新高考数学一轮复习考点分类提升 第38讲 直线的方程（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为.
2.直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=tanα.倾斜角是的直线没有斜率.
(2)过两点的直线的斜率公式：
经过两点的直线的斜率公式为.
3.直线方程的几种形式
4.直线平行与垂直的结论：
(1)斜率存在的两条直线平行与垂直
若，
则；；与重合．
(2)直线的一般式方程中的平行与垂直条件
若直线(其中不同时为0，不同时为0)，
则且；．
5.三种距离
6.直线过定点问题
含有参数的直线方程，可以将参数作为公因式提取出来，再令其系数为0，即可求得直线的定点.
7.常用结论
(1)与直线平行的直线系方程是且.
(2)与直线垂直的直线系方程是.
考点一：直接法求直线方程
例1．若直线过点且倾斜角为45°，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由倾斜角求出斜率，写出直线方程的点斜式，然后化为一般式.
【详解】直线倾斜角为45°，则斜率为，又直线过点，
则直线的方程为，即.
故选：C.
例2．以为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据两直线垂直的斜率关系以及点斜式方程求解即可.
【详解】的中点为，
，所以中垂线的斜率为,
由点斜式可得整理得，
故选:A.
考点二：待定系数法求直线方程
例3．过点且平行于直线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先设出平行于直线的直线系方程，再将点代入方程，进而求得所求直线的方程.
【详解】平行于直线的直线方程可设为
又所求直线过点
则，解之得，
则所求直线为
故选：A
考点三：求解直线的定点
例4．不论取任何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】整理直线方程，根据直线过定点的求法直接求解即可.
【详解】直线方程可整理为：，
则由得：，即直线恒过定点.
故选：B.
考点四：已知两直线位置关系求参数值或范围
例5．已知直线，且，则实数a的值为（ ）
A．5B．1C．5或D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答.
【详解】直线，，由解得或，
当时，直线与重合，不符合题意，
当时，直线与平行，
所以实数a的值为.
故选：D
一、单选题
1．已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正切二倍角公式，斜截式方程求解即可.
【详解】解：∵直线：的倾斜角为，斜率为，∴，
∵直线的倾斜角为，∴斜率为，
∴的方程为，即.
故选：B．
2．过点作直线，若点、到它的距离相等，则直线的方程为（ ）
A．或B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：①；②直线过线段的中点.求出两种情况下直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】分以下两种情况讨论：
①若，则直线的斜率为，
此时，直线的方程为，即；
②若直线过线段的中点，则直线的斜率为，
此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
故选：C.
3．已知直线l与直线：，：的夹角相等，且直线l过点，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【分析】设直线l斜率为有整理求值，应用点斜式写出直线方程即可.
【详解】由题设，、的斜率分别为、，若直线l斜率为，
所以，整理得，可得或，
又直线l过点，则或，即或.
故选：D
4．过点，且与原点距离最大的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意确定当直线垂直于点与原点的连线时，满足条件，由此求出答案.
【详解】原点设为O，直线OP的斜率为 ，
当过点的直线垂直于点与原点O的连线时，该直线与原点距离最大，
此时直线方程 ,即，
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）把直线绕原点逆时针旋转，再向左平移1个单位，所得的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由旋转角度求旋转后的直线方程，再由平移方向和距离求平移后的方程.
【详解】直线绕原点逆时针旋转，直线仍然过原点，斜率变为，直线方程为，
再向左平移1个单位，所得的直线方程为，即.
故选：B
6．若直线过点且被圆截得的弦长为6，则满足条件的直线的方程为（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】B
【分析】考虑直线的斜率是否存在，斜率存在时，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，列出方程，即可求得答案.
【详解】由题意圆的圆心为原点，半径为，
当直线的斜率不存在时，直线与圆相交于两点，
所以弦长为6，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
圆心到直线的距离，由可得，即，
所以，则直线的方程为即，
故满足条件的直线的方程为或，
故选：.
7．（2023·全国·高三专题练习）直线l过点与圆C：交于两点且，则直线l的方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，考虑直线的斜率是否存在，分类讨论，结合弦长和点到直线的距离公式，即可求得答案.
【详解】将圆C：的方程化为 ，
则圆心C的坐标为，半径为2.
当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为时，代入圆的方程得 ，
解得 ，此时，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，
由，得圆心C到直线l的距离为 ，
故，解得，故此时直线的方程为 ，即，
综上可得，直线l的方程为 或，
故选：D.
8．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据给定条件，按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解作答.
【详解】依题意，直线过原点时，直线方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为，
所以所求直线方程为或.
故选：C
9．过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设垂直于直线的直线为，代入点得的值，即得解.
【详解】设垂直于直线的直线为，
代入点得，
则所求直线为.
故选：A.
10．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.
【详解】由题意设所求方程为，
因为直线经过点，
所以，即，所以所求直线为.
故选：A.
11．设，则直线：与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交或相切D．相交
【答案】C
【分析】求出直线恒过的定点，根据定点与圆的关系可得答案.
【详解】因为，所以，即直线恒过定点；
因为点恰在上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切.
故选：C.
12．过定点M的直线与过定点N的直线交于点A（A与M，N不重合），则面积的最大值为（ ）
A．B．C．8D．16
【答案】C
【分析】根据题意分析可得点A在以为直径的圆上，结合圆的性质求面积的最大值.
【详解】对于直线，即，
可得直线过定点，
对于直线，即，
可得直线过定点，
∵，则直线与直线垂直，即，
∴点A在以为直径的圆上，且，
由圆的性质可知：面积的最大值为.
故选：C.
13．已知点，，若直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出直线的定点，再结合图象利用斜率公式计算求解即可.
【详解】由直线，
变形可得，
由，解得，
可得直线恒过定点，
则，，
若直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为.
故选：A.
14．直线：经过第一象限的充要条件是（ ）
A．B．或C．D．
【答案】B
【分析】先确定所过的定点，再根据直线的斜率确定即可.
【详解】由题意，即，故当，即时恒成立，故过，故若直线经过第一象限，则直线的斜率大于0即可，即，即，解得或.
故选：B
15．（2023·安徽黄山·统考二模）“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两直线平行求出参数a，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】∵直线和直线平行，
∴，解得或，
当，两直线分别为，两直线平行，符合题意；
当，两直线分别为，即为，
两直线重合，不符合题意；
综上所述：.
故“”是“直线和直线平行”的充要条件.
故选：C.
16．已知直线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．-1D．1
【答案】A
【分析】根据，则运算求解.
【详解】由题意可得：直线的斜率，直线的斜率，
若直线与直线垂直，则，解得.
故选：A.
17．（2023·上海黄浦·统考二模）若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两条直线垂直的条件列出等量关系式，求得的值.
【详解】直线与直线垂直，
则，解得，
故选：B.
18．若直线与互相垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由两直线垂直可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为，则，解得.
故选；A.
19．直线 与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值为（ ）
A．1B．3C．－1D．－3
【答案】C
【分析】根据两直线垂直，列出关于a的方程，求得其值，结合两直线交点在第三象限，即可确定答案.
【详解】由直线 与直线互相垂直，
可得 ，解得 或3，
当时，联立 ，解得交点坐标为 ，不合题意；
当时，联立 ，解得交点坐标为 ，合乎题意，
故实数a的值为 ，
故选:C名称
方程
适用范围
点斜式
不含垂直于轴的直线
斜截式
不含垂直于轴的直线
两点式
不含垂直于坐标轴的直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用
距离
计算公式
两点间的距离
点到直线的距离
两条平行直线与间的距离
考点一
直接法求直线方程
考点二
待定系数法求直线方程
考点三
求解直线的定点
考点四
已知两直线位置关系求参数值或范围