新高考数学一轮复习考点分类提升 第42讲 双曲线（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.双曲线的标准方程和几何性质
3.常用结论
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
(2)与双曲线有共同渐近线的方程可表示为．
(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
考点一：待定系数法求双曲线方程
例1．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为______.
【答案】/
【分析】根据题意结合双曲线的几何性质得到，再解方程即可.
【详解】因为双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，
所以，解得.
故答案为：
例2．（2023·甘肃定西·统考一模）已知双曲线的右焦点为，过和两点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由双曲线方程可得其渐近线为，再求得直线的斜率，由垂直可求得，再由焦点坐标得，从而求得，即可得双曲线的方程.
【详解】因为双曲线，所以它的渐近线为，
又因为，所以直线的斜率为，
因为直线与双曲线的一条渐近线垂直，所以，故，
又因为双曲线的右焦点为，所以，故，
所以该双曲线的方程为.
故选：C.
考点二：相同渐近线双曲线方程的求法
例3．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据共渐近线双曲线系的形式可假设双曲线方程为，代入点的坐标即可求得结果.
【详解】根据渐近线方程可设双曲线方程为：，
双曲线过点，，
双曲线的标准方程为：.
故选：A.
考点三：直接法解决离心率问题
例4．如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点若，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的定义及线段的关系建立方程，解出再利用双曲线离心率公式计算即可
【详解】因为，，，
所以，所以．
由双曲线的定义得：，
所以，
所以
在中，
所以．
故双曲线的离心率为.
故选：D.
考点四：构造齐次方程法求离心率的值或范围
例5．（2023·山东菏泽·统考二模）设、分别为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且为等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定，结合圆的切线性质及双曲线定义列式计算作答.
【详解】因为直线与圆切于点E，则，而为等腰三角形，
必有，E为的中点，而O为中点，于是，有，
且，令双曲线焦距为2c，由，
得，即，有，
所以双曲线的离心率.
故选：A
考点五：渐近线问题
例6．2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线分别与双曲线的渐近线平行，与渐近线的交点记为，若 为等边三角形，且面积为，则（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】C
【分析】作图，分析几何关系得到四边形OABF是菱形，利用条件即可求出 .
【详解】
由题意作上图，显然四边形 是平行四边形，又 是等边三角形， 是菱形，
由于 ， 的AB边上的高 ，即 ，
的方程为： ，A在上， ， ；
故选：C.
例7．（2023·河南开封·统考三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，则双曲线的渐近线方程式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义与性质计算即可.
【详解】由题意可得，故由题意可得，
渐近线方程为.
故选：D
一、单选题
1．（2023·重庆·统考二模）复平面内复数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数模的几何意义得出对应点的轨迹，设，即可计算的最小值．
【详解】因为，
所以点是以，为焦点，半实轴长为1的双曲线，则，
所以点的轨迹方程为，
设，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
故选：B．
2．（2023·宁夏中卫·统考一模）已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（ ）
A．－8B．8C．10D．－10
【答案】A
【分析】先由双曲线的方程求出其实半轴长，然后利用双曲线的定义可求得答案.
【详解】设双曲线的实半轴长为，
则，所以，
因为双曲线C的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，
所以，
故选：A
3．（2023·河南郑州·统考一模）已知双曲线的左右焦点分别为为右半支上一点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．4C．6D．9
【答案】A
【分析】根据数量积的定义可得，结合双曲线的定义可得，进而求解，由余弦定理即可求解.
【详解】可得.
又，两式联立可得，
，整理可得，
.
故选：.
4．（2023·四川达州·统考二模）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（ ）
A．5B．6C．8D．12
【答案】C
【分析】由双曲线的定义知，，则，即可得出答案.
【详解】双曲线C：，则，，
由双曲线的定义知：，，
，
所以
.
故选：C.
5．（2023·四川成都·统考二模）设，分别是双曲线的左、右焦点．为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义及标准方程，得到，，结合勾股定理表示出和 的关系即可.
【详解】利用双曲线的定义及标准方程，得到,
又，
因为，所以；故，即
故答案为：
6．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由两圆相切分析可知，符合双曲线的定义，可得，，根据双曲线中a，b，c的关系，即可求出动圆圆心的轨迹方程.
【详解】解：已知圆：圆心，半径为4，
动圆圆心为，半径为，
当两圆外切时：，所以；
当两圆内切时：，所以；
即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，
所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，
，
所以动圆圆心的轨迹方程为：，
故选：C.
7．（2023·广西玉林·统考二模）若双曲线C：的焦距大于6，C上一点到两焦点的距离之差的绝对值为d，则d的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的方程求出焦距，再由双曲线的定义求解.
【详解】因为双曲线C：，
所以，
由题意可知，则，
由双曲线的定义知，.
故选：A
8．（2023·河南开封·统考二模）已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线C的焦距为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，根据圆与双曲线的渐近线相切，得到圆心到直线的距离等于半径，列出相应的等量关系式，从而求得，进一步求得双曲线的焦距.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
根据圆的圆心到切线的距离等于半径，可得，解得，
从而求得双曲线的方程为，所以，即，故此双曲线的焦距为，
故选：D
9．（2023·陕西榆林·统考三模）实轴在轴上的双曲线的离心率为，则该双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求得，得到渐近线的斜率为，即，结合三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】由题意知，可得，
因为实轴在轴上，所以双曲线渐近线的斜率为，
设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，
因为，所以.
故选：A.
10．（2023·天津河东·一模）已知双曲线的实轴为4，抛物线的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出，，将代入双曲线和抛物线，求出，，进而求出渐近线方程.
【详解】由题意得，，故双曲线左顶点坐标为，
抛物线的准线为，故，解得，
点为抛物线与双曲线的一个交点，故，，
即，解得，解得，
故双曲线的渐近线方程为.
故选：A
11．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）双曲线的左右焦点分别为，，过作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于点，若轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由列出方程，得到，求出离心率.
【详解】由题意得，
中，令得，解得，
故，
因为，所以，结合可得，
方程两边同时除以得，，
解得，负值舍去，故离心率为.
故选：D
12．（2023·湖南常德·二模）某人同时掷两颗骰子，得到点数分别为，，则焦点在轴上的椭圆的离心率的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的离心率，有，解得，再利用列举法和古典概型概率计算公式，求得相应的概率.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，
而，解得，
投掷骰子得到点数共有种，
其中满足的有：
共种，
所以所求概率为.
故选：C.
13．已知焦点在轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】由题意求出双曲线的一条渐近线的倾斜角，可得渐近线的斜率，根据离心率的计算公式可得答案.
【详解】由题意设一条渐近线的倾斜角为，
则另一条渐近线的倾斜角为，由双曲对称性可得，
则一条渐近线的斜率为，
设双曲线的长半轴长为a，短半轴长为b，则，
故离心率为，
故选：A
14．（2023·新疆阿勒泰·统考一模）设分别为双曲线的左､右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义，结合解方程组、双曲线的离心率公式进行求解即可,
【详解】由双曲线的对称性，不妨设在右支，
则有，而，
代入
，或舍去，
由，或舍去，
故选：C
二、填空题
15．（2023·上海普陀·统考二模）设为双曲线:左、右焦点，且的离心率为，若点M在的右支上，直线与的左支相交于点N，且，则______．
【答案】
【分析】根据双曲线的离心率公式求出，再根据双曲线的定义即可得解.
【详解】由的离心率为，
得，解得，
由点M在的右支上，得，
又因，
所以，即.
故答案为：.
16．（2023·河北唐山·统考二模）已知直线：过双曲线：的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的实轴长为______．
【答案】2
【分析】求出直线与轴的交点坐标和斜率，然后列方程组求得得实轴长．
【详解】直线与轴交点为，斜率为，
由题意，解得，
所以双曲线的实轴长为．
故答案为：2.
17．（2023·陕西渭南·统考一模）已知双曲线的焦距为4，焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为______
【答案】
【分析】由双曲线对称性得一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨设渐近线为，由点线距离及的关系可得方程组求解.
【详解】由双曲线对称性得，一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨取渐近线为，即，焦点为，
则焦点到渐近线的距离，
由焦距为4得，故，
故C的渐近线方程为.
故答案为：.
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线与双曲线有公共焦点，抛物线Ｍ与双曲线交于，两点，，，三点共线，则双曲线的离心率为______．
【答案】
【分析】由抛物线和双曲线的对称性可以确定两点关于轴对称，从而得到点的坐标，结合点既在抛物线又在双曲线上，可建立的关系，从而求出离心率.
【详解】解：由抛物线和双曲线的对称性可知，两点关于轴对称，且，
因为，所以，代入双曲线方程有，
所以，
即，解得．
故答案为：.
19．（2023·北京海淀·统考二模）已知双曲线C经过点，渐近线方程为，则C的标准方程为___________．
【答案】
【分析】由已知可设C的标准方程为，由已知，解出双曲线的渐近线方程为，结合已知，即可得出答案.
【详解】由已知可得，双曲线的焦点位于轴上， 设C的标准方程为.
因为双曲线C经过点，所以，
则双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，C的标准方程为.
故答案为：.
20．若双曲线C的一条渐近线经过点，且焦点到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为______．
【答案】或
【分析】根据题意分焦点在轴与焦点在轴分别讨论，结合双曲线的渐近线方程，代入计算即可得到结果.
【详解】双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为（，），∴该双曲线的渐近线方程为，又∵一条渐近线经过点，∴，得．由焦点到该渐近线的距离为2，可得，得，则双曲线的方程为；
当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为（，），∴该双曲线的渐近线方程为，又∵一条渐近线经过点，∴，得，由焦点到该渐近线的距离为2，可得，得，则双曲线的方程为．
故答案为:或．标准方程
图形
性
质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:坐标轴 对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
离心率
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a,线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a,b,c的关系
c2=a2+b2
考点一
待定系数法求双曲线方程
考点二
相同渐近线双曲线方程的求法
考点三
直接法解决离心率问题
考点四
构造齐次方程法求离心率的值或范围
考点五
渐近线问题