2025中考数学二轮复习 圆大题必刷练习（15题）

这是一份2025中考数学二轮复习 圆大题必刷练习（15题），共28页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接．

(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
(3)求证：．
2．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2=AD·AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．
3．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．
4．如图，是的外接圆，，连接，延长交于点，交于点．
(1)的度数为 度，写出图中一对全等的三角形： ；
(2)求证：；
(3)若，试求的度数．
5．如图，在中，，平分，交于点，点在上，经过，两点，交于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径是，点是弧的中点，求阴影部分的面积；（结果保留和根号）
(3)连接，交于点，在（2）的条件下，求的长．
6．如图，是的直径，弦与相交于点E，．
(1)写出图中一对你认为全等的三角形 ；
(2)求证：；
(3)若的半径为4，，求的长．
7．如图，，是上的两点，是的直径，过点的切线交的延长线于点，，连接，，．
(1)求证∶；
(2)若，，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求出的面积．
8．如图，在三角形中，，，以为直径的分别与交于点F，E，．
(1)求证：；
(2)若的半径为4，求阴影部分的面积；
(3)求证：．
9．如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：是切线；
(3)连接交于点F，若，，求的长．
10．四边形ABCD内接于，．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2．连接交于点E．
①求证：；
②若，，，求的长．
11．如图，已知，A，B是上的点，P为外一点，连接，，分别交于点C，D，．

(1)求证：；
(2)若的半径为6，，．求图中阴影部分的面积．
12．菱形的顶点B，C，D在上，O在线段上.
(1)如图1，若是的切线，求的大小；
(2)如图2，若，，与交于点E，求的长.
13．如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．

(1)求证：；
(2)P是上一点，，求；
(3)在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长．
14．如图，是的直径，弦交于点，点是劣弧的中点，连接．
(1)求证：；
(2)过点作，判断劣弧与劣弧的大小关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，，求阴影部分的面积．
15．如图，是的直径，，．连接交于D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
参考答案：
1．(1)见详解
(2)
(3)见详解
【分析】（1）连接，先根据直角三角形的性质，证明，再证明即可；
（2）由（1）中结论，得，先根据三角函数及勾股定理求出的长，再证明即可；
（3）证明即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，

在中，，
是的直径，
即，
在中，点是的中点，
，
又，
，
，
在上
是的切线．
（2）解：由（1）中结论，得，
在中，，
，
，
，
，
，
；
（3）证明：，
，
，
，
，
，
由（1）中结论，得，
，
，
即．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出是解本题的关键．
2．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).
【分析】（1）连接OC，根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根据切线的判定推出即可．
（2）证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案．
（3）求出等边三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面积，相减即可得出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA．
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠DAC．
∴OC∥AD．
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF．
∵OC为半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）证明：∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，
∴∠BCA=∠ADC=90°．
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACB∽△ADC．
∴．
∴AC2=AD•AB．
（3）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，
∴∠OCA=60°.
∵OC=OA，
∴△OAC是等边三角形．
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°．
∵在Rt△ACD中，AD=AC=1．
由勾股定理得：DC=，
∴阴影部分的面积是S=S梯形OCDA﹣S扇形OCA=×（2+1）×﹣．
3．(1)见解析
(2)见解析
(3)CE的长为2．
【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAE+∠PAE=90°，根据圆周角定理得到∠OAE+∠DAO=90°，据此即可证明∠ADE=∠PAE；
（2）由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED =60°，利用三角形外角的性质得到∠APE=∠AED-∠PAE =30°，再根据等角对等边即可证明AE=PE；
（3）证明Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，推出DC×CE=OC×PC，设CE=x，据此列方程求解即可．
【详解】（1）证明：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠PAE=90°，
∵DE为⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，即∠OAE+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠PAE，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADE，
∴∠ADE=∠PAE；
（2）证明：∵∠ADE=30°，
由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED=90°-∠ADE=60°，
∴∠APE=∠AED-∠PAE =30°，
∴∠APE=∠PAE =30°，
∴AE=PE；
（3）解：∵PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交AB于点C．
∴AB⊥PD，
∵∠DAE=90°，∠OAP=90°，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠OAC+∠PAC=90°，
∵∠DAC+∠D=90°，∠OAC+∠AOC=90°，
∴∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，
∴Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，
∴
∴AC2=DC×CE，AC2=OC×PC，
即DC×CE=OC×PC，
设CE=x，则DE=6+x，OE=3+，OC=3+-x=3-，PC=4+x，
∴6x=(3-)( 4+x)，
整理得：x2+10x-24=0，
解得：x=2(负值已舍)．
∴CE的长为2．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
4．(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了圆周角圆心角的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定及性质等知识点，灵活运用同圆中等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角为直角即可得到的度数，再利用HL即可证明出；
（2）运用同圆中相等的弧所对的圆周角相等证出和，即可得到；
（3）根据推理出，利用含角的直角三角形边的比值关系可推理出，再利用圆周角与圆心角的数量关系转角即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：为的直径，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴（HL）；
（2）解：由（1）可得：，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）连接如图所示：
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵在中， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
5．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
（1）连接，只要证明即可解决问题；
（2）连接，交于K，证明是等边三角形，然后利用求解即可；
（3）设与交于点M，利用垂径定理求出，证明，得出，利用垂径定理得出，利用三角形中位线定理求出，进而求出，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，交于K，
∵点是弧的中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（3）解：如图，设与交于点M，
由（2）知，，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
6．(1)
(2)详见解析
(3)
【分析】本题考查了圆的概念及性质的应用，垂径定理及勾股定理的应用是解题关键．
（1）由得，再证明，从而证明出；
（2）由垂径定理可得结论；
（3）根据勾股定理得出，再由垂径定理得出的长即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
故答案为：．
（2）证明：∵，
，
．
（3）解：，，
，
，
，
，
，
．
7．(1)见解析
(2)
(3)2
【分析】（1）根据切线的性质，圆周角定理证明即可；
（2）根据圆周角定理及其推论，解直角三角形，可得，可求出，再由勾股定理求解即可；
（3）根据垂径定理，得，再由勾股定理求出，再根据三角形面积公式求解即可；
【详解】（1）∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）连接，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
的半径为；
（3）如图，过点作，
，，
∴，，
在中，，
；
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理及其推论，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点，并能综合应用；
8．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）先证明是等边三角形，再求出，进而可证；
（2）连接，作于点H，证明为等边三角形得，分别求出和扇形的面积即可求解；
（3）延长到H使得，连接，证明为等边三角形得，根据证明得，进而可证结论成立．
【详解】（1）∵，，
∴是等边三角形．
∵为直径，
∴．
∵，
∴；
（2）连接，作于点H，
∵，
∴
∴为等边三角形，
，
，
∴
（3）延长到H使得，连接
∵，，
∴为等边三角形
∴，
∴
在等边中，，
∴
∴
∴
即
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，圆周角定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
9．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得结论；
（2）连接、，如图，利用圆周角定理得到，则根据斜边上的中线性质得到，所以，接着证明，从而得到，然后根据切线的判定方法得到结论；
（3）根据勾股定理求出，再利用等面积法求出，再证明为的中位线得到，然后利用相似比计算的长，最后利用勾股定理求得即可．
【详解】（1）证明：以为直径的交于点，
，
；
（2）证明：连接，如图，
为直径，
，
为的斜边的中点，
，
，
，
，
而
，
，
，
为的切线；
（3）解：在中，根据勾股定理得，
为中点，为中点，
为的中位线，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，三角形等面积法，中位线的性质，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
10．(1)
(2)①见详解②
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及圆的内接四边形的性质即可；
（2）①先证明，得，再根据即可得出结论；②设，则，先证明，再根据勾股定理求出的长，由①知，求出的长，再根据勾股定理即可．
【详解】（1）解： ，若．
四边形ABCD内接于，
；
（2）证明①，
，
，
，
，
，
，
；
②设，则，
，
在中，
，
，
，
，
，
由①知，，
【点睛】本题考查了圆的有关性质定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是本题的关键．
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，，，，作于，于，设交于．证明，推出，再证明，可得结论．
（2）过点作于．先求得，则，利用三角形的面积公式得，即可由解决问题．
【详解】（1）证明：连接，，，，，作于，于，设交于．

，
，
，，，
，，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于．

∴
，
．
【点睛】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．(1)
(2)
【分析】
（1）连接，则可得；由菱形的性质及等腰三角形的性质得，由此可求得，进而求得结果；
（2）连接，过点B作于F，过点O作于N；由菱形的性质及勾股定理可求得的长；设圆的半径的r，则在中由勾股定理可求得r的值；
由面积相等则可求得，再由勾股定理及等腰三角形的性质即可求得．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
即；
∵四边形是菱形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点B作于F，过点O作于N；
∵四边形是菱形，，
∴，
由勾股定理得；
设圆的半径的r，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴；
∵，
∴；
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，菱形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，综合运用这些性质与定理是解题的关键．
13．(1)证明见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）由D是的中点得，由垂径定理得，得到，根据同圆中，等弧对等弦即可证明；
（2）连接，证明，设的半径为r，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；
（3）过点B作交于点G，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，即可求解．
【详解】（1）解：∵D是的中点，
∴，
∵且为的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，

∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
解得，经检验，是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，过点B作交于点G，

∴
∵，是的平分线，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
14．(1)证明过程见详解
(2)，理由见详解
(3)
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，同弧或等弧所对圆周角相等，同弧或等弧所对圆周角是圆心角的一半，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，不规则图形面积的计算方法，扇形面积的计算方法等知识的综合运用是解题的关键．
（1）根据点是中点，可得，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半即可求解；
（2）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和及（1）的结论可得，根据圆周角定理可得，由此即可求解；
（3）根据含角的直角三角形的性质可求出的面积，再根据扇形面积的计算方法可求出扇形的面积，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵点是劣弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下，
如图所示，连接，设交于点，
∵，
∴，
由（1）可知，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
由（2）可得，，
∴，
如图所示，过点作于点，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
15．(1)见解析；
(2)．
【分析】
本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理；解题关键是熟练掌握切线的判定方法．
（1）先由求出，再根据三角形内角和求出，即可得出结论；
（2）先求出半径，再根据勾股定理即可求出，得出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：由（1）可知，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．