新高考数学一轮复习考点分类提升 第40讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.直线与圆的位置关系
设直线，圆，
为圆心到直线的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.
2.圆与圆的位置关系
设圆，圆.
3.圆的弦长公式：，其中为弦长，为圆的半径，圆心到直线的距离.
4.常用结论：
(1)当两圆相交(切)时，两圆方程(项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在直线的方程.
(2)过圆上一点的圆的切线方程为.
(3)过圆上一点的圆的切线方程为.
(4)过圆外一点作圆的两条切线，两切点所在直线的方程为.
考点一：几何法求弦长
例1．（2022·全国·模拟预测）直线被圆截得的弦长为2，则半径（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据弦心距、半径和弦长的关系求解即可.
【详解】圆心到直线的距离，所以．
故选：D
例2．（2023·云南·统考二模）若直线与圆交于A、B两点，则（ ）
A．B．12C．D．
【答案】C
【分析】由圆的方程可得圆心为，半径，可求得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可得.
【详解】由圆的方程为可知圆心为，半径；
则圆心到直线的距离，
根据圆的弦长公式可得.
故选：C
考点二：直线与圆相切问题
例3．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆：的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断点在圆上，再求出，即可得到切线的斜率，最后利用点斜式计算可得.
【详解】圆：，即，圆心为，半径，
又，所以点在圆上，且，
所以切线的斜率，所以切线方程为，即.
故选：C
例4．（2023·吉林延边·统考二模）经过向圆作切线，切线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】（1）当切线的斜率不存在时，直线是圆的切线；
（2）当切线斜率存在时，设切线方程为，
由到切线距离为得，
此时切线方程为即.
故选：C
例5．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知直线l：与x轴和y轴分别交于两点，点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当最大时，的面积为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】作图分析，可知当最大时，直线为圆的切线，由此求得，根据三角形面积公式，可得答案.
【详解】如图示，,点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，
,
当最大时，直线为圆的切线，则,
此时,
故的面积为，
故选：C
考点三：两圆位置关系问题
例6．（2023·广东潮州·统考二模）已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内
B．若圆与圆恰有三条公切线，则
C．直线与圆相离
D．圆关于对称
【答案】B
【分析】由点与圆的位置关系判断A；由两圆外切，结合圆与圆的位置关系判断B；由距离公式判断C；由圆心不在直线上判断D.
【详解】圆可化为，圆心为，半径为.
对于A：因为，所以点在圆外，故A错误；
对于B：若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，
圆可化为，圆心为，
半径为，因为，所以，
解得，故B正确；
对于C：到直线的距离为，则直线
与圆相切，故C错误；
对于D：显然圆心不在直线上，则圆不关于
对称，故D错误；
故选：B
例7．（2023·山东济宁·统考二模）在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出以、为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程．
【详解】圆的圆心为，半径为2，
以、为直径,则的中点坐标为，，
以为圆心，为直径的圆的方程为，
因为过点圆的两条切线切点分别为A，B，
所以是两圆的公共弦，
将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为：.
故选：A．
一、单选题
1．（2023·西藏拉萨·统考一模）过点作斜率不为的直线与圆：交于，两点，若，则直线的斜率（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过弦长公式求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式得直线斜率.
【详解】由题意，知直线的方程为，即.
因为圆的圆心坐标为，半径，
所以圆心到直线的距离.
又，
所以，即，
解得（舍去）或.
故选:D.
2．已知圆，直线与交于两点，则当最小时，实数的值是（ ）
A．2B．-2C．D．
【答案】C
【分析】由直线方程得直线所过定点坐标，由几何性质知当与直线垂直时，弦长最小，由斜率关系可得．
【详解】直线方程为知直线过定点，
圆标准方程为，圆心为，半径为5，
，在圆内部，
因此当直线与垂直时，最小，
，∴，．
故选：C．
3．已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用已知弦长先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线L垂直的直线的方程.
【详解】由题意，设所求的直线方程为，并设圆心坐标为，
则由题意知： 解得或，
又因为圆心在轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为，
∵圆心在所求的直线上，所以有，即，
故所求的直线方程为．
故选∶A．
4．随着我县“三河六岸”工程主要设施的陆续建成，我县的城市生态功能得到恢复，城市景观风貌持续改善，居民的幸福感不断提升.该工程中的某圆拱的跨度是96m，拱高是16m，则该圆拱所在圆的半径是（ ）
A．64mB．80mC．100mD．40m
【答案】B
【分析】将实际问题转化出来，利用数形结合解决即可
【详解】如图：
设圆拱所在圆的半径为，圆拱的跨度m，
拱高是m，则在直角中有：
即
解得：
故选：B.
5．（2023·广东梅州·统考二模）若直线l：将圆C：分成弧长之比为2：1的两部分，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令直线与圆交于点，根据已知求出，进而求出点到直线的距离作答.
【详解】令直线与圆交于点，依题意，，而圆的圆心，半径，
，因此点到直线的距离，于是，
整理得，所以直线的斜率.
故选：D
6．（2023·天津南开·统考一模）已知直线与圆相交于两点，则的长度可能为（ ）
A．6B．7C．12D．14
【答案】B
【分析】由直线过定点可知圆心到直线的最大距离，从而可判定相交弦的最小长度，而最大长度为直径，可得结果.
【详解】由条件可知：直线过定点，圆心为，半径，
如下图所示，则圆心到该直线的最大距离，而当该直线过圆心时，圆心到该直线的距离最小为0；
由弦长公式可得：.
故选：B
7．过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】讨论直线斜率，由相切关系及点线距离公式求斜率，进而写出切线方程.
【详解】由圆心为，半径为，
斜率存在时，设切线为，则，可得，
所以，即，
斜率不存在时，显然不与圆相切；
综上，切线方程为.
故选：C
8．已知圆，直线l过点且与圆C相切，若直线l与两坐标轴交点分别为M､N，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】由点在圆上，所以点为切点，利用圆的切线和圆心于切点的连线垂直，可求得斜率，利用点斜式即可求得切线方程，再求点的坐标，利用两点间距离公式即可得解.
【详解】解：由圆，得圆心，半径，
又因为为切点，所以，所以直线的斜率为，
所以，即直线，则令，则，
故选：C.
9．若直线与曲线和圆都相切，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设切线方程，利用判别式法解决直线与曲线相切问题，再根据点到直线距离解决与圆相切问题，进而得解.
【详解】由已知得直线的斜率存在，
设直线：，
联立方程，即，
故，
故圆心到直线的距离，
解得，
故切线方程为，或，
所以A选项正确；
故选：A.
10．过圆上的动点作圆的两条切线，则连接两切点线段的长为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，确定动点和两个切点为顶点的三角形形状，求出切线长即可作答.
【详解】令点P是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，
则，而，于是，又，
因此为正三角形，，
所以连接两切点线段的长为.
故选：D
11．过点向圆作切线，则切线长为（ ）
A．B．5C．D．24
【答案】A
【分析】利用两点距离公式与勾股定理即可求得切线长.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
作出图形，连接，易知，
因为到的距离为，
所以切线长为.
故选：A.
12．已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用点线距离公式算得圆心到直线的距离，从而利用弦长公式求得，再利用圆上动点到直线的距离的最值求法求得点P到直线的最大距离，由此可求得面积的最大值.
【详解】因为圆，所以圆心为，半径为，如图，
所以圆心到直线的距离，
则，
又点P到直线的距离的最大值为，
所以面积的最大值．
故选：A.
.
13．过圆与圆交点的直线方程为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】联立两圆方程求出交点坐标，再根据两点式求出直线方程，化为一般式可得解.
【详解】联立，解得或，
所以圆与圆交点为和，
所以过两圆交点的直线方程为，即.
故选：C
14．（2023·河南·统考二模）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将两圆方程相减得到直线的方程为，然后再根据公共弦的长为即可求解.
【详解】将两圆方程相减可得直线的方程为，
即，
因为圆的圆心为，半径为，且公共弦的长为，
则到直线的距离为，
所以，解得，
所以直线的方程为，
故选：D.
15．圆与圆的公共弦长为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】根据两圆方程确定公共弦直线方程，再根据直线与圆相交弦公式即可得公共弦长.
【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径，
所以，易知两圆相交，
两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为：即，
则圆心到直线的距离，
故公共弦长为.
故选：C.
16．已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.
【详解】圆可化为，圆心为，半径为，
圆可化为，圆心为，半径为，
又与有且仅有一条公切线，
所以两圆内切，
因此，即，
解得，
故选：C
17．两个圆：与圆：的公切线有且仅有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【分析】先判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数.
【详解】圆：的圆心，半径，
圆：，即，
圆心为，半径为，
则，
故两圆相交，有2条公切线.
故选：B
二、填空题
18．过点且与圆：相切的直线方程为__________
【答案】或
【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解．
【详解】解：将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意；
当过点的直线斜率存在时，
可设直线方程为，即，
利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，
即此直线方程为，
故答案为：或 ．
19．过点作圆的一条切线，切点为，则___________.
【答案】
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长可求得结果.
【详解】由圆的方程知：圆心，半径，
，.
故答案为：.
20．已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.则四边形面积的最小值为___________.
【答案】8
【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可.
【详解】由圆得，
因为四边形的面积，
在中，
要使四边形的面积最小，只需要最小即可，
此时，所以，
所以，，
故答案为：8
21．（2023·全国·校联考三模）已知圆与圆的公共弦经过点M，则__________．
【答案】##8.5
【分析】根据两圆的方程可得公共弦方程，然后根据点M在直线上即得.
【详解】因为圆的圆心，圆，
所以两圆的公共弦所在的直线的方程为，即，
所以，所以．
故答案为；.相离
相切
相交
图形
方程观点
几何观点
方法
位置关系
几何法：圆心距与的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
无解
外切
一组实数解
相交
两组不同的实数解
内切
一组实数解
内含
无解
考点一
几何法求弦长
考点二
直线与圆相切问题
考点三
两圆位置关系问题