新高考数学一轮复习考点分类提升 第37讲 空间中的距离问题（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.等体积法求点面距离
若三棱锥中，的面积及其对应的高与的面积可以求得，则点到面的距离满足，解方程可得.
2.空间距离的向量表示
(1)点到直线的距离
已知向量是直线l的单位方向向量，A是直线l上的定点，则向量在向量上的投影向量为，所以点P到直线l的距离为.
(2)点到平面的距离
已知平面α的一个法向量为，A是平面α内的点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此点P到平面α的距离为.
考点一：等体积法求点面距离
例1．在三棱锥P—ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，AP=AC=2，AB=1，
(1)求三棱锥P—ABC的侧面积；
(2)求点A到平面PBC的距离.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）分别计算三个侧面的面积即可；
（2）利用等积法即可得到点A到平面PBC的距离.
（1）∵PA⊥面ABC，
∴PA⊥AB ，PA⊥AC，又AB⊥AC，
∴均为直角三角形，
又AP=AC=2，AB=1，
∴
∴为等腰三角形，
∴，，
，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
设点A到平面PBC的距离为，
则，
∴
即点A到平面PBC的距离.
考点二：向量法求空间距离
例2．如图，正方体的棱长为2，点为的中点．
(1)求点到平面的距离为；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可；
（2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可.
【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，
所以平面所的法向量为，又
所以点到平面的距离.
（2）由（1）可得平面的法向量为，
∵，∴，
，
，
∴平面，
所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离，
由，
所以到平面的距离为.
1．（2021·陕西西安·统考二模）如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是棱长为2的菱形，平面 平面，是的中点，.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)连结，判断 为等边三角形，证明，根据面面垂直的性质判断得到平面.
(2)等体积法转化求解.
【详解】（1）
证明：连结，
∵底面是菱形，，∴为等边三角形，
又是的中点，∴，
∵平面 平面，平面 平面，平面，
∴平面.
（2）设点到平面的距离为，易知，
在中，，，∴，
由，得，解得,
点到平面的距离为.
2．（2023·陕西商洛·统考二模）如图，在直三棱柱中，D是AC的中点．
(1)证明：∥平面．
(2)若，求点A到平面的距离．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）连接交于点E，得到E是的中点，连接DE，得到，进而结论得证；
（2）先根据题意求得，再利用等体积法计算即可得到点A到平面的距离．
【详解】（1）连接交于点E，则E是的中点，
连接DE，又D是AC的中点，所以．
又平面，且平面，所以平面．
（2）因为D为等腰直角斜边AC的中点，
所以，，
所以，
又，，，
所以，所以，
易证平面，所以，
因为，所以，
设点A到平面的距离为d，所以三棱锥的体积，
又，得，解得．
3．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）在四棱锥中，四边形ABCD为等腰梯形，，，，．
(1)证明：平面平面PBC．
(2)若，，求点D到平面PBC的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据勾股定理及线面垂直的判定定理可得平面PBC，然后根据面面垂直的判定定理即得；
（2）根据面面垂直的性质定理结合条件可得三棱锥的体积，然后根据等积法即得.
【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，，，，
过点C作于E，则，，，
所以，
则，所以．
又，，BC，平面PBC，
所以平面PBC，又平面ABCD，
所以平面平面PBC；
（2）连接BD，由（1）知平面平面PBC，因为，平面平面，平面，
所以平面BCD．
又，所以，
所以三棱锥的体积．
在中，因为，所以．
设点D到平面PBC的距离为d，所以三棱锥的体积．
由，得，
解得．
4．（2023·广西南宁·统考二模）如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，平面平面，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求到平面的距离
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接和，通过证明，即可证明结论；
（2）连接，取中点，连接.通过证明面，面，可得，，后由等体积法可得答案.
【详解】（1）证明：取中点，连接和.
∵为中点，∴且.
∵且，
∴且.
∴四边形为平行四边形，则.
∵面，面，∴面.
（2）连接，取中点，连接.
则等边中，，.
∵面面，面面，
面，∴面，∴.
∵，面，面，，
∴面，，.
∴
因直角梯形中，连接，则，，
∴
∴，，，
∴
∴
设到面的距离为，则，解得.即到面的距离为.
5．（2023·江西吉安·统考一模）在底面为矩形的四棱锥中，底面，M为边上的动点，的最大值为.
(1)求；
(2)当取最大值时，求点M到平面的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据求出表达式，再根据的最大值为可得的最小值为，由此即可得解；
（2）先根据线面垂直的性质可得，再证明平面，可得，再利用等体积法求解即可.
【详解】（1）设，
则
，
∵的最大值为，
∴当时，取得最小值0，即，
故，即；
（2）由（1）得，当取最大值时，M为中点，
因为底面，面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
，
设M到平面的距离为d，
，
由，得，解得，
即M到平面的距离为.
6．如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点.
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）如图建立空间直角坐标系．
因为正方体的棱长为，是的中点，
所以，
由可得，
设平面的法向量为，
则，令，则，，所以，
因为，设点到平面的距离为，
则，故点到平面的距离为；
（2）由（1）可得平面的法向量为，
显然平面的法向量可以为，
设平面与平面夹角为，所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
7．如图，在三棱锥中，平面平面，O为的中点，是边长为1的等边三角形，点E在棱上，．
(1)证明：；
(2)当时，求点E到直线的距离；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由平面平面，证得平面，进而证得；
（2）取的中点，过作与交于点，可得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求出，可得，点到直线的距离为，计算即可；
【详解】（1）因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
，，，
又，
所以，则，
所以点到直线的距离为；
8．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆O的直径AB长为8，点C是圆上一点，，点D是劣弧AC上的一点，平面平面，且．
(1)证明：．
(2)当三棱锥的体积为时，求点O到平面PCD的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由及线面平行的判定定理可得平面PCD，根据线面平行的性质可得.根据可得，
由线面垂直的性质可得，故根据线面垂直的判断定理可得平面POD，从而可证明；
（2）根据三棱锥的体积可求，以为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，求出及平面PCD的一个法向量，根据即可求解.
【详解】（1）因为，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.
因为平面ABCD，且平面平面，所以.
因为，所以，
所以，即.
因为平面ABCD，平面ABCD，所以.
因为，平面POD，
所以平面POD, 因为平面POD，所以.
（2）因为，所以.
如图，以为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，.
设平面PCD的法向量为，
则，令，得.
因为点O到平面PCD的距离，所以点O到平面PCD的距离.
9．（2023·北京朝阳·统考一模）如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．
(1)求证：平面BDE；
(2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
(3)求点D到平面ABE的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）利用空间向量的方法求线面角即可；
（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.
【详解】（1）在三棱柱中，，为，的中点，∴，
∵平面，∴平面，
∵平面，∴，
在三角形中，，为中点，∴，
∵，平面，∴平面.
（2）
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
在直角三角形中，，，∴，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
所以.
（3）设点到平面的距离为，所以.
10．如图，已知四棱锥中，是直角梯形，，平面，.
(1)求点到平面的距离；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案；
（2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可.
【详解】（1）∵平面平面
∴，
又 两两互相垂直，
则以点为坐标原点，分别为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，

设平面的一个法向量
即
令，可得 ，
，
记点到平面的距离为，
则，
所以点到平面的距离为4.
（2）由 ( 1 ) 可知平面的一个法向量为
平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
由图可知 ，
，
所以二面角的余弦值为.
11．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点.
(1)求证：平面⊥平面；
(2)若二面角为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直得到，再由得到线面垂直，面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，设，根据二面角的大小求出，利用空间向量求解点到平面的距离.
【详解】（1）底面，平面，
，
又，平面，，
平面，
又平面，
平面⊥平面.
（2）底面，平面，
，
因为，
故以为正交基底，建立空间直角坐标系，设
则，
设平面的法向量为，
由于，
令，得：，
故取，
取平面的法向量为，
则，解得：，
故，
故点到平面的距离.考点一
等体积法求点面距离
考点二
向量法求空间距离