2025中考数学二轮复习 二次函数大题必刷练习（17题）

这是一份2025中考数学二轮复习 二次函数大题必刷练习（17题），共36页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．如图1是某公园喷水头喷出的水柱．如图2是其示意图，点O处有一个喷水头，距离喷水头的M处有一棵高度是的树，距离这棵树的N处有一面高的围墙（点O，M，N在同一直线上）．建立如图2所示的平面直角坐标系．已知浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．
某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：
(1)根据上述数据，求这些数据满足的函数关系式．
(2)判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由．
(3)在另一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出b所满足的关系式．
2．已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于，两点，求直线过定点的坐标．
3．“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上．
(1)求拱桥所在抛物线的解析式；
(2)求支柱的长度；
(3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由．
4．如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点在该二次函数图象的对称轴上，且，求点的坐标；
(3)若点为该二次函数图象在第四象限内的一个动点，当点运动到何处时，四边形的面积最大．
5．小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．
在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点处将球传出，其运动路线为抛物线的一部分，小亮在处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线的一部分．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设抛物线的顶点为点，在轴上找一点，求使的值最大的点的坐标；
(3)若小明在轴上方2m的高度上，且到点水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值．
6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点与点关于该抛物线的对称轴对称，顶点为点．
(1)写出二次函数的对称轴及点的坐标；
(2)当的面积为3时，求的值；
(3)如图，点，，，当抛物线与的边只有2个公共点时，求的取值范围．
7．已知二次函数（，为常数）的图象经过点，
(1)求二次函数的表达式；
(2)当时，求二次函数的最大值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的值．
8．已知二次函数．
(1)若二次函数的图象经过点，求的值；
(2)在（1）的条件下，当时，二次函数的最大值是6，求的值；
(3)已知点，，直线与轴和轴分别交于点，，若与直线有两个不同的交点．其中一个交点在线段上（包含，两个端点）．另一个交点在线段上（包含，两个端点），直接写出的取值范围．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与二次函数的图象交于点．
(1)求一次函数与二次函数的表达式；
(2)设是直线上一点，过点作轴，交二次函数的图象于点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．
10．如图，抛物线的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，该抛物线的顶点C的坐标为．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点E为该抛物线的对称轴上的一个动点，在什么情况下，的周长最小；
(3)已知上的点F 在直线的下方， 且，求点F的坐标．
11．已知二次函数．
(1)该二次函数图象的顶点坐标（用含a的式子表示）为______；抛物线与x轴的交点坐标为______；
(2)若该二次函数的图象开口向上，当时，y的最大值是4，求抛物线的解析式；
(3)已知，两点均在二次函数的图象上，若，，，求t的取值范围．
12．已知抛物线经过点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若该抛物线与y轴交于点C，求的面积；
(3)当自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，求的最小值，并求出对应的m的值．
13．排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
(3)为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？
14．已知二次函数（m为常数）．

(1)求该二次函数的对称轴（用含m的代数式表示）；
(2)若，当时，y的最小值为5．求m的值；
(3)若对满足的任意实数x，都使得成立，求此时m的取值 范围．
15．平面直角坐标系内，一次函数交于轴于点，交轴于点．点，关于点对称，抛物线过点且交一次函数与点，，点，的横坐标分别为，，抛物线的顶点为．
(1)求点坐标和抛物线的函数表达式；
(2)若，，求的取值范围；
(3)过点作轴的平行线，将抛物线上的部分向上翻折，与原函数共同构成新的函数．若一次函数与新的函数图像只有个交点，直接写出的值．
16．三个同学在研究一个二次函数（为常数且）的图象，小明说：抛物线的对称轴在轴左侧；小亮说：抛物线与轴的交点在正半轴上；小颖说：抛物线与轴没有交点．
(1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出此二次函数的草图；

(2)抛物线上有两点，，请比较，的大小；
(3)已知此抛物线始终经过一个定点，请求出此定点的坐标．
17．使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令可得，我们说是函数的零点，此时，就称为该零点所对应的点．
(1)已知二次函数，求该二次函数的零点；
(2)已知二次函数（a为常数），小兰算出该二次函数只有一个零点，你觉得对吗？请说明理由；
(3)已知是二次函数的一个零点．在x轴的下方是否存在一个点M，与该函数的顶点、两个零点所对应的点组成一个平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
x
0
2
6
10
12
14
16
y
0
参考答案：
1．(1)
(2)喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，理由见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式和函数性质的应用．
（1）由表格中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据表中数据计算时的函数值即可得到结论；
（3）根据题意可知当时，当时即可得到答案．
【详解】（1）解：根据抛物线过原点，设抛物线解析式为，
把和代入得：
，
解得 ，
∴抛物线解析式为；
（2）∵当时，
，
∴喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，
（3）∵，
∴当时，,
∴，
解得：；
∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外，
∴当时，，
即，
解得；
∴常数b的满足的关系式为：．
2．(1)
(2)
(3)恒过定点
【分析】（1）求出点坐标为，进而求出，，利用待定系数法即可求解；
（2）设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点．先求出，证明得到，再求出，，即可求出或，从而得到，即可求出；
（3）先求出抛物线的解析式为，设直线的解析式为，且，、，，根据，得到，整理得，联立，得，即可得到，，进而得到，，从而得到，求出或，当时，直线的解析式为，即直线过定点，不符合题意；当时，直线的解析式为，得到直线恒过定点．
【详解】（1）解：令，得，
，
，
，
，，
，，
将，代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点．
则，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
点的坐标为，
，
，，
，
，
解得：或，
点在第一象限，
，
，，
，；
（3）证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点的抛物线，
抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，且，、，，
点在抛物线上，，
，
，
，
整理得：，
联立，得，
，，
，
，
，
即，
或，
当时，直线的解析式为，
即直线过定点，与重合，不符合题意；
当时，直线的解析式为，
直线恒过定点．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，一元二次方程根于系数的关系等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．
3．(1)；
(2)支柱的长度是米；
(3)不能并排行驶这样的三辆汽车，见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．
（1）根据题目可知．，的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；
（2）设点的坐标为可求出支柱的长度；
（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，作垂直交抛物线于，求出则可求解．
【详解】（1）解：根据题目条件，、、的坐标分别是、、．
将、的坐标代入，得
解得，．
所以抛物线的表达式是；
（2）解：可设，于是．
从而支柱的长度是米；
（3）解：设是隔离带的宽，是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，则点坐标是，
过点作垂直交抛物线于，则，
根据抛物线的特点，可知一条行车道不能并排行驶这样的三辆汽车．
4．(1)
(2)
(3)当点运动到时，四边形的面积最大
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求距离的最大值是解答本题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设点坐标为，利用勾股定理分别求得，，然后列等式解答即可；
（3）过点作轴交于点，设，则，，当时，四边形的面积最大为4，此时．
【详解】（1）解：将，，代入，
，
解得，
；
（2），
抛物线的对称轴为直线，如图1，
设点坐标为，对称轴与轴交于点，过点作，垂足为，
，，
在和中，由勾股定理得，
，，
，
，
解得：，
点的坐标为；
（3）连接，设的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，如图2，
设，则，
，
，
当时，四边形的面积最大为4，
此时，
故当点运动到时，四边形的面积最大．
5．(1)
(2)坐标为
(3)符合条件的的整数值为7，8
【分析】（1）利用待定系数法确定函数即可得到答案；
（2）根据题意，可得直线与轴的交点就是所求的点，如图所示，求出直线的解析式，得到直线与轴的交点即可得到答案；
（3）根据题意，设接球点为点，点坐标为，如图所示，得到，将和代入，得到即可确定答案．
【详解】（1）解：点在抛物线上，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：直线与轴的交点就是所求的点，如图所示：
的顶点的坐标为，
设直线的解析式为，
，
，解得，
直线的解析式为，
当时，解得，即直线与轴的交点为，
点坐标为；
（3）解：小明在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到球，
设接球点为点，点坐标为，如图所示：
则，
把代入，得，
解得；
把代入，得，
解得；
，
符合条件的的整数值为7，8．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数、二次函数图象与性质、直线的图象与性质、解不等式等知识，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键．
6．(1)对称轴为，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是：
（1）先求出点A的坐标，把抛物线化成顶点式，得出对称轴，然后利用对称性求解即可；
（2）根据三角形面积公式求解即可；
（3）分和讨论，然后分别求出抛物线分别临界点时对应的a的值，然后数形结合即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为，顶点，
当时，，
∴，
∵A、B关于直线对称，
∴，
（2）解：∵的面积为3，，，，
∴，
解得；
（3）解：①当时，
设直线解析式为，
则，解得，
∴直线解析式为，
联立方程组，化简得，
当直线与抛物线有唯一交点时，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴点不在的图象上，
故此种情况不符合题意，舍去
把代入，得，解得，
把代入，得，解得，
代入，得，方程无解，则抛物线不会经过N，
当抛物线的顶点在上时，，解得，
∴观察图象可知：当或时，抛物线与的边只有2个公共点；
②当时，
当时，，
当时，，
∴P、M、N都在抛物线内部，
∴抛物线与的边没有交点．
综上，当或时，抛物线与的边只有2个公共点．
7．(1)；
(2)最大值为2；
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）利用待定系数法计算即可得出答案；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的性质得出当时，有最大值为2；
（3）由（2）得：抛物线的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别计算即可得出答案．
【详解】（1）解：把，代入，得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，有最大值为2；
（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大，
①当时，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
∴，
∴或（舍去）．
②当时，
当时，有最大值为，
∵的最大值与最小值之和为，
∴最小值为，
∴，
∴或（舍去）．
综上所述，或．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】）本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用二次函数的增减性进行求解即可；
（3）先求出直线的解析式，进而求出的坐标，求出抛物线经过时的值，即可得出结果．
【详解】（1）解：把点代入，得：，
解得：；
（2）由（1）知：二次函数的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵当时，二次函数的最大值是6，
∴当时：，
解得：或（舍去）；
∴；
（3）∵点，，
设直线的解析式为：，则：
，解得：，
∴，当时，，当时，，
∴，
∵，当时，，
∴抛物线必过，
当抛物线过点时，，解得：，
∴当抛物线与直线的交点在上时，；
当抛物线与线段相交时，只需考虑抛物线过线段的两个端点时即可，
当抛物线过点时，，解得：，
当抛物线过点时，，解得：，
∴．
9．(1)，
(2)点坐标为，，，
【分析】（1）由待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）求出点坐标，根据平行四边形性质，设，，由列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵过点，
∴，解得，
∴一次函数表达式为：；
∵点在上，
∴，即，
∵点在上，
∴，解得，
∴二次函数表达式为：；
（2）解：∵点在轴上，且在上，
∴，即，
如图所示：
∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
设，，则有，
或，解得或，
是直线上的点，
∴点坐标为，，，．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、直线与坐标轴交点坐标、抛物线与坐标轴交点、平行四边形性质、二次函数与平行四边形综合等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型解法是解决问题的关键．
10．(1)
(2)以为对称轴作点D的对称点，当点，E，B三点共线时周长最小
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）以为对称轴作点D的对称点，然后根据轴对称的性质即可求解；
（3）设点F为，先求出点A的坐标，再求出直线的表达式，得出，然后利用三角形的面积公式列式求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的顶点坐标为
∴设表达式为
∵图像过点，
∴，
∴，
∴表达式为；
（2）如图，以为对称轴作点D的对称点
∵，
∴，
，
即当点，E，B三点共线时周长最小
（3）设点F为，如图，
∵A，B为二次函数与x轴的交点
∴当时，有
即
．
设直线的表达式为，将点A代入
有
解得
当时，
，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，轴对称最短问题，以及二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的性质．
11．(1)；，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，函数的最值问题等知识：
（1）将函数关系式化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标，令，解方程求出x的值，可得出抛物线与x轴的交点坐标；
（2）构建方程求出a的值即可解决问题；
（3）结合函数图象，列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
令，则，
解得，，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，
故答案为：；，；
（2）解：∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，且当时，y的最大值是4，
∴当时，y的最大值为4，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：如图，
∵对称轴为直线，
∴与时的y值相等，
∵时，均满足，
∴此时，的取值范围是：，
∴，
解得，
12．(1)
(2)
(3)时，有最小值为
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，
（1）根据待定系数法求抛物线的解析式；
（2）求出点的坐标，再求的面积即可；
（3）分两种情况当时，当时讨论即可．
【详解】（1）解：已知抛物线经过点和点,
,
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）解：时，
，
，
；
（3）解：当时，
时，此函数的最大值为，
时，此函数的最小值为，
，
时，的最小值为，
当时，
时，此函数的最大值为，
时，此函数的最小值为，
，
时，的最小值为，
综上所述：
，
时，有最小值为．
13．(1)；
(2)最大高度未达到要求，理由见解析；
(3)米．
【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线表达式化为顶点式，得到顶点坐标，求出实际最大高度，即可得到答案；
（3）由（1）可知，，得到抛物线表达式为，进而得到对称轴为直线，顶点坐标为，根据最大高度的要求和对称轴，求出，再根据点的横坐标为，得到，求出的最小值即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线表达式为，且经过点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：
（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
处离地面的距离为1米，
球在运动中离地面的最大高度为，
最大高度未达到要求；
（3）解：由（1）可知，，
抛物线表达式为，
对称轴为直线，顶点坐标为，
球在运动中离地面的最大高度达到要求，
，
或，
对称轴在x轴负半轴，
，
，
点的横坐标为，
，
当时，有最小值，最小值为，
点离地面的高度至少为米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
14．(1)抛物线的对称轴为直线；
(2)；
(3)．
【分析】
（1）利用对称轴公式求解；
（2）由题意得：当时，在时，取得的最小时是5，进而求解；
（3）分类讨论，函数图像与轴有一个交点和没有交点时，的任意实数x，都使得成立；若函数图像与轴有两个交点，则需满足两交点的横坐标均不大于1，列出不等式即可求m的取值 范围．
【详解】（1）解：，
，，，
抛物线的对称轴为直线；
（2）抛物线的对称轴为直线，且，
当时，随的增大而减小，
当时，函数值取得的最小值是5，
即当时，，
解得：；
（3）①二次函数的图像开口向上，
当二次函数的图像与轴没有交点或只有1个交点时，总有成立（如图1），

此时，即，
即，
解得；
②当二次函数的图像与轴有2个交点时，
，可得或，
设此时两交点为，，
则，，
要使的任意实数，都有，需，，
即，（如图2），
且，
即
代入得
解得：，
此时，
综上，对满足的任意实数，都使得成立，则．
【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，二次函数的最值，抛物线与轴的交点，涉及二次函数的性质、解不等式、根和系数的关系等知识，解题的关键是数形结合，分类列不等式解决问题．
15．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题是一次函数与二次函数的综合，解题的关键是掌握一次函数与二次函数的性质，数形结合．
（1）由点，关于点对称，抛物线过点，且顶点为，即可求出点的坐标，进而求出点的坐标，然后利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；
（2）由可求出一次函数的解析式，联立抛物线解析式和一次函数的解析式，求出点、的坐标，再结合函数图像即可求解；
（3）根据将抛物线上的部分向上翻折，点与点重合时，一次函数与新的函数图像只有个交点，即可求解．
【详解】（1）解：点，关于点对称，抛物线过点，且顶点为，
点在对称轴直线上，
，
，
将，代入，
得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为：；
（2），
，
联立，
解得：或，
即，，
点，的横坐标分别为，，，
，
结合图像可知，的取值范围是：；
（3）如图，将抛物线上的部分向上翻折，点与点重合时，一次函数与新的函数图像只有个交点，
，，
．
16．(1)见解析
(2)
(3)该定点的坐标为
【分析】（1）根据题意画出草图即可；
（2）根据题意得出对称轴，再由二次函数的性质求解即可；
（3）将函数解析式化简，得出当时，抛物线始终经过一个定点，求解即可．
【详解】（1）解：所画草图如下：（答案不唯一）

（2）解：在这里，，，，
由题知，即，
∵抛物线的对称轴为直线，
又∵，抛物线开口向上，
∴当时，随增大而减小．
∵已知点，中，，
∴．
（3）解：由得，
∵抛物线始终经过一个定点，即与的变化无关，
∴当时，抛物线始终经过一个定点．
解方程得．
把代入得，
∴该定点的坐标为．
【点睛】题目主要考查二次函数的图象和性质，理解题意，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
17．(1)和
(2)错误，见解析
(3)存在；或
【分析】（1）令，则，即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）求出这两个零点对应的点的坐标为：、，当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，可解．
【详解】（1）解：令，则，
即函数的零点为：和；
（2）解：小兰计算错误，应该有两个零点，理由：
令，
则，
则方程有两个不相等的实数根，即二次函数有2个零点，
∴小兰计算错误；
（3）解：存在，理由：
当时，，
则，
则抛物线的表达式为：，
令，则或，
则这两个零点对应的点的坐标为：、，
设这两个零点对应的点为点P、点Q；
设抛物线的顶点为点N，由抛物线的表达式知，点，
设点M的坐标为：，，
当为对角线时，由中点坐标公式得：
，
解得：，
即点M的坐标为：（舍去）；
当或为对角线时，同理可得：
或，
解得：或，
即点M的坐标为：或；
综上，点M的坐标为：或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、新定义等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．