2025年辽宁省沈阳市铁西区九年级中考零模数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份2025年辽宁省沈阳市铁西区九年级中考零模数学试卷（原卷版+解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分选择题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
2. 在，，，四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A. B. C. D.
3. 据媒体公布的信息，2025年春节假期，沈阳聚焦“冰雪十”融合发展，精心组织推出2025年“冬日雪暖阳，撒欢在沈阳，欢喜过大年”6大主题200多项新春文体旅活动，呈现“年味浓、供给足、场景火、流量大、口碑好”的繁荣景象．在大年初五，沈阳接待游客超218万人次，创单日接待游客历史新高．将数据“218万”用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在线段上，垂直平分，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
5. 的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，与交于点，和关于直线对称，点，的对称点分别是点、、下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 小明在文具店购买笔记本和水性笔（两种物品都买）；其中笔记本每本元，水性笔每支元，小明一共花费了元，则小明共有几种购买方案？下列答案正确的是（ ）
A 种B. 种C. 种D. 种
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 每个内角都相等的多边形是正多边形
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D. 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分
10. 如图1，动点从菱形的顶点出发，沿边匀速运动，运动到顶点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图像如图2所示，则菱形的边长为（ ）
A. B. 4C. D. 2
第二部分 非选择题
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分式方程的解是___________．
12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为_____．
13. 如图，在中，点、分别是边，上的点，，且，若的面积是，则四边形的面积为___________．
14. 抛物线与轴的交点坐标是和,则抛物线的对称轴是______．
15. 如图，在中，，，，在边和边上分别截取，使，分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线，交边于点，则的面积为___________．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：；
（2）计算：．
17. 某学校计划为刚结束的演讲比赛购买A，B两种奖品共20个．已知A种奖品的单价是20元，B种奖品的单价是15元
（1）如果学校共花费350元，求购买A种奖品多少个？
（2）如果学校购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，求至少购买A种奖品多少个？
18. 为了激发学生探究科学的兴趣，培养学生的创新精神和实践能力，学校开展了以“智能生活”为主题的发明创造竞赛活动，要求参赛的学生结合生活实际，设计并制作一款智能生活小发明，解决生活中的实际问题．学生们积极参与，上交了大量的作品，学校将学生上交的作品，按科学性，创新性，实用性三个方面进行了评比，给出了每件作品的最终评分（参赛作品的成绩为百分制，最低分为分）．学校抽取了部分参赛学生的成绩，成绩用（单位：分）表示，并将其分成如下四组：：，：，：，：，统计出如下信息：
信息一：
信息二：
信息三：组的数据（单位：分）如下：
，
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求抽取成绩的学生人数；
（2）求所抽取的学生成绩的中位数；
（3）若全校参赛学生有人，请估计学生的成绩不低于分的人数．
19. 某超市销售的一种饮料每瓶进价为3元，若每瓶按4元的价格销售，则每月能卖出160瓶；若每瓶按5元的价格销售，则每月能卖出60瓶．如果该超市每月销售这种饮料瓶数（单位：瓶）是销售单价（单位：元）的一次函数．
（1）求与的函数关系式；
（2）当这种饮料销售单价定为多少元时，该超市每月销售这种饮料获得的利润最大？并求出此时的最大利润．
20. 数学活动小组设计了测量一棵在山坡上与水平线垂直的杨树（如图1）高度的方案．如图2，从点测得杨树底端点的仰角是长6米，在距离点4米处的点测得杨树顶端点的仰角为（图中在同一平面内，点在同一水平线上）．
（1）求山坡上点距水平线高度（精确到米）；
（2）求杨树的高度（精确到米）．（参考数据：，，）
21. 如图，已知是的直径，点在上，且．点是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点．点在线段的延长线上，的平分线交射线于点，，连接．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线．
22. 在矩形中，，点分别是边和边上的动点，，，连接，
（1）如图1，当的面积为3时，求的值；
（2）在（1）条件下，求的面积；
（3）当时，求的度数；
（4）如图2，将沿直线翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值.
23. 定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上．
（1）如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由：
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标；
（3）抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”，
①求点的坐标；
②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标．
2025年中考阶段性测试数学试卷
（本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟）
第一部分选择题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】主视图就是从主视方向看到的正面的图形，也可以理解为该物体的正投影，据此求解即可．
【详解】解：观察该几何体发现：从正面看到的应该是三个正方形，上面左边1个，下面2个，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是了解主视图的定义，属于基础题，难度不大．
2. 在，，，四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，绝对值，掌握绝对值的规律：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是是解题的关键．根据绝对值的定义分别求出这四个数的绝对值，再进行比较即可．
【详解】解：，，，，且，
绝对值最小的数是，
故选：A．
3. 据媒体公布的信息，2025年春节假期，沈阳聚焦“冰雪十”融合发展，精心组织推出2025年“冬日雪暖阳，撒欢在沈阳，欢喜过大年”6大主题200多项新春文体旅活动，呈现“年味浓、供给足、场景火、流量大、口碑好”的繁荣景象．在大年初五，沈阳接待游客超218万人次，创单日接待游客历史新高．将数据“218万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定和的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此即可获得答案．
【详解】解：218万．
故选：D．
4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在线段上，垂直平分，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，证明为等边三角形是解题关键．首先结合矩形的性质和垂直平分线的性质可得为等边三角形，易得，利用三角形函数解得的值，进一步即可获得答案．
【详解】解：∵四边形为矩形，，
∴，
∵垂直平分，即，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故选：C．
5. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法．运用单项式乘单项式运算法则求出结果即可判断．
【详解】解：，
故选：D．
6. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
7. 如图，与交于点，和关于直线对称，点，的对称点分别是点、、下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的性质．根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据全等三角形的性质即可判断选项D．
【详解】解：由轴对称图形的性质得到，，，
∴，
∴B、C、D选项不符合题意，
故选：A．
8. 小明在文具店购买笔记本和水性笔（两种物品都买）；其中笔记本每本元，水性笔每支元，小明一共花费了元，则小明共有几种购买方案？下列答案正确的是（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程是解答本题的关键．
设购买笔记本本，水性笔支，根据题意得，即，再结合、都是正整数，即可求解．
【详解】解：设购买笔记本本，水性笔支，
根据题意得：，即，
、都是正整数，
当时，；
当时，；
当时，；
两种物品都买，
有两种购买方案，
故答案为：D．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 每个内角都相等的多边形是正多边形
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D. 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．
【详解】解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意；
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意；
C. 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意；
D. 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了对正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断以及三角形中线性质的认识，熟练掌握正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断是解答此题的关键．
10. 如图1，动点从菱形的顶点出发，沿边匀速运动，运动到顶点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图像如图2所示，则菱形的边长为（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图像、菱形的性质、勾股定理等知识，通过函数图像获得所需信息是解题关键．首先根据函数图像可知，当时，，当点运动到点时，，再由菱形的性质可得，然后由勾股定理解得的值，即可获得答案．
【详解】解：由函数图像可知，当时，，
当点运动到点时，，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
即菱形的边长为．
故选：A．
第二部分 非选择题
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分式方程的解是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；先去分母，然后再进行求解方程即可．
【详解】解：
去分母得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验：是原方程的解；
故答案为．
12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，再建立方程，可得答案．
【详解】解：∵点关于原点的对称点为，
∴，
解得：，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是关于原点对称的两个点的坐标关系，掌握“关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数”是解本题的关键．
13. 如图，在中，点、分别是边，上的点，，且，若的面积是，则四边形的面积为___________．
【答案】24
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．首先证明，结合题意可知两三角形的相似比为，进而可得，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即两三角形的相似比为，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
故答案：24．
14. 抛物线与轴的交点坐标是和,则抛物线的对称轴是______．
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线与轴的两个交点，利用对称性确定出对称轴即可．
【详解】解：与轴的两个交点坐标是和，
抛物线的对称轴为直线．
故答案：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
15. 如图，在中，，，，在边和边上分别截取，使，分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线，交边于点，则的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质、尺规作图、勾股定理，根据角平分线的性质可知，根据勾股定理可知，根据可以求出，利用三角形的面积公式可求．
【详解】解：如下图所示，过点作，
由尺规作图可知：是的平分线，
，
在中，，，，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式运算、零指数幂、分式化简求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）首先进行二次根式化简、乘方运算、零指数幂运算以及化简绝对值，然后相加减即可；
（2）首先进行括号内的运算，将除法转化为乘法，然后约分即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 某学校计划为刚结束的演讲比赛购买A，B两种奖品共20个．已知A种奖品的单价是20元，B种奖品的单价是15元
（1）如果学校共花费350元，求购买A种奖品多少个？
（2）如果学校购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，求至少购买A种奖品多少个？
【答案】（1）购买A种奖品各10个
（2）至少购买A种奖品6个
【解析】
【分析】此题考查的是元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用．掌握实际问题中的总价、单价和数量的关系列方程和不等式，是解决此题的关键．
（1）设购买A种奖品x个，则购买B种奖品个，根据“A种奖品的单价是20元，B种奖品的单价是15元，共花费350元，”，即可得出关于x的元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，求出m的最小值即可．
【小问1详解】
解：设购买A种奖品x个，则购买B种奖品个，
依题意，得，
解得：．
答：购买A种奖品10个．
【小问2详解】
解：设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个，
依题意，得，
解得．
∵m为整数，
∴m最小为6，
即至少购买A种奖品6个．
18. 为了激发学生探究科学的兴趣，培养学生的创新精神和实践能力，学校开展了以“智能生活”为主题的发明创造竞赛活动，要求参赛的学生结合生活实际，设计并制作一款智能生活小发明，解决生活中的实际问题．学生们积极参与，上交了大量的作品，学校将学生上交的作品，按科学性，创新性，实用性三个方面进行了评比，给出了每件作品的最终评分（参赛作品的成绩为百分制，最低分为分）．学校抽取了部分参赛学生的成绩，成绩用（单位：分）表示，并将其分成如下四组：：，：，：，：，统计出如下信息：
信息一：
信息二：
信息三：组的数据（单位：分）如下：
，
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求抽取成绩的学生人数；
（2）求所抽取的学生成绩的中位数；
（3）若全校参赛学生有人，请估计学生的成绩不低于分的人数．
【答案】（1）人
（2）分
（3）学生的成绩不低于分的人数约为人
【解析】
【分析】本题考查了中位数的定义，用样本估计总体，条形统计图和扇形统计图信息关联，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）用组的人数除以组占的百分比即可求得抽取成绩的学生人数；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）用全校参赛人数乘以抽取的学生中成绩不低于分所占的比例，即可求解．
【小问1详解】
解：（人），
答：抽取成绩的学生有人；
【小问2详解】
解：由题意可知组有人，组有人，组有人，
组有（人），
抽取的第个和第个学生的成绩为、，
所抽取的学生成绩的中位数为；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计学生的成绩不低于分的有人．
19. 某超市销售的一种饮料每瓶进价为3元，若每瓶按4元的价格销售，则每月能卖出160瓶；若每瓶按5元的价格销售，则每月能卖出60瓶．如果该超市每月销售这种饮料瓶数（单位：瓶）是销售单价（单位：元）的一次函数．
（1）求与的函数关系式；
（2）当这种饮料销售单价定为多少元时，该超市每月销售这种饮料获得的利润最大？并求出此时的最大利润．
【答案】（1）
（2）当这种饮料销售单价定为4.3元时，该超市每月销售这种饮料获得的利润最大，此最大利润为169元
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数及二次函数的应用，正确得出y与x的函数关系是解题关键．．
（1）根据题意利用待定系数法可求得与之间的关系；
（2）设该超市每月销售这种饮料获得的利润为元，列出二次函数关系式，再利用配方法求出二次函数最值即可．．
【小问1详解】
解：设与的函数关系式为，
把，，和，代入，可得，
解得，
；
【小问2详解】
解：设该超市每月销售这种饮料获得的利润为元，
，
当时，有最大值，为169，
所以当这种饮料销售单价定为4.3元时，该超市每月销售这种饮料获得的利润最大，此最大利润为169元．
20. 数学活动小组设计了测量一棵在山坡上与水平线垂直的杨树（如图1）高度的方案．如图2，从点测得杨树底端点的仰角是长6米，在距离点4米处的点测得杨树顶端点的仰角为（图中在同一平面内，点在同一水平线上）．
（1）求山坡上点距水平线的高度（精确到米）；
（2）求杨树的高度（精确到米）．（参考数据：，，）
【答案】（1）约为米
（2）约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）延长，交延长线于点，在中，解直角三角形可得的长，由此即可得；
（2）延长，交延长线于点，先在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，然后根据求解即可得．
【小问1详解】
解：如图，延长，交延长线于点，
由题意得：，，米，
∴在中，（米），
答：山坡上点距水平线的高度约为米．
【小问2详解】
解：如图，延长，交延长线于点，
由题意得：，，，米，米，
在中，米，
∴米，
在中，（米），
由（1）已得：米，
∴（米），
答：杨树的高度约为米．
21. 如图，已知是的直径，点在上，且．点是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点．点在线段的延长线上，的平分线交射线于点，，连接．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
分析】（1）由得到，然后结合得到，推出，即可得到；
（2）由平分得到，然后结合三角形外角的性质得到，求出，即可证明是的切线．
【小问1详解】
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
【小问2详解】
∵平分
∴
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∵是半径
∴是的切线．
【点睛】本题考查切线的判定，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，平行线的判定，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
22. 在矩形中，，点分别是边和边上的动点，，，连接，
（1）如图1，当的面积为3时，求的值；
（2）在（1）的条件下，求的面积；
（3）当时，求的度数；
（4）如图2，将沿直线翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值.
【答案】（1）
（2）8 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积公式代入即可求得答案；
（2）由（1）可得：，再根据，分别代入即可得到答案；
（3）当时，分别求出，，长，再分别利用勾股定理分别求出，，的长，再由勾股定理的逆定理即可得到答案；
（4）过点作，易证得，从而可求得，在中，由勾股定理可得：，即可求得求值．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
【小问2详解】
解：由（1）可得：，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
．
【小问3详解】
解：由题可得，当时，
∴，，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
在中，由勾股定理可得：，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴．
【小问4详解】
解：过点作，交于，
∵， ，，由折叠的性质可得：
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23. 定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上．
（1）如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由：
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标；
（3）抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”，
①求点的坐标；
②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标．
【答案】（1）点是直线上的点的“共圆点”，理由见解析
（2）或或
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）先求解，，再计算，，即可判断；
（2）先求解反比例函数为：，如图，结合，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得答案；
（3）①如图，求解，设，则，由点与点是抛物线上的点的“共圆点”，可得，再建立方程求解即可；
②求解平移后的抛物线为：，平移后的对应点，如图，关于轴的对称点，连接，可得，当三点共线时，，此时周长最短；再进一步求解即可．
【小问1详解】
解：如图，
当时，，当时，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴点为直线上的点的“共圆点”；
【小问2详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数为：，
如图，，
∵点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，
∴根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得：
或或，
综上：的坐标为：或或
【小问3详解】
解：①如图，
∵抛物线为，
∴对称轴为直线，此时，
∴，
设，则，
∵点与点是抛物线上的点的“共圆点”，
∴，
∴，
解得：，（舍去），，
∴；
②∵，将抛物线平移，使其顶点落在原点，
∴平移后的抛物线为：，
∴平移后的对应点，
如图，∵关于轴的对称点，连接，
∴，
当三点共线时，，
此时周长最短；
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，一次函数，反比例函数，二次函数的图象与性质，平移的性质，勾股定理的应用，圆的定义，理解题意是解本题的关键．