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
8．（2分）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝26°，则∠CAB＝ 32° ．
【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCP＝90°，根据直角三角形的性质求出∠COP，再根据圆周角定理计算即可．
解：连接OC，
∵CP是圆O的切线，
∴OC⊥CP，即∠OCP＝90°，
∵∠P＝26°，
∴∠COP＝90°﹣26°＝64°，
由圆周角定理得：∠CAB＝∠COP＝32°，
故32°．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9．（2分）镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，则可列方程 25（1﹣x）2＝16 ．
【分析】设每次降价的百分率为x，根据经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，理解题意，找准等量关系．
解：由题意得：25（1﹣x）2＝16，
故25（1﹣x）2＝16．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
10．（2分）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 8 尺．
【分析】利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可．
解：设竿长为x尺，则门宽为（x﹣4）尺，门高（x﹣2）尺，门对角线是x尺，根据勾股定理可得：
x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，
整理得：x2﹣12x+20＝0，
解得x＝2（舍去）或x＝10．
则门高：10﹣2＝8．
故8．
【点评】本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键．
11．（2分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，＝2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F，若∠AFB＝60°，则∠DEB＝ 90 °．
【分析】先根据切线的性质得出∠ABF＝90°，结合∠AFB＝60°可求出∠BAF的度数，再根据弧之间的关系得出它们所对的圆周角之间的关系，最后根据三角形外角的性质即可求出∠DEB的度数．
解：如图，连接OC，OD，
∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴OB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∵∠AFB＝60°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAF＝60°，
∵，
∴∠COA＝2∠BOD＝120°，
∴∠CDA＝∠COA＝60°，
∵∠DEB是△AED的一个外角，
∴∠DEB＝∠BAF+∠CDA＝90°，
故90．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，熟知：圆的切线垂直于过切点的半径；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
12．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，，点P为线段AC的中点，连接BP，则BP的最大值是 ．
【分析】连接OB，OC，OA，OP，则△OBC是等腰直角三角形，得出OB＝OC＝4，由等腰三角形的性质得出∠OPC＝90°，从而得出点P在以OC为直径的圆上运动，以OC为直径作⊙O'，连接O′B，O′P，当P为BO′的延长线与⊙O'的交点时，BP的长取最大值，此时BP＝BO′+O′P，由勾股定理计算出O′B，即可得出答案．
解：如图，连接OB，OC，OA，OP，
，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵，
∴OB＝OC＝4，
∵点P为线段AC的中点，OA＝OC，
∴OP⊥AC，
∴∠OPC＝90°，
∴点P在以OC为直径的圆上运动，
以OC为直径作⊙O'，连接O′B，O′P，当P为BO′的延长线与⊙O'的交点时，BP的长取最大值，此时BP＝BO′+O′P，
∵，
∴，
∴BP的最大值为，
故．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）
13．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2x﹣3＝xB．2x+3y＝5C．2x﹣x2＝1D．x+＝7
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
解：A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意；
B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意；
C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意；
D、方程x+＝7是分式方程，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
14．（3分）一元二次方程x2+5x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得．
解：一元二次方程x2+5x+1＝0中的a＝1，b＝5，c＝1，
则这个方程根的判别式为Δ＝52﹣4×1×1＝21＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
15．（3分）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m+n的值为（ ）
A．2B．﹣2C．5D．﹣5
【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，，由此即可得出答案．
解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键．
16．（3分）如图，AB、AD、DE是⊙O的切线，切点分别是B、C、E．若AD＝20，AB＝12，则DE的长是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】由题意得出AB＝AC＝12，DE＝CD，求出CD的长即可得出答案．
解：∵AB、AD、DE是⊙O的切线，切点分别是B、C、E，
∴AB＝AC＝12，DE＝CD，
∵CD＝AD﹣AC＝20﹣12＝8，
∴DE＝CD＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解此题的关键．
17．（3分）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．5B．10C．12D．20
【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB＝36°，根据中心角的定义即可求解．
解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数为＝10．
故选：B．
【点评】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
18．（3分）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下：首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0（m＞0、n＞0）时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（ ）
A．m＝2，n＝3B．m＝，n＝2C．m＝，n＝2D．m＝2，n＝
【分析】仿照题目中的运算方法，进行计算即可得出答案．
解：∵x2+mx﹣n＝0，
∴x（x+m）＝n，
∴四个矩形的长为x+m，宽为x，
∴大正方形的面积可以表示为（x+x+m）2＝14，中间小正方形的面积为m2＝4，
∴m＝2，
∵大正方形的面积还可以表示为4x（x+m）+m2＝14，
∴，
∴，
综上所述，，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
三、解答题（本大题共有8小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（20分）解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）x2+4x﹣1＝0；
（3）；
（4）3x（x﹣2）＝x﹣2．
【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
解：（1）∵（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（2）∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2+4x＝1，
∴x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，
∴，
解得：，；
（3）∵，
∴x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3；
（4）∵3x（x﹣2）＝x﹣2，
∴3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或3x﹣1＝0，
解得：x1＝2，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
20．（6分）关于x的方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数值时，求方程的两个根．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0，求解即可；
（2）根据（1）确定的k的取值范围，得出k取最大整数值，代入方程，求解方程即可．
解：∵方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0，
∴k＜1，
∴当k＜1时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵k＜1，
∴k的最大整数值为0，
把k＝0代入方程x2+2x+2k﹣1＝0，
得方程x2+2x﹣1＝0，
解得，．
【点评】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
21．（6分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝110°，点E在AD上．
（1）∠BAD＝ 70 °；
（2）求∠AED的度数．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案；
（2）连接BD，由等边对等角结合三角形内角和定理得出∠ABD＝∠ADB＝55°，再由圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案．
解：（1）∵在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝110°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°，
故70；
（2）如图，连接BD，
∵AB＝AD，
∴，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD＝180°，
∴∠AED＝180°﹣∠ABD＝125°．
【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
22．（8分）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为1.5m，拱门下端AB为1.8m．
（1）在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若拱门最高点为点D，求点D到地面（AB）的距离．
【分析】（1）在拱门上找任意一点C，连接AC、BC，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置；
（2）连接AO，设点E为AB的中点，根据垂径定理，构造直角三角形AOE，然后根据勾股定理解答即可．
解：（1）如图2，点O即为所求，
；
（2）连接AO，如图3，
，
设点E为AB的中点，
∵点O为圆心，连接EO并延长交圆于点D，
∴点D即为拱门为最高点，
∴DE⊥AB，
∵AB＝1.8m，OA＝1.5m，
，OD＝1.5m，
在Rt△AEO中，
＝1.2（m），
∴DE＝DO+OE＝1.5+1.2＝2.7（m），
∴点D到地面（AB）的距离为2.7m．
【点评】本题主要考查了作图﹣应用与设计作图，垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据直角三角形是解决问题的关键．
23．（8分）杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元．试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出2100件；销售定价每上涨1元，销售量就减少30件．
（1）当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出 2010 件文化衫，销售利润是 16080 元．
（2）若每件文化衫的售价上涨x元（x＞0），
①平均每天售出 （2100﹣30x） 件文化衫（用含x的代数式表示）．
②若每天的销售利润恰好为27000元，且获利不超过35%，求x的值．
【分析】（1）利用日销售量＝2100﹣30×每件文化衫的售价上涨的钱数，可求出日销售量，再利用每天的销售利润＝每件的销售利润×日销售量，即可求出每天的销售利润；
（2）①利用日销售量＝2100﹣30×每件文化衫的售价上涨的钱数，可用含x的代数式表示出日销售量；
②利用每天的销售利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：（1）根据题意得：当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出2100﹣30×（58﹣55）＝2010（件）文化衫，
销售利润是（58﹣50）×2010＝16080（元）．
故2010，16080；
（2）①根据题意得：平均每天售出（2100﹣30x）件文化衫．
故（2100﹣30x）；
②根据题意得：（55+x﹣50）（2100﹣30x）＝27000，
整理得：x2﹣65x+550＝0，
解得：x1＝10，x2＝55，
又∵获利不超过35%，
∴x＝10．
答：x的值为10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）①根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出日销售量；②找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，与边AC相交于点D，与边AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线PQ交BC、AB于点P、Q，连接EP．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，OA为1，求线段EP的长．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出∠NEB+∠AEO＝90°即可；
（2）利用线段中垂线的性质以及勾股定理列方程求解即可．
（1）证明：如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵PQ是BE的中垂线，
∴PE＝PB，
∴∠B＝∠PEB，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∴∠PEB+∠OEA＝90°，
∴∠OEP＝180°﹣90°＝90°，
即OE⊥PE，
∵OE是半径，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OP，
∵PQ是BE的中垂线，
∴EP＝PB，
设EP＝x＝PB，
在Rt△COP中，OP2＝OC2+CP2，
在Rt△OEP中，OP2＝OE2+EP2，
∴OC2+CP2＝OE2+EP2，
即（3﹣1）2+（4﹣x）2＝12+x2，
解得x＝，
即EP＝．
【点评】本题考查切线的判定，线段的中垂线以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，线段中垂线的性质以及勾股定理是正确解答的前提．
25．（10分）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是Rt△ABE和Rt△CDE的边长，易知AD＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾氏方程”．
请解决下列问题：
（1）方程x2+2x+1＝0 是 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”；
（2）求证：关于x的“勾氏方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）如图2，⊙O的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，AB＝2m，CD＝2n，m≠n．若关于x的方程mx2+10x+n＝0是“勾氏方程”，连接AD，求∠BAD的度数．
【分析】（1）根据“勾氏方程”的定义即可判断；
（2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定义即可解决问题；
（3）如图，连接OD，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延长线交AB于F，利用勾股定理求出OE＝m，OF＝n，在利用全等三角形的判定与性质推导出∠DOB＝90°即可解决问题．
（1）解：x2+2x+1＝0是“勾氏方程”，理由如下：
∵x2+2x+1＝0中，，
∴，
∴a2+b2＝c2，a，b，c能构成直角三角形，
∴方程x2+2x+1＝0是“勾氏方程”；
（2）证明：∵关于x的方程是“勾氏方程”，
∴a，b，c构成直角三角形，c是斜边，
∴c2＝a2+b2，
∵Δ＝2c2﹣4ab，
∴Δ＝2（a2+b2﹣2ab）＝2（a﹣b）2≥0，
∴关于x的“勾氏方程”必有实数根．
（3）解：连接OD，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延长线交AB于F，如图：

∵关于x的方程是“勾氏方程”，
∴m，n，10构成直角三角形，10是斜边，
∴m2+n2＝102
∵AB∥CD，OE⊥CD，
∴OF⊥AB，，
∴∠OED＝∠OFB＝90°，，
∴DE2+OE2＝OD2，OF2+BF2＝OB2，即n2+OE2＝102，OF2+m2＝10，
又m2+n2＝102，
∴OE＝m，OF＝n，
∴DE＝OF，OE＝BF，
∴△OED≌△BFO（SSS），
∴∠EOD＝∠OBF，
∵∠OBF+∠BOF＝90°，
∴∠EOD+∠BOF＝90°，
∴∠DOB＝90°，
∴．
【点评】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质、圆周角定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾氏方程满足a2+b2＝c2，利用这个关系即可转化边并证明边相等．
26．（10分）如图1，在矩形ABCD中，边长AB＝a，AD＝b，其中a、b（a＜b）分别是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，连接BD．点O从点C出发，沿CB向点B运动（到达点B停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为t秒．
（1）BD＝ 5 ；
（2）如图2，在运动过程中，连接OD，将△ODC沿OD折叠，得到△ODP，连接BP，当BP取最小值时，t为 ，此时，AP的值为 ；
（3）如图3，在运动过程中，以O为圆心，OC的长为半径作半圆，交射线CB于Q，当半圆O与△ABD的边有两个交点时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）先解一元二次方程，得到AB＝3，AD＝4根据矩形的性质，得到∠ABD＝90°，利用勾股定理即可求解；
（2）由折叠的性质得到△DOP≌△DOC，即DP＝CD＝AD，∠DPO＝90°，当点O在运动过程中，DP的长度和BD的长度是固定不变的，由此可以得到当点B、P、D三点共线时，BP的长度最短，即有最小值，最小值为BD﹣DP，此时∠BPO＝90°，再根据正弦的定义即可求解，此时，过点P作PE⊥AB垂足为E点，证明△PBO∽△EPB，利用相似三角形的性质求出AE，EP，再利用勾股定理即可求AP的值；
（3）根据题意，分为当半圆O与BD有2个交点；当点半圆O与BD有1个交点，与AB有1个交点；当点半圆O与BD有1个交点，与AD有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到t的取值范围．
解：（1）x2﹣7x+12＝0，即（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
∵边长AB＝a，AD＝b，其中a、b（a＜b）分别是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，
∴AB＝3，AD＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，，
故5；
（2）由折叠的性质得：△DOP≌△DOC，
∴DP＝CD＝AB，∠DPO＝∠DCB＝90°，
点O在运动过程中，
∵DP的长度和BD的长度是固定不变的，如图2.1，
∵BD﹣DP≤BP，
∴当点B、P、D三点共线时，BP的长度最短，即有最小值，最小值为BD﹣DP，
如图3，过点P作PE⊥AB垂足为E点，
此时，∠BPO＝90°，
由（1）知BD＝5，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴
∵PO＝OC，
∴，，
∴，
此时，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB＝∠BPO＝90°，
∵∠CBD+∠ABD＝∠BPE+∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝∠BPE，
∴△PBO∽△EPB，
∴，
∴，
∴，
在Rt△AEP中，，
故，；
（3）如图3.1，当半圆O与BD相切时，此时半圆O与△ABD的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接OH，

∵∠BHO＝90°，OH＝OC，
∴，
∴，
此时，，
如图3.2，当点Q与点B重合时，此时半圆O与△ABD的边有2个交点，
此时，BC为半圆O的直径，
∴，
∴t＝2÷1＝2，
∴当时，半圆O与BD有2个交点，
即半圆O与△ABD的边有2个交点；
如图3.3，此时，半圆O与BD有1个交点，与AB有1个交点，
如图3.4，当半圆O与AD相切时，此时半圆O与△ABD的边有3个交点，设AD与半圆O相切点为M，连接OM，
∵OM＝OC＝AB＝3，
∴t＝3÷1＝3，
∴当2＜t＜3时，半圆O与BD有1个交点，与AB有1个交点，
即半圆O与△ABD的边有2个交点；
如图3.5，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与△ABD的边有3个交点；连接OA，
∵∠ABD+∠CBD＝∠CBD+∠BDC＝90°，
∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABO＝∠BCD＝90°，
∴△ABO∽△BCD，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图3.6，当点O与点B重合时，此时点O停止运动，
∴OC＝BC＝4，
∴t＝4÷1＝4，
∴当时，半圆O与BD有1个交点，与AD有1个交点，
即半圆O与△ABD的边有2个交点；
综上，半圆O与△ABD的边有两个交点时，或．
【点评】本题考查了圆的综合题，涉及三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论．
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩（分数）
70
80
90
平均数
中位数
众数
甲的射击成绩

8

乙的射击成绩
8


测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩（分数）
70
80
90
平均数
中位数
众数
甲的射击成绩
8
8
8
乙的射击成绩
8
8.5
9