2024-2025学年江苏省苏州市九年级上册期中数学检测试卷合集2套（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省苏州市九年级上册期中数学检测试卷合集2套（含解析），共61页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）cs60°的值等于（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）关于一元二次方程x2+4x+4＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
3．（3分）关于抛物线y＝﹣x2+x+2，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．当x＜1时，y随x的增大而减小
C．抛物线的对称轴是直线
D．函数y＝﹣x2+x+2的最大值为2
4．（3分）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得（ ）
A．100（1﹣x）2＝64B．100（1+x）2＝64
C．100（1﹣2x）＝64D．100（1+2x）＝64
5．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝ax2+4ax+a（a＞0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
6．（3分）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，则tan∠BCE的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，O为坐标原点，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在某抛物线上，则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2B．y＝﹣x2C．y＝﹣x2D．y＝﹣3x2
二、填空题（本大题共8小题每小题3分，共24分）
9．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+5图象的顶点坐标为 ．
10．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝12，则AC＝ ．
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有一个根为x1＝﹣4，则另一根为x2＝ ．
12．（3分）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2m+2025﹣2m2的值为 ．
13．（3分）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值为 ．
14．（3分）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为 ．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+2ax+b，当﹣5≤x≤﹣3时，y≥0；当﹣1≤x≤1时，y≤0，则b与a满足的关系式是 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别是直线与坐标轴的交点，点B（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC，垂足为E，点F在AB边上，且D、F两点关于y轴上某点成中心对称，连接DF、EF．线段EF长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共82分）
17．（8分）解方程：
（1）2x2﹣7x+3＝0；
（2）9x2﹣（x﹣1）2＝0．
18．（6分）计算：4sin30°+|1﹣tan60°|﹣cs45°．
19．（6分）已知二次函数y＝x2+3mx+2m2﹣1（m为常数）．
（1）若点（0，1）在该函数图象上，求m的值；
（2）求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴总有2个公共点．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．
（1）求sinB的值；
（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．
21．（8分）在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，则称a是该方程的中点值．
（1）方程x2﹣8x+3＝0的中点值是 ．
（2）已知x2﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根恰好等于n，求n的值．
22．（8分）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．
（2）在（1）的条件下，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最大值和最小值．
（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值8，求a的值．
23．（8分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．
如图①：在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝ ．
（2）对于0°＜A≤90°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ．
（3）如图②，已知csA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
24．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交y轴于点A，点B是x轴正半轴上一动点，点P为抛物线在第一象限的点，其纵坐标为，OC∥BP交x轴上方的抛物线于点C，经过C，P的直线交y轴于点E，交x轴于点F．
（1）点P的坐标为 ；
（2）当点C与点A重合时，求OF的长；
（3）当OB＝BF，且∠CEO＝∠COE时，设△BFP，四边形OBPC，△OEC的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝ ．
25．（10分）根据以下素材，完成探索任务．
问题的提出
根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？
素材1：图1是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20m，开2个门，且门宽均为1m．
素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表．
如表
素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米．
问题解决
26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，动点P在直线BC下方的抛物线上，连接PO，PC，当m为何值时，四边形OPCE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，连接PO，PF，OF，在抛物线x轴下方的图象上是否存在点P使△POF满足：①∠OPF＝90°；②？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）cs60°的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．
解：cs60°＝，
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．（3分）关于一元二次方程x2+4x+4＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】求出方程判别式Δ的值，判断其与0的大小关系，再判断每个选项的说法正确与否即可．
解：根据题意有，
Δ＝42﹣4×1×4＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的应用是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．
3．（3分）关于抛物线y＝﹣x2+x+2，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．当x＜1时，y随x的增大而减小
C．抛物线的对称轴是直线
D．函数y＝﹣x2+x+2的最大值为2
【分析】把函数配方为顶点式，运用性质逐一判断即可．
解：抛物线y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
由于a＝﹣1＜0，开口向下，选项A不正确；
抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝，故选项C正确；
所以当x＜时，y随x的增大而减小，故选项B不正确；
函数y＝﹣x2+x+2的最大值为，选项D不正确．
故选：C．
【点评】题考查二次函数的性质，e二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（3分）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得（ ）
A．100（1﹣x）2＝64B．100（1+x）2＝64
C．100（1﹣2x）＝64D．100（1+2x）＝64
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次降价后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解：根据题意得：100（1﹣x）2＝64，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
5．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝ax2+4ax+a（a＞0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【分析】先求出抛物线对称轴解析式，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．
解：二次函数y＝ax2+4ax+a（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵点A、B、C到对称轴的距离分别为2、1、3，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．
6．（3分）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分a＞0与a＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．
解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；
②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．
对照四个选项可知D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，则tan∠BCE的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得AE＝BE＝CE，由BE＝CE得∠BCE＝∠BEC，通过勾股定理求出CD长，然后求解．
解：∵CE是AB边上的中线，CE＝5，
∴AE＝BE＝5，AB＝10，
∴∠BCE＝∠EBC，
∵AD＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝7，DE＝AE﹣AD＝2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CD＝＝＝，
∴tan∠BCE＝tan∠EBC＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握直角三角形的性质及解直角三角形的方法．
8．（3分）如图，O为坐标原点，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在某抛物线上，则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2B．y＝﹣x2C．y＝﹣x2D．y＝﹣3x2
【分析】过点B向x轴引垂线，连接OB，可得OB的长度，进而得到点B的坐标，代入二次函数解析式即可求解．
解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，
∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，
∴∠AOE＝75°，
∵∠AOB＝45°，
∴∠BOE＝30°，
∵OA＝1，
∴OB＝，
∵∠OEB＝90°，
∴BE＝OB＝，
∴OE＝，
∴点B坐标为（，﹣），
设抛物线的解析式为y＝ax2（a＜0），
代入y＝ax2（a＜0）得a＝﹣，
∴y＝﹣x2．
故选：B．
【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式，关键是利用正方形的性质及相应的三角函数得到点B的坐标．
二、填空题（本大题共8小题每小题3分，共24分）
9．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+5图象的顶点坐标为 （1，4） ．
【分析】把二次函数解析式化为顶点式可求得答案．
解：
∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，
∴二次函数图象的顶点坐标为（1，4），
故（1，4）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
10．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝12，则AC＝ 16 ．
【分析】先利用三角函数求出AB的长，在根据勾股定理可以求解．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴，即，
∴AB＝20，
由勾股定理得：，
故16．
【点评】此题考查了三角函数的应用，解题的关键是正确理解正弦函数和勾股定理的应用．
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有一个根为x1＝﹣4，则另一根为x2＝ 1 ．
【分析】由方程的另一个根为x2，结合根与系数的关系可得出﹣4+x2＝﹣3，从而可得答案．
解：∵x1＝﹣4，方程的另一个根为x2，
∴﹣4+x2＝﹣3，
∴x2＝1．
故1．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记、是解本题的关键．
12．（3分）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2m+2025﹣2m2的值为 2023 ．
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2+m﹣1＝0，然后把m2+m＝1代入﹣2m+2025﹣2m2中进行整式的运算即可．
解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
∴﹣2m+2025﹣2m2
＝2025﹣2（m2+m）
＝2025﹣2
＝2023．
故2023．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法解决此类问题．
13．（3分）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值为 ．
【分析】连接BD，CD，由tan∠ACK＝tan∠DCM＝，得到∠ACK＝∠DCM，由∠DCM+∠DCK＝180°，得到∠ACK+∠DCK＝180°，推出A、C、D共线，由勾股定理的逆定理推出∠BDC＝90°，由勾股定理求出BD＝，AB＝＝5，即可求出sin∠BAC＝＝．
解：连接BD，CD，
∵tan∠ACK＝tan∠DCM＝，
∴∠ACK＝∠DCM，
∵∠DCM+∠DCK＝180°，
∴∠ACK+∠DCK＝180°，
∴A、C、D共线，
∵CD2＝BD2＝22+12，BC2＝32+12，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴∠BDC＝90°，
∵BD＝，AB＝＝5，
∴sin∠BAC＝＝．
故．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正弦定义求解．
14．（3分）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为 m ．
【分析】先确定点A的坐标，进而可求出a的值，得到函数关系式，利用配方法或顶点公式可求出水流喷出的最大高度．
解：由题意，得点A的坐标为（4，0），
将A（4，0）代入得0＝16a+×4，
解得a＝，
∴函数关系式为y＝x2+x，
∵y＝x2+x＝，
∴水流喷出的最大高度为m．
故m．
【点评】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法和求二次函数的最值的方法是解题的关键．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+2ax+b，当﹣5≤x≤﹣3时，y≥0；当﹣1≤x≤1时，y≤0，则b与a满足的关系式是 b＝﹣3a ．
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．利用抛物线的对称性得到x＝﹣3和x＝1时，函数值相等，从而可判断抛物线经过点（1，0），然后把（1，0）代入y＝ax2+2ax+b得a、b的关系．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴x＝﹣3和x＝1时，函数值相等，
而当﹣5≤x≤﹣3时，y≥0；当﹣1≤x≤1时，y≤0，
∴x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0，
即抛物线经过点（1，0），
把（1，0）代入y＝ax2+2ax+b得a+2a+b＝0，
∴b＝﹣3a．
故b＝﹣3a．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；抛物线的对称轴为直线x＝﹣：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别是直线与坐标轴的交点，点B（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC，垂足为E，点F在AB边上，且D、F两点关于y轴上某点成中心对称，连接DF、EF．线段EF长度的最小值为 ．
【分析】过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt△FGK≌Rt△DHK，由全等三角形的性质得出FG＝DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根据勾股定理得出L＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案．
解：过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，
则∠FGK＝∠DHK＝90°，
记FD交y轴于点K，
∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，
∴KF＝KD，
∵∠FKG＝∠DKH，
∴Rt△FGK≌Rt△DHK，
∴FG＝DH，
∵直线AC的解析式为，
∴x＝0时，y＝4，
∴A（0，4），
又∵B（﹣2，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4，
过点F作FR⊥x轴于点R，
∵D点的横坐标为m，
∴F（﹣m，﹣2m+4），
∴ER＝2m，FR＝﹣2m+4，
∵EF2＝FR2+ER2，
∴l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，
令，得，
∴．
∴当m＝1时，l的最小值为8，
∴EF的最小值为．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的最值，数形结合是本题的突破口．
三、解答题（本大题共10小题，共82分）
17．（8分）解方程：
（1）2x2﹣7x+3＝0；
（2）9x2﹣（x﹣1）2＝0．
【分析】（1）（2）利用因式分解法解方程．
解：（1）2x2﹣7x+3＝0，
因式分解得：（x﹣3）（2x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或2x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2＝；
（2）∵9x2﹣（x﹣1）2＝0，
因式分解得：（3x+x﹣1）（3x﹣x+1）＝0，
∴4x﹣1＝0或2x+1＝0，
∴x1＝，x2＝﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是结合方程的特点选择适合的方法．
18．（6分）计算：4sin30°+|1﹣tan60°|﹣cs45°．
【分析】将sin30°＝，tan60°＝，cs45°＝代入求解即可得出答案．
解：∵sin30°＝，tan60°＝，cs45°＝，
∴原式＝2+﹣1﹣1＝．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，及绝对值的知识，解答本题的关键是掌握一些特殊角度的三角函数值，难度一般．
19．（6分）已知二次函数y＝x2+3mx+2m2﹣1（m为常数）．
（1）若点（0，1）在该函数图象上，求m的值；
（2）求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴总有2个公共点．
【分析】（1）将（0，1）代入函数表达式，即可求解；
（2）由Δ＞0，即可求解．
（1）解：将（0，1）代入函数表达式得：2m2﹣1＝1，
解得：m＝±1；
（2）证明：Δ＝b2﹣4ac＝9m2﹣4（2m2﹣1）＝m2+4＞0，
故不论m为何值，该二次函数图象与x轴总有2个公共点．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解答此题的关键是熟练掌握二次函数与x轴有两个交点的条件．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．
（1）求sinB的值；
（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．
【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一的性质求出BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB＝计算即可；
（2）由EF∥AD，BE＝2AE，可得＝＝＝，求出EF、DF，再利用勾股定理解决问题．
解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，
∴BD＝DC＝BC＝9，
∴AB＝＝＝3，
∴sinB＝＝＝；
（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AD，
∴＝＝＝，
∴EF＝AD＝×6＝4，BF＝BD＝×9＝6，
∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，
在Rt△DEF中，DE＝＝＝5．
【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，则称a是该方程的中点值．
（1）方程x2﹣8x+3＝0的中点值是 4 ．
（2）已知x2﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根恰好等于n，求n的值．
【分析】（1）利用方程的中点值求解，即可解答；
（2）先根据方程的中点值的定义可得＝3，从而可得：m＝6，进而可得x2﹣6x+n＝0，然后把x＝n代入方程x2﹣6x+n＝0中得：n2﹣6n+n＝0，从而进行计算即可解答．
解：（1）∵（）2﹣3＝42﹣3＝16﹣3＝13＞0，
∴方程x2﹣8x+3＝0的中点值是4，
故4；
（2）由题意得：＝3，
解得：m＝6，
∴方程可化为：x2﹣6x+n＝0，
把x＝n代入方程x2﹣6x+n＝0中得：n2﹣6n+n＝0，
即n2﹣5n＝0，
n（n﹣5）＝0，
解得：n＝0或n＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，一元二次方程的解，理解定义的新运算是解题的关键．
22．（8分）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．
（2）在（1）的条件下，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最大值和最小值．
（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值8，求a的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）抛物线开口向上，顶点为最低点，x＝﹣1时y取最小值0，x＝2时y取最大值3．
（3）求得抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即可根据题意得到x＝1时，y＝8或﹣a＝8，即可得到a＝1或a＝﹣8．
解：（1）∵二次函数的图象经过点（2，3），
∴3＝4a+8a+3a，
∴a＝，
∴函数y的表达式为y＝x2+x+．
（2）∵y＝x2+x+＝（x+2）2﹣，
∴抛物线开口向上，顶点为（﹣2，﹣），
∴x＝﹣1时，y＝（﹣1+2）2﹣＝0，
当x＝2时，y＝（2+2）2﹣＝3，
∴当﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是3，最小值0．
（3）∵y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值8，
∴x＝1时，y＝8或﹣a＝8，
∴a+4a+3a＝8，
∴a＝1或a＝﹣8．
∴a的值是1或﹣8．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．
23．（8分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．
如图①：在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝ 1 ．
（2）对于0°＜A≤90°，∠A的正对值sadA的取值范围是 0＜sadA≤ ．
（3）如图②，已知csA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
【分析】（1）当顶角为60°时，可求出等腰三角形底角度数，进而得到该三角形为等边三角形，从而得出sad60°的值；
（2）可分别根据当∠A接近0°时和当∠A＝90°时，分别讨论，就可得出sadA的取值范围；
（3）设AB＝13a，AC＝12a，则BC＝5a，要求sadA的值，就要构造等腰三角形，即在AB上取点D，使AD＝AC＝12a，连接CD，作DH⊥AC于点H，用a表示出DH和AH的长，从而得出CH的长，再根据勾股定理就可得出CD的长，再利用sadA的定义就可得出答案．
解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，
则sad60°＝＝1．
故1；
（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，
当∠A＝90°时，等腰三角形的底等于腰的倍，故sadA＝，
∴sadA的取值范围是0＜sadA≤．
故0＜sadA≤；
（3）如图△ACB为直角三角形．
设AB＝13a，AC＝12a，则BC＝5a，
∴sinA＝，
在AB上取点D，使AD＝AC＝12a，连接CD，作DH⊥AC于点H，
则DH＝AD•sinA＝12a×＝a，AH＝AD•csA＝12a×＝a，
∴CH＝12a﹣a＝a
∴CD＝＝＝a，
由正对的定义可得：sadA＝＝．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，顶角A的正对的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交y轴于点A，点B是x轴正半轴上一动点，点P为抛物线在第一象限的点，其纵坐标为，OC∥BP交x轴上方的抛物线于点C，经过C，P的直线交y轴于点E，交x轴于点F．
（1）点P的坐标为 （2.5，） ；
（2）当点C与点A重合时，求OF的长；
（3）当OB＝BF，且∠CEO＝∠COE时，设△BFP，四边形OBPC，△OEC的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝ 1：3：4 ．
【分析】（1）把y＝代入解析式y＝﹣x2+2x+3中，利用点P为抛物线在第一象限的点，进而得出点P的坐标即可；
（2）当点C与点A重合时，画出图形，利用利用A，P坐标得出直线AP的解析式，令y＝0得出点F的坐标，进而解答即可；
（3）利用相似三角形的性质解答即可．
解：（1）∵点P为抛物线在第一象限的点，其纵坐标为，
把y＝代入解析式y＝﹣x2+2x+3中，
可得：x＝﹣0.5（舍去），x＝2.5，
∴点P的坐标为（2.5，）；
故（2.5，）；
（2）当点C与点A重合时，如备用图：
∵OC∥BP，
∴直线CP即为直线AP，
设直线AP的解析式为：y＝kx+b，
把（0，3），（2.5，）代入y＝kx+b中，可得：，
解得：，
∴直线AP的解析式为：y＝﹣0.5x+3，
令y＝0，可得：x＝6
∴OF＝6．
（3）∵OC∥BP，
∴△BPF∽△OCF，
∵OB＝BF，
∴，
∴S1：S2＝1：3，
∵∠CEO＝∠COE，
∴CE＝OC，
∵OB＝BF，OC∥BP，
∴CP＝PF，
∴EC＝CF，
∴，
∴S2：S3＝1：1，
∴S1：S2：S3＝1：3：4，
故1：3：4．
【点评】此题考查的是二次函数的综合题，解题关键是利用待定系数法、直线与坐标轴的交点、相似的判定和性质等知识解答．
25．（10分）根据以下素材，完成探索任务．
问题的提出
根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？
素材1：图1是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20m，开2个门，且门宽均为1m．
素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表．
如表
素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米．
问题解决
【分析】任务一：先根据题中条件写BC的长，即可求出S关于x的函数表达式；
任务二：先根据1＜BC≤16，解出2≤x＜7，写出新墙建筑费用的代数式，然后分选用型号A门和型号C门两种情况，利用总费用不高于6400元，分别求出x的取值范围即可；
任务三：先把函数表达式配成顶点式，然后根据x的取值范围和图象开口方向即可求出面积的最大值．
解：任务1：根据题意可得BC＝20+2﹣3x＝（22﹣3x）m，
∴S＝AB•BC
＝x（22﹣3x）
＝﹣3x2+22x；
任务2：由题意知1＜BC≤16，
即1＜22﹣3x≤16，
解得：2≤x＜7，
根据题意可得：新墙建筑费用＝200（3x﹣1）+400（21﹣3x）＝（8200﹣600x）元，
若选型号A门，则总费用＝8200﹣600x+500＝（8700﹣600x）元，
∵总费用不高于6400元，
∴8700﹣600x≤6400，解得：x≥，
∴≤x＜7；
若选型号C门，则总费用＝8200﹣600x+600＝（8800﹣600x）元，
∵总费用不高于6400元，
∴8800﹣600x≤6400，解得：x≥4，
∴4≤x＜7；
综上所述：当选型号A门时，自变量x的取值范围为：≤x＜7，当选型号C门时，自变量x的取值范围为：4≤x＜7；
任务3：由任务1知S＝﹣3x2+22x＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，图象开口向下，且＜＜4，
∴当x＝时，面积S有最大值，最大值为，
此时BC＝22﹣3×＝（m），
∴我的设计方案是选型号A门，AB＝m，BC＝m，S的最大值为m2；
故A，，，．
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，解题关键：一是列出S关于x的函数表达式，二是配成顶点式．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，动点P在直线BC下方的抛物线上，连接PO，PC，当m为何值时，四边形OPCE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，连接PO，PF，OF，在抛物线x轴下方的图象上是否存在点P使△POF满足：①∠OPF＝90°；②？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意得：，解之即可求解；
（2）四边形OPCE面积S＝S△OCE+S△OCP＝×EF×AC+PH×AC，即可求解；
（3）证明△PMO∽△FNP，而，则△PMO和△FNP的相似比为2：1，即OM＝2PN，即可求解．
解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）点A（0，3），函数的对称轴为直线x＝2，则点C（4，3），
∵OE是∠AOB的平分线，故∠AOE＝45°，则△AOE为等腰直角三角形，故AE＝OA＝3，故点E（3，3）；
连接OC，过点E、P分别作y轴的平行线分别交OC于点F、H，
由点O、C的坐标得，直线OC的表达式为：y＝x，当x＝3时，y＝，故F（3，），则EF＝3﹣＝，
设点P（m，m2﹣4m+3），则点H（m，m），
则四边形OPCE面积S＝S△OCE+S△OCP＝×EF×AC+PH×AC＝×4×（+m﹣m2+4m﹣3）＝﹣2m2+m﹣，
∵﹣2＜0，故S有最大值，当m＝时，S的最大值为；
（3）存在，理由：
过点P作x轴的平行线交y轴于点M，交直线l于点N，
设点P（m，m2﹣4m+3），
∵∠OPF＝90°，则∠MOP+∠MPO＝90°，∠OPM+∠FPN＝90°，
∵∠FPN＝∠POM，
∴△PMO∽△FNP，
∵，即△PMO和△FNP的相似比为2：1，
则OM＝2PN，即﹣（m2﹣4m+3）＝2|2﹣m|，解得：m＝3﹣或1+，
故点P的坐标为（3﹣，2﹣2）或（1，2﹣2）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似、面积的计算等，综合性强，难度适中．
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2024-2025学年江苏省苏州市九年级上学期期中数学检测试卷（二）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣x2＝4B．2x+y＝22C．x3+2x﹣1＝0D．
2．（3分）若线段MN的长为2cm，点P是线段MN的黄金分割点，则最短的线段MP的长为（ ）
A．（﹣1）cmB．cmC．（3﹣）cmD．cm
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列变形结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝7C．（x﹣4）2＝1D．（x﹣4）2＝7
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，∠BCD＝40°，则∠ABD的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．60°
6．（3分）用图中两个可自由转动的转盘做游戏：分别旋转两个转盘，转出的两个数字之积为6的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（ ）
A．B．7C．D．
8．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝8，点P是线段BC上一动点，DM⊥AP，垂足为M，则BM的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）一个正多边形的中心角为36°，则它的边数是 ．
10．（3分）关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
11．（3分）小明用]，计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝ ．
12．（3分）在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是 三角形．
13．（3分）某人沿着坡度的山坡走了150米，则他离地面的高度上升了 米．
14．（3分）一个直角三角形的两条直角边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为 ．
15．（3分）已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积为 ．
16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝36°，则∠A的度数为 ．
17．（3分）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，若小正方形的边长为1，则DO的长为 ．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，CA＝6，⊙C半径为4，P为圆上一动点，连接AP，BP，的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）解方程：（x﹣2）2﹣5＝0；
（2）计算：tan60°cs30°﹣3sin245°．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于2，求k的取值范围．
21．（8分）近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天50名出行学生使用共享单车次数的情况，并整理成如下统计表．
（1）这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是 ，众数是 ；
（2）这天中，这50名出行学生平均每人使用共享单车多少次？
22．（8分）为庆祝神舟十五号载人飞船发射成功，某中学组织志愿者周末到社区进行航天航空知识宣讲活动，现有A、B、C、D四名同学报名参加．
（1）若从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是 ；
（2）若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中A、B两名同学参加活动的概率．
23．（10分）如图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上．
（1）以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到△A′B′C′；
（2）将△A'B'C'绕点B′顺时针旋转90°；画出旋转后得到的△A″B'C″；
（3）在（2）的旋转过程中，求边A'C'．
24．（10分）某面店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，元旦期间，该店决定采取降价措施，经过市场调查发现，每降价5元，日销售量可以增加10件．
（1）若降价10元，则平均每天的销售量为 件．
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元？
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC、CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，与过点A的直线AM相交于点P，且∠CAB＝∠APB．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求线段PD的长．
26．（10分）如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．
（1）求点E离地面AC的距离BE的长；
（2）设人站立点C与点A的距离AC＝53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）
27．（12分）已知，矩形ABCD中，点F在CD上，连接BF交AC于点E．
（1）若AC⊥BF于点E，如图1．
①证明：△ACD∽△CBE；
②若DF＝AB，求∠BAC的度数；
（2）若，点F是CD的中点，连接AF，如图2，求sin∠CAF的值．
28．（12分）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝ ，在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“关联点”是 ．
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”．求b的取值范围；
（3）已知点，图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T．若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点“，直接写出t的取值范围．
答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣x2＝4B．2x+y＝22C．x3+2x﹣1＝0D．
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行分析即可．
解：A、2x﹣x2＝4是一元二次方程，符合题意；
B、2x+y＝22是二元一次方程，不符合题意；
C、x3+2x﹣1＝0是一元三次方程，不符合题意；
D、x+＝6是分式方程，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．（3分）若线段MN的长为2cm，点P是线段MN的黄金分割点，则最短的线段MP的长为（ ）
A．（﹣1）cmB．cmC．（3﹣）cmD．cm
【分析】较长的线段MP的长为x cm，则较短的线段长是（2﹣x）cm．根据黄金分割的定义即可列方程求解．
解：较长的线段MP的长为x cm，则较短的线段长是（2﹣x）cm．
则x2＝2（2﹣x），
解得x＝﹣1或﹣﹣1（舍去）．
较短的线段长是2﹣（﹣1）＝3﹣（cm）
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割，与一元二次方程的解法，正确理解黄金分割的定义是关键．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列变形结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝7C．（x﹣4）2＝1D．（x﹣4）2＝7
【分析】首先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
解：x2﹣4x﹣3＝0，
∴x2﹣4x+4＝3+4，
即（x﹣2）2＝7，
故选：B．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
【分析】根据圆周角定理、垂径定理及圆的对称性分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
C、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；
D、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故原命题错误，不符合题意，
故选：A．
【点评】考查了圆周角定理、垂径定理及圆的对称性等知识，解题的关键是了解有关性质或定理，难度不大．
5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，∠BCD＝40°，则∠ABD的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．60°
【分析】连接AC，如图，先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余计算出∠ACD＝50°，然后再利用圆周角定理得到∠ABD的度数．
解：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABD＝∠ACD＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
6．（3分）用图中两个可自由转动的转盘做游戏：分别旋转两个转盘，转出的两个数字之积为6的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中转出的两个数字之积为6的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中转出的两个数字之积为6的结果有2种，
∴转出的两个数字之积为6的概率为＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（ ）
A．B．7C．D．
【分析】连接OD，证明点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，把求∠AED的正切值转化为求∠ABC的正切值．
解：连接OD，
∵AD⊥BC，O是AB中点，
∴，
∴OD＝OA＝OE＝OD
∴点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，
∴∠ABC＝∠AED，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握四点共圆的证明及三角函数的应用是解题关键，其中连接OD，证明点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上是本题的难点．
8．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝8，点P是线段BC上一动点，DM⊥AP，垂足为M，则BM的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
【分析】首先得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，然后得到当直线BM过圆心O时，BM最短，从而利用勾股定理计算出答案．
解：设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，
∵DM⊥AP，
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，
连接OB交圆O与点N，
∵点B为圆O外一点，
∴当直线BM过圆心O时，BM最短，
∵BO2＝AB2+AO2，，
∴BO2＝36+16＝52，
∴，
∵．
故选：D．
【点评】本题考查直角三角形、圆的性质，勾股定理，直径所对 圆周角是直角等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）一个正多边形的中心角为36°，则它的边数是 10 ．
【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
解：由题意可得：
边数为360°÷36°＝10，
则它的边数是10．
【点评】根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题，本题是一个基本的问题．
10．（3分）关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞﹣4且m≠0 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．
解：关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×m×（﹣1）＝16+4m＞0且m≠0，
解得m＞﹣4且m≠0，
故m＞﹣4且m≠0．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
11．（3分）小明用]，计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝ 30 ．
【分析】根据计算方差的公式能够确定数据的个数和平均数，从而求得所有数据的和．
解：∵]，
∴平均数为3，共10个数据，
∴x1+x2+x3+…+x10＝10×3＝30，
故30．
【点评】本题考查了方差的知识，牢记方差公式是解答本题的关键，难度不大．
12．（3分）在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是 等边 三角形．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A＝60°，∠B＝60°，进而得出答案．
解：∵，
∴sinA＝，csB＝，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
故等边．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
13．（3分）某人沿着坡度的山坡走了150米，则他离地面的高度上升了 75 米．
【分析】根据正切的定义求出山坡的坡角，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
解：设山坡的坡角为α，
∵山坡的坡度为1：，
∴tanα＝＝，
则α＝30°，
∴他离地面的高度为：×150＝75（米），
故75．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度与坡角的关系是解题的关键．
14．（3分）一个直角三角形的两条直角边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为 1 ．
【分析】先解一元二次方程，根据勾股定理解得三角形的斜边，利用直角三角形内切圆的半径等于两直角边之和与斜边之差的一半，可得结果．
解：解方程x2﹣7x+12＝0得，
x1＝3，x2＝4，
由勾股定理得，斜边为5，
∴此直角三角形的内切圆的半径为＝＝1，
故1．
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟记直角三角形内切圆的半径等于两直角边之和与斜边之差的一半是解答此题的关键．
15．（3分）已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积为 8π ．
【分析】求出圆锥的底面圆周长，利用公式S＝LR即可求出圆锥的侧面积．
解：圆锥的底面圆周长为2π2＝4π，
则圆锥的侧面积为×4π×4＝8π．
故答案为8π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，能将圆锥侧面展开是解题的关键，并熟悉相应的计算公式．
16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝36°，则∠A的度数为 27° ．
【分析】如图所示，连接OC，利用切线的性质得到∠OCD＝90°，根据三角形内角和定理得到∠DOC＝54°，即可利用圆周角定理求出∠A的度数．
解：如图所示，连接OC，
∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝36°，
∴∠DOC＝180°﹣∠D﹣∠OCD＝54°，
∴，
故27°．
【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．
17．（3分）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，若小正方形的边长为1，则DO的长为 3 ．
【分析】连接AE，证明四边形AECB是平行四边形得AE∥BC，由勾股定理得AD＝5，从而有AD＝DE＝5，然后利用等腰三角形的性质可得∠DAE＝∠DEA，再利用平行线的性质可得∠DOC＝∠DCO，进而可得DO＝DC＝3．
解：如图，连接AE，
∵AB∥EC，AB＝EC＝2，
∴四边形AECB是平行四边形，
∴AE∥BC，
∵，DE＝5，
∴AD＝DE＝5，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO，
∴∠DOC＝∠DCO，
∴DO＝DC＝3，
故3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，CA＝6，⊙C半径为4，P为圆上一动点，连接AP，BP，的最小值为 ．
【分析】连接CP，在CB上取点D，使CD＝2，连接AD、PD，则有，然后 根据相似三角形判定的方法，判断出△PCD∽△BCP，即可推导出，再应用勾股定理，求出AP+BP的最小值即可，
解：连接CP，在CB上取点D，使 CD＝2，连接AD、PD，
∵，∠PCD＝∠BCP，
∴△PCD∽△BCP，
∴，
∴，
∴，
∴当点A、P、D在同一条直线时，的值最小，
在Rt△ACD中，
∵CD＝2，CA＝6，
∴，
∴的值最小为，
故．
【点评】此题考查了最短路线问题，两点之间线段最短，以及勾股定理的应用，正确辅助线并判断出AD的长度即为所求的最小值是解题的关键．
三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）解方程：（x﹣2）2﹣5＝0；
（2）计算：tan60°cs30°﹣3sin245°．
【分析】（1）移项，利用直接开平方法即可求解；
（2）把特殊角的三角函数值代入计算即可求解；
解：（1）移项得，（x﹣2）2＝5，
开平方得，，
∴，；
（2）原式＝，
＝，
＝，
＝0．
【点评】本题考查了实数的运算，解一元二次方程﹣直接开方法，特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值及掌握直接开平方法是解题的关键．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于2，求k的取值范围．
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；
（2）根据公式法求得方程的解，得出x1＝2，x2＝k+1，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣（k+3），c＝2k+2，
∵b2﹣4ac＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，
∵Δ＝（k﹣1）2，
∴，
解得：x1＝2，x2＝k+1，
∵方程有一个根小于2，
∴k+1＜2，
解得k＜1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
21．（8分）近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天50名出行学生使用共享单车次数的情况，并整理成如下统计表．
（1）这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是 3 ，众数是 2 ；
（2）这天中，这50名出行学生平均每人使用共享单车多少次？
【分析】（1）根据中位数的概念求解可得；
（2）利用加权平均数的概念列式计算可得；
解：（1）这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是＝3（次），众数为2，
故3，2；
（2）这50名出行学生平均每人使用共享单车×（1×8+2×13+3×11+4×12+5×6）＝2.9（次）．
【点评】本题考查了中位数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错．
22．（8分）为庆祝神舟十五号载人飞船发射成功，某中学组织志愿者周末到社区进行航天航空知识宣讲活动，现有A、B、C、D四名同学报名参加．
（1）若从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是 ；
（2）若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中A、B两名同学参加活动的概率．
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到恰好选中A、B两名同学参加活动的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
解：（1）∵一共有4个人，每个人被选取的概率相同，
∴从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是，
故．
（2）列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中A、B两名同学参加活动的结果数有2种，
∴恰好选中A、B两名同学参加活动的概率＝．
【点评】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．（10分）如图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上．
（1）以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到△A′B′C′；
（2）将△A'B'C'绕点B′顺时针旋转90°；画出旋转后得到的△A″B'C″；
（3）在（2）的旋转过程中，求边A'C'．
【分析】（1）连接AO、BO、CO并延长到2AO、2BO、2CO长度找到各点的对应点，顺次连接即可．
（2）△A′B′C′的A′、C′绕点B′顺时针旋转90°得到对应点，顺次连接即可；
（3）根据扇形面积公式，利用边A′C′在旋转过程中扫过的图形面积＝S扇形C′B′C″﹣S扇形A′B′A″进行计算即可．
解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）如图，△A″B′C″为所作；
（3）∵B′C′＝6，A′B′＝＝2，
∴边A′C′在旋转过程中扫过的图形面积＝S扇形C′B′C″﹣S扇形A′B′A″＝﹣＝4π．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换，作图﹣旋转变换，扇形面积的计算，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换的性质，
24．（10分）某面店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，元旦期间，该店决定采取降价措施，经过市场调查发现，每降价5元，日销售量可以增加10件．
（1）若降价10元，则平均每天的销售量为 40 件．
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元？
【分析】（1）根据每降价5元，日销售量可以增加10件，求解即可；
（2）设每件商品降价x元，根据该商店每天销售利润为1050元，列一元二次方程，求解即可．
解：（1）根据题意，得20+10×＝40（件），
故40；
（2）设每件商品降价x元，
根据题意，得（40﹣x）（20+）＝1050，
解得x1＝5，x2＝25，
答：当每件降价5元或25元时，该商店每天销售利润为1050元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应该，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC、CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，与过点A的直线AM相交于点P，且∠CAB＝∠APB．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求线段PD的长．
【分析】（1）首先证明AM∥CD，根据平行线的性质得到AB⊥AM，再根据切线的判定定理证明结论即可；
（2）连接AD，根据勾股定理可求出BD，证明△BDA≌△BAP，再根据相似三角形的性质计算，即可求得线段PD的长．
（1）证明：由圆周角定理得：∠CAB＝∠CDB，
∵∠CAB＝∠APB，
∴∠CDB＝∠APB，
∴AM∥DC，
∵CD⊥AB，
∴AB⊥AM，
∵OA是⊙O的半径，
∴AM是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴AD＝AC＝8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，AB＝2×5＝10，
∴，
∵∠BDA＝∠BAP＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDA∽△BAP，
∴，即，
解得：，
∴．
【点评】本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理及推论、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
26．（10分）如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．
（1）求点E离地面AC的距离BE的长；
（2）设人站立点C与点A的距离AC＝53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）
【分析】（1）过E作与AC平行的直线，与OA、DC分别相交于H、N．那么求BE的长就转化为求HA的长，而要求出HA，必须先求出OH，在直角△OHE中，且铁环的半径为5个单位即OE＝25cm，可求得HE的值，从而求得HA的值；
（2）因为∠EOH+∠OEH＝∠OEH+∠DEN＝90°，∠DEN＝∠EOH，又因为cs∠AOE＝0.6，所以可得出DN和DM之间的数量关系，由此即可解决问题．
解：过E作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．
（1）在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，OE＝25cm，∠AOE＝53°，
∴HO＝OE×cs53°＝15cm，EH＝20cm，
EB＝HA＝25﹣15＝10（cm），
所以铁环钩离地面的高度为10cm；
（2）∵铁环钩与铁环相切，
∴∠EOH+∠OEH＝∠OEH+∠DEN＝90°，∠DEN＝∠EOH，
∴DE＝＝，
在Rt△DEN中，∠DNE＝90°，EN＝BC＝AC﹣AB＝53﹣20＝33（cm），DE＝＝＝55（cm），
∴铁环钩的长度DE为55cm．
【点评】考查了解直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中即可解答．
27．（12分）已知，矩形ABCD中，点F在CD上，连接BF交AC于点E．
（1）若AC⊥BF于点E，如图1．
①证明：△ACD∽△CBE；
②若DF＝AB，求∠BAC的度数；
（2）若，点F是CD的中点，连接AF，如图2，求sin∠CAF的值．
【分析】（1）①根据矩形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ECB，进而证明△ACD∽△CBE；
②证明△FEC∽△BEA，得到＝，根据正切的定义求出∠BAC；
（2）过点F作FH⊥AC于H，设BC＝2a，则AB＝CD＝3a，根据勾股定理用a表示出AC，根据三角形的面积公式求出FH，根据正弦的定义计算，得到答案．
（1）①证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
∵AC⊥BF，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，
∴△ACD∽△CBE；
②解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴△FEC∽△BEA，
∴＝，
∵DF＝AB，
∴＝，
∴＝，
设CE＝a，则EA＝3a，
∵∠ABC＝90°，AC⊥BF，
∴BE2＝AE•EC＝3a2，
∴BE＝a，
则tan∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝30°；
（2）解：过点F作FH⊥AC于H，
设BC＝2a，则AB＝CD＝3a，
由勾股定理得：AC＝＝a，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝a，
则AF＝＝a，
∵S△AFC＝AC•FH＝CF•AD，
∴×a•FH＝×a×2a，
解得：FH＝a，
则sin∠CAF＝＝＝．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
28．（12分）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝ 5 ，在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“关联点”是 P2，P4 ．
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”．求b的取值范围；
（3）已知点，图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T．若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点“，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据所给的定义，对每一个点进行判断即可；
（2）由题意可得d＝DF＝2，过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M，当ME＝2时，ON＝6，则﹣6≤b≤6时，直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；
（3）由题意可得d＝2，当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，当KL＝2时，TM＝2，此时T（1﹣2，0）；当TM＝3时，T（﹣2，0），则1﹣2≤t≤﹣2时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3时，此时T（4，0），当NT＝3时，3＝，解得t＝或t＝﹣（舍），则≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”．
解：（1）∵四边形AOBC是矩形，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），
∴OC＝5，
∴d＝5，
∵P1（﹣1，0），
∴P1O＝1，
∴P1不是矩形AOBC的“关联点”；
∵P2（2，8），
∴P2到AC的距离为5，
∴P2是矩形AOBC的“关联点”；
∵P3（3，1），
∴P3到OB的距离为1，
∴P3不是矩形AOBC的“关联点”；
∵，
∴P4O＝5，
∴P4是矩形AOBC的“关联点”；
故P2，P4；
（2）∵D（1，1），四边形DEFG是正方形，
∴d＝DF＝2，
过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M，
当ME＝2时，OM＝3，
∵∠MNO＝45°，
∴ON＝6，
∴﹣6≤b≤6时，直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；
（3）∵⊙T是T（t，0）为圆心，1为半径的圆，
∴d＝2，
当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，
当KL＝2时，TL＝3，
∵M（1，0），，
∴ON＝，OM＝1，
∴tan∠OMN＝，
∴∠OMN＝60°，
∴TM＝＝2，
此时T（1﹣2，0），
当TM＝3时，OT＝2，
∴T（﹣2，0），
∴1﹣2≤t≤﹣2时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；
当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3时，此时T（4，0），
当NT＝3时，3＝，解得t＝或t＝﹣（舍），
∴≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；
∴1﹣2≤t≤﹣2或≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”．
【点评】本题考查圆的综合应用，弄清定义，能够根据定义，结合矩形的性质，圆的性质，属性结合解题是关键．
著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/20 7:40:52；用户：试用号；；
型号
A
B
C
规格（门宽）
1米
1.2米
1米
单价（元）
250
280
300
任务1
确定饲养室的形状
设AB＝x，矩形ABCD的面积为S，求S关于x的函数表达式．
任务2
探究自变量x的取值范围．
任务3
确定设计方案
我的设计方案是选型号 门，AB＝ m，BC＝ m，S的最大值为 m2．
型号
A
B
C
规格（门宽）
1米
1.2米
1米
单价（元）
250
280
300
任务1
确定饲养室的形状
设AB＝x，矩形ABCD的面积为S，求S关于x的函数表达式．
任务2
探究自变量x的取值范围．
任务3
确定设计方案
我的设计方案是选型号 A 门，AB＝ m，BC＝ m，S的最大值为 m2．
使用次数
1
2
3
4
5
人数
8
13
11
12
6
使用次数
1
2
3
4
5
人数
8
13
11
12
6
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）