2024_2025学年度江苏省扬州市高邮市九年级上册期中考试数学检测试卷【附解析】

这是一份2024_2025学年度江苏省扬州市高邮市九年级上册期中考试数学检测试卷【附解析】，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知3a=2b(ab≠0)，下列变形错误的是（ ）
A.ab=23B.ba=23C.ba=32D.a2=b3

2.某校九年级进行了三次数学模拟考试，甲，乙，丙，丁4名同学三次数学成绩的平均分都是110分，方差分别是S甲2=1.3，S乙2=2.1，S丙2=1.35，S丁2=1.13，则这4名同学三次数学成绩最稳定的是（ ）
A.甲B.乙C.丙D.丁

3.在下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A.x2+xB.x2−5=−x2C.x2−6xy+9=0D.2x2−1x=0

4.如图，三个正方形的边长分别为1、3、5，若在该图形中进行撒豆子试验，则豆子落在阴影区域中的概率为（ ）
A.38B.825C.925D.13

5.如图，直线l1 // l2 // l3，直线a、b与l1、l2、l3，分别相交于点A、B、C和D、E、F．已知AB=3,BC=5,EF=4，则DF的长为（ ）

A.325B.125C.2D.203

6.如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=140∘．在这个图中，仅用无刻度的直尺画出下列度数的圆周角：40∘，50∘，90∘，能画出的是（ ）
A.40∘B.90∘
C.40∘，90∘D.40∘，50∘，90∘

7.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0的两根之积是（ ）
A.n+m−1B.n+m+1C.n−m+1D.n−m−1

8.如图，矩形ABCD是由①、②、③三种型号的直角三角形卡纸各2块拼成的，每块卡纸互不重叠也无缝隙，已知直角三角形卡纸①、②、③都相似，且①与②，②与③的相似比都为k，若直角三角形卡纸①、②、③的面积分别为a、b、c(a>b>c)，且EH=1，则ab的值为（ ）
A.5+12B.5−12C.5+32D.3−52
二、填空题

9.《义务教育课程标准（2022年版）》明确规定把学生学会炒菜纳入了劳动教育课程．若九(2)班第一小组5名学生会炒菜的种数依次为：4，3，2，5，2，则这组数据的中位数、众数分别是____________、____________．

10.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小兰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，每张邮票形状大小都相同，将他们背面朝上放置，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是___________________．

11.若点P在⊙O的内部，OP=4，则⊙O的半径可能是________．（填上一个符合要求的数字）

12.如图，在△ABC中，点D在线段AB上，添加一个条件，使得△ABC∽△ACD，则添加的条件是______________．（只填一个）

13.如图，这是用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器，其底部是圆球形． 球的半径为10cm， 瓶内液体的最大深度CD=4cm， 则截面圆中弦AB的长为___________________cm．

14.如图，身高1.6m的某学生沿着树影BA由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=4m，CA=1m，则树的高度为___________．


15.如图，⊙O是正六边形ABCDEF的内切圆，分别切BC、CD于点M、N，P是优弧MPN⌢上的一点，则∠MPN的度数为 _____________​∘．

16.如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，S1表示以PA为一边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形面积．则S1______________S2．（填“”号）

17.如图，P为ΔABC的内心，经过点P的线段分别与AC，BC相交于点D、点E．若CD=CE=4，DE=2，则点P到AB的距离为 ．

18.如图，已知点A、B的坐标分别为(−12,0)、(0,5)，点P为坐标平面内的一个动点，若BP=3，点Q为线段AP的中点，连接OQ，则OQ的最大值为______________．
三、解答题

19.解方程：
（1）x2−4x−1=0；
（2）x(x+2)=x+2．

20.某校学期综合评价成绩是由平时作业、期中检测、期末考试三项成绩构成的，如果学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”．下表是小明和小勇两位同学某学科的成绩．
（1）若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，请计算小明的学期综合评价成绩；
（2）若将平时作业、期中检测、期末考试三项成绩按2:3:5的比例来确定学期综合评价成绩，请你通过计算判断小勇该学科能否被评为“优秀”．

21.某校组织学生到天乐湖实践基地参加劳动实践活动．该基地有以下四个项目：A．种玉米，B．除草，C．采茶叶，D．包饺子，学生随机选择（每个学生必须选择一个，而且只能选择一个）．
（1）甲同学从四个项目中随机选取一个，选到A项目的概率为_______；
（2）用列表法或画树状图法求乙同学与丙同学都选到D项目的概率．

22.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,4)，B(3,4)，C(4,3)．
（1）在图中画出△ABC的外心M，点M的坐标为________；
（2）在平面直角系中，以点M为位似中心，在x轴上方作出△ABC的位似△A1B1C1，且△ABC与△A1B1C1位似比为1:2；
（3）若将扇形MAC做成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为________．

23.已知关于x的方程x2−ax+a−1=0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根；
（2）已知Rt△ABC的一边为3，另两条边的长恰好是该方程的两个根，求a的值．

24.如图，已知在△ABC中，∠C=90∘，BC=6cm，AC=8cm，点P从点B开始沿BA边向点A以2cm/s的速度移动，同时点Q从点A开始沿AC边向点C以1cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为ts．
（1）当t=________时△PAQ与△ABC相似；
（2）当△PAQ的面积等于185cm2时，求t的值．

25.如图，已知△ABC中，∠ACB=90∘，以BC为直径作⊙O，交AB与点D，过点O作OE∥AB交AC于点E，连接DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A=30∘，BC=6，求图中阴影部分的面积．

26.定义：设m,n是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若满足|m+n|=|mn|，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程x2−4x+4=0是“同步方程”．
（1）下列方程是“同步方程”的是________（填序号）；
①x2=0，②x2−x−1=0，③x(x−3)=0；
（2）若方程x2−(a+3)x+3a=0是“同步方程”，求a的值；
（3）若方程2x2+bx+3c=0(a≠0)为“同步方程”，直接写出b、c满足的数量关系．

27.如图，正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，且DE=AD，点P为BC边上的一个动点，连接PE交CD于点F，连接PD交AF点G．
（1）如图1，若PB=PC，求证：FE=2FP；
（2）如图2，若PC2=CF⋅CD．
①求证：DP=AF；
②求证：点P是线段BC的黄金分割点．

28.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，BC=6，AC=8，点P是斜边AB上的一个动点，过点C、P的⊙O分别交直角边BC,AC于点M、N，连接MN．
（1）当点P运动到CP⊥AB的位置时．
①如图1，若⊙O与AB相切，则线段MN的长为________；
②如图2，连接MN，若MN∥AB，求线段MN的长；
（2）如图3，若点P运动到AB的中点时，则线段MN的最小值为________；线段MN的最大值为________；
（3）在点P的运动过程中，线段MN的取值范围为________．
参考答案与试题解析
2024-2025学年江苏省扬州市高邮市九年级上学期期中考试数学试题
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
比例的性质
【解析】
比例的性质，a:b=c:d，则ad=bc，由此性质对比例式变形即可．
【解答】
解： A、由ab=23， 可得3a=2b(ab≠0)，故本选项正确，不符合题意；
B、ba=23，可得2a=3b(ab≠0)，故本选项错误，符合题意；
C、由ba=32， 可得3a=2b(ab≠0)，故本选项正确，不符合题意；
D、由a2=b3， 可得3a=2b(ab≠0)，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
2.
【答案】
D
【考点】
根据方差判断稳定性
【解析】
本题考查了方差，根据方差越小，数据越稳定即可判断求解，理解方差的意义是解题的关键．
【解答】
解：∵S甲2=1.3，S乙2=2.1，S丙2=1.35，S丁2=1.13，
∴丁的方差最小，
即丁的数学成绩最稳定，
故选：D．
3.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
本题考查判断一元二次方程，从三个方面：①含有一个未知数；②未知数的最高次数是二次；③是一个整式方程；结合选项逐项验证即可得到答案，熟记一元二次方程定义“含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的整式方程”是解决问题的关键．
【解答】
解：A、x2+x是多项式，不是方程，不符合题意；
B、x2−5=−x2变形为2x2−5=0，是一元二次方程，符合题意；
C、x2−6xy+9=0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、2x2−1x=0中含有分式部分，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
4.
【答案】
B
【考点】
几何概率
【解析】
本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的求解方法是解题的关键：有些可能的结果没法一一统计，例如雨点落在地砖上的位置、转盘上指针最后停下的位置等，这时我们可以借助几何图形的面积或线段的长度来计算：此时，事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示．在数学上，这些问题的概率又称为几何概率．
按照几何概率的求解方法求解即可．
【解答】
解：豆子落在阴影区域中的概率=阴影部分的面积大正方形的面积=32−1252=825，
故选：B．
5.
【答案】
A
【考点】
由平行截线求相关线段的长或比值
【解析】
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出比例式ABBC=DEEF，求得DE，进而求得DF，即可求解．
【解答】
解：∵l1 // l2 // l3，
∴ABBC=DEEF
∴35=DE4，
∴DE=125
∴DF=DE+EF=125+4=325，
故选：A．
6.
【答案】
D
【考点】
直角三角形的两个锐角互余
半圆（直径）所对的圆周角是直角
已知圆内接四边形求角度
【解析】
本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，作直径AD，连接BD、AB，如图所示，利用圆内接四边形的性质得到∠D=40∘，利用圆周角定理得到∠ABD=90∘，根据互余可计算出∠BAD=50∘．掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解本题的关键．
【解答】
解：作直径AD，连接BD、AB，如图所示：
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB+∠D=180∘，
∵∠ACB=140∘，
∴∠D=180∘−140∘=40∘，
∵AD为直径，
∴∠ABD=90∘，
∴∠BAD=90∘−∠D=50∘．
故选：D．
7.
【答案】
C
【考点】
根与系数的关系
【解析】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．利用换元的思想是解决问题的关键．先把方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0看作关于t+1的一元二次方程，则利用关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2得到t1=x1−1，t2=x2−1，然后利用根与系数的关系得到结论．
【解答】
解：把方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0看作关于t+1的一元二次方程，
设关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2，
则方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0的两根为t1=x1−1，t2=x2−1，
∵关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m，两根之积是n，
∴x1+x2=m,x1x2=n，
∴t1t2=x1−1x2−1=x1x2−x1+x2+1=n−m+1．
故选：C．
8.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
相似三角形的性质与判定
【解析】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，利用相似三角形的性质求出各个线段的长是解题的关键．由相似三角形的性质可求AE,DH,CG,DE的长，列出方程可求k2的值，由三角形的面积公式可求解．
【解答】
解：由题意可知，∠AED=∠DHC=∠ADC=90∘，
∴∠ADE+∠DAE=90∘=∠ADE+∠CDH，即∠DAE=∠CDH，
在△DAE和△CDH中，
∠AED=∠DHC∠DAE=∠CDH ，
∴△DAE∽△CDH，
∴CHDE=DHAE，
同理可证：△DAE∽△GEH，
∴GHDE=HEAE，
∵①与②，②与③的相似比都为k，
∴DHAE=k,AEEH=k，
∵EH=1，
∴AE=k,DH=k⋅AE=k2，
∴AE=CG=k,DE=DH+HE=1+k2，
又∵GHDE=HEAE，
∴GH=DE⋅HEAE=k2+1k，
∴CH=GH+CG=k2+1k+k=2k2+1k，
又∵CHDE=DHAE，即DE⋅DH=CH⋅AE，
∴k2⋅1+k2=2k2+1k⋅k，
∵k≠0，
∴k2=5+12，
∴a=12DH⋅CH=12k2⋅2k2+1k=12k2k2+1，b=12AE⋅DE=12k⋅1+k2，
∴ab=2k2+11+k2=5+12，
故选：A．
二、填空题
9.
【答案】
3,2
【考点】
中位数
众数
【解析】
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数和众数的概念求解即可．
【解答】
解：把这组数据按从小到大顺序排为：
2，2，3，4，5，
位于中间的数据为3，
∴这组数据的中位数为3，
∵这5个数据中出现次数最多的数据是2，
∴这组数据的众数是2，
故答案为：3；
10.
【答案】
12
【考点】
根据概率公式计算概率
【解析】
本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“立春”结果有2种，利用概率公式可得答案．
【解答】
解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“立春”结果有2种，
∴从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率为24=12．
故答案为：12．
11.
【答案】
5（答案不唯一）
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
5（答案不唯一）
12.
【答案】
∠ACD=∠ABC（答案不唯一）
【考点】
选择或补充条件使两个三角形相似
【解析】
本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键．
【解答】
解：①两角对应相等的两个三角形相似：
∵∠A=∠A，
∴当∠ACD=∠ABC时，△ABC∽△ACD；
当∠ADC=∠ACB时，△ABC∽△ACD；
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似：
∵∠A=∠A，
∴当ADAC=ACAB时，△ABC∽△ACD；
综上所述，添加∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB或ADAC=ACAB，使得△ABC∽△ACD，
故答案为：∠ACD=∠ABC（答案不唯一）．
13.
【答案】
16
【考点】
勾股定理的应用
利用垂径定理求值
【解析】
本题考查勾股定理、垂径定理，掌握勾股定理、垂径定理是正确解答的关键．根据勾股定理、垂径定理进行计算即可．
【解答】
解：在Rt△AOC中，设OA=10cm，则OC=10−4=6cm，
由勾股定理得，AC=OA2−OC2=102−62=8cm，
∴AB=2AC=16cm，
故答案为：
14.
【答案】
8m
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
本题考查了相似三角形的应用，设树的高度为xm，由题意得1.6x=ACAB，据此即可求解．
【解答】
解：设树的高度为xm，
由题意得：1.6x=ACAB
∵BC=4m，CA=1m，
∴1.6x=11+4，
解得：x=8
故答案为：8m
15.
【答案】
30
【考点】
圆周角定理
切线的性质
正多边形和圆
【解析】
本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及正多边形内角和的计算，掌握正六边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．
根据正六边形的性质求出∠C=120∘，再根据切线的性质得出∠OMB=∠ONC=90∘，由四边形的内角和求出∠MON=60∘，由圆周角定理即可得出答案．
【解答】
解：连接OM，ON，
∵ ⊙O是正六边形ABCDE的内切圆，分别切AB,CD于点M,N，
∴∠OMB=∠ONC=90∘，
∵ ABCDEF是正六边形，
∴∠C=(6−2)×180∘6=120∘，
∴∠MON=360∘−90∘−90∘−120∘=60∘，
∴∠MPN=12∠MON=30∘，
故答案为：
16.
【答案】
=
【考点】
黄金分割
【解析】
本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
根据黄金分割的定义得到PA2=PB⋅AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PB⋅AB，即可得到S1=S2．
【解答】
解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，
∴PA2=PB⋅AB，
又∵S1表示以PA为一边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形面积
∴S1=PA2，S2=PB⋅AB，
∴S1=S2．
故答案为：=．
17.
【答案】
154
【考点】
三角形内切圆
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：连接CP，PB，过P作PH⊥BC于H，PG⊥AB于G，∵P为ΔABC的内心，∴CP平分∠DCE，PB平分∠ABC，∵CD=CE=4，∴PH=PG，PD=PE=1，∴CP=CE2−PE2=42−12=15，∵SΔPCE=12PE⋅PC=12PH⋅CE，∴PH=PE⋅PCCE=1×154=154，∴点P到AB的距离为154．
18.
【答案】
8
【考点】
确定第三边的取值范围
勾股定理的应用
与三角形中位线有关的求解问题
直角三角形斜边上的中线
【解析】
连接AB，取AB中点K，连接OK，QK，由点A、B的坐标可得OA=12，OB=5，由勾股定理可得AB=OA2+OB2=13，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得OK=12AB=6.5，由三角形的中位线定理可得QK=12PB=1.5，由三角形三边之间的关系可得OQ≤QK+OK，于是得解．
【解答】
解：如图，连接AB，取AB中点K，连接OK，QK，
∵点A、B的坐标分别为(−12,0)、(0,5)，
∴OA=0−(−12)=12，OB=5−0=5，
由题意可知：∠AOB=90∘，
∴AB=OA2+OB2=122+52=13，
∵K是AB中点，
∴OK=12AB=12×13=6.5，
∵Q是AP中点，K是AB中点，
∴QK是△APB的中位线，
∴QK=12PB=12×3=1.5，
∵OQ≤QK+OK=1.5+6.5=8，
∴OQ的最大值是8，
故答案为：8．
三、解答题
19.
【答案】
（1）x1=2+5，x2=2−5
（2）x1=−2，x2=1
【考点】
解一元二次方程-公式法
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】
（1）解：x2−4x−1=0，
∵Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×(−1)=16+4=20，
∴x=−(−4)±202×1=2±5，
解得：x1=2+5，x2=2−5；
（2）解：x(x+2)=x+2，
∴x(x+2)−(x+2)=0，
分解因式，得：(x+2)(x−1)=0，
∴x+2=0或x−1=0，
解得：x1=−2，x2=1．
20.
【答案】
（1）小明的学期综合评价成绩为85分；
（2）小勇该学科不能被评为“优秀”．
【考点】
求一组数据的平均数
加权平均数
【解析】
（1）把小明的三次成绩相加，再除以3，即可求解；
（2）根据加权平均数的公式计算，即可求解．
【解答】
（1）解：13(90+76+89)=85分，
即小明的学期综合评价成绩为85分；
（2）解：92×22+3+5+80×32+3+5+94×52+3+5=89.4