新高考数学一轮复习考点分类提升 第39讲 圆的方程（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点分类提升 第39讲 圆的方程（讲义）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习考点分类提升第39讲圆的方程讲义原卷版doc、新高考数学一轮复习考点分类提升第39讲圆的方程讲义解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
1.圆的定义及方程
2.点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程，点．
①点在圆上；
②点在圆外；
③点在圆内．
3.点与圆上点的距离
圆的标准方程，点，
则点到圆上任一点的最大距离为；最小距离为.
4.圆上点到直线的距离
圆的标准方程，直线，圆心到直线的距离为，
则圆上任一点到直线的最大距离为；最小距离为（直线与圆相离时）.
5.求与圆有关的轨迹方程问题时，有以下方法：
(1)直接法:直接根据题目提供的条件求出轨迹方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义求出轨迹方程.
(3)几何法:利用圆的几何性质求出轨迹方程.
(4)相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式,进而求出轨迹方程.
考点一：几何法求圆的方程
例1．已知圆的圆心为，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据中点坐标公式求出直径两端点的坐标，然后求出半径，再求出圆的方程即可.
【详解】设直径的两个端点分别，
圆心C为点由中点坐标公式，得，解得
∴半径，
∴圆的方程是即
故选：A.
考点二：待定系数法求圆方程
例2．（2023·广东湛江·统考二模）若与轴相切的圆与直线也相切，且圆经过点，则圆的直径为（ ）
A．2B．2或C．D．或
【答案】B
【分析】根据题意设出圆的方程，代入点的坐标可求圆的方程，从而可得圆的直径.
【详解】因为直线的倾斜角为，
所以圆的圆心在两切线所成角的角平分线上．
设圆心，则圆的方程为，
将点的坐标代入，得，
整理得，解得或；
所以圆的直径为2或．
故选：B.
考点三：点、直线到圆上点的距离问题
例3．（2023·四川遂宁·统考二模）过直线：上的点作圆：的切线，则切线段长的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据几何关系表示出切线段长度，根据几何关系即可求出其最小值．
【详解】设直线上任意一点为P，过P作圆的切线，切点为M，圆C圆心C为，半径，
则，
要使最小，则最小，易知最小值为圆心C到直线l的距离．
即，
∴．
故选：B．
考点四：圆相关轨迹方程
例4．已知半径为的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求得圆心的轨迹为以为圆心，为半径的圆，由此可知所求最大值为到直线的距离加上半径，结合点到直线距离公式可得结果.
【详解】设圆的圆心为，则，
则圆的圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
圆心到直线的距离的最大值为.
故选：D.
一、单选题
1．已知圆和直线.若圆与圆关于直线l对称，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据对称性求得圆的圆心和半径，进而求得圆的方程.
【详解】圆的圆心为，半径为，
关于直线的对称点是，
所以圆的圆心是，半径是，
所以圆的方程为.
故选：B
2．若圆C与y轴相切，则圆C的方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出圆的圆心和半径，判断是否符合题意，即得答案.
【详解】依题意可得圆C的圆心到y轴的距离应等于圆心横坐标的绝对值，
的圆心为原点，不符合题意，A错误；
的圆心为，不符合题意，B错误；
的圆心为，半径为1，符合题意，C正确；
圆心为，半径为，不符合题意，D错误，
故选：C
3．（2023·吉林·统考三模）已知圆C：，直线l：，则圆心C到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出圆C的圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解作答.
【详解】依题意，圆C：的圆心，
所以圆心C到直线l的距离.
故选：D
4．（2022·河南·校联考一模）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将直线方程与抛物线方程联立可得，结合中点坐标公式可得圆心坐标，利用抛物线焦点弦长公式可求得半径，由此可得圆的方程.
【详解】由抛物线方程知：，则，
由得：，
设，，则，
，中点为，即，
又所求圆的半径，
以为直径的圆的方程为：.
故选：C.
5．若不同的四点，，，共圆，则a的值为（ ）
A．1B．3C．D．7
【答案】D
【分析】设圆的方程为，解方程组即得解.
【详解】解：设圆的方程为，分别代入A，B，C三点坐标，得，
解得，
所以A，B，C三点确定的圆的方程为．
因为也在此圆上，所以，
所以，
解得a＝7或（舍去）．
故选：D．
6．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可.
【详解】设所求圆方程为,
因为，，三点都在圆上，
所以，解得，
即所求圆方程为：.
故选：C.
7．圆上的点到直线的最大距离是（ ）．
A．36B．C．18D．
【答案】B
【分析】求出圆的圆心坐标及半径，利用点到直线的距离公式计算，判断直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】因为圆，即，
所以圆心坐标为，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，
所以圆上的点到直线的最大距离为
.
故选：B.
8．若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件可知点的轨迹为以为圆心，的圆，再求出圆心到直线的距离即可求得答案.
【详解】设，则，即，化简得，
所以点的轨迹为以为圆心，的圆，
则圆心到直线的距离，
所以点C到直线的距离的最小值为；
故选：A.
9．已知圆C的方程为，点P在直线上，线段AB为圆C的直径，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】将转化为，利用圆心到直线的距离求得的最小值.
【详解】因为为的中点，
所以，
从而，
可知的最小值为点到直线的距离，
，
所以.
故选：B.
10．（2021·贵州·统考二模）已知圆，过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由题中条件，得到，为使取得最小值，只需最大，即最大，因此只需取得最大值，即只需最小即可；由点到直线距离公式求出的最小值，进而可求出结果.
【详解】由题意可得，，，，
所以，因此，则；
为使取得最小值，只需最大，即只需最大，因此只需取得最大值；
又，所以当且仅当取得最小值时，最大；
而的最小值为，所以此时，则
即的最小值为；
故选：A.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于根据题中条件，得到取得最大值时，最小；再利用点到直线距离公式，即可求解.
11．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由方程表示圆的条件以及点到圆心的距离大于半径求解即可
【详解】圆，
则圆，圆心，半径，
点在圆的外部，
，即，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
12．已知过点有且仅有一条直线与圆相切，则（ ）
A．-1B．-2C．1或2D．-1或-2
【答案】A
【解析】由为圆的方程可得，又过点有且仅有一条直线与圆：相切，则点在圆上，联立即可得解.
【详解】解：过点有且仅有一条直线与圆：相切，
则点在圆上，
则，解得或，
又为圆的方程，
则，即，
即，
故选：A
13．（甘肃省酒泉市2023届高三三模文科数学试题）点在圆上，点，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】可判断在圆外，则，计算即可．
【详解】圆的圆心，半径为，
由于在圆外，
．
故选：D.
14．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
【答案】A
【分析】由平行四边形法则易得，可知，可判断点的轨迹为以线段为直径的圆.
【详解】设为线段的中点，.因为，所以，所以，所以，当点在点或时也满足，所以点的轨迹为以线段为直径的圆.
故选: A.
15．当点在圆上运动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设点，的中点的坐标为，根据已知中点关系建立关系式，利用变换代入化简即可.
【详解】设点，的中点的坐标为，
，由中点坐标公式可得，可得，
又点在圆，则，即.
因此，线段的中点的轨迹方程为.
故选：C.
16．（2023·江西·校联考一模）古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线，，，且，均与垂直.若动点M到的距离的乘积与到的距离的平方相等，则动点M在直线之间的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】A
【分析】根据题意得到三条直线的关系，不妨设记为，直线为，为，进而可根据条件表示出动点M的轨迹方程，从而得出结论.
【详解】因为在平面内三条给定的直线，，，且，均与垂直，所以，平行，记为，直线为，为，
又因为动点M到的距离的乘积与到的距离的平方相等，
设，且动点M在直线之间，所以M到的距离为，M到的距离为，M到的距离为， 所以，
若，则；若，则，
所以，即，故动点M的轨迹为圆.
故选：A.
二、填空题
17．若圆被直线平分，则_________．
【答案】
【分析】根据圆的性质，结合配方法、代入法进行求解即可.
【详解】由，
所以该圆的圆心坐标为，
因为圆被直线平分，
所以圆心在直线上，
因此有，
故答案为：
18．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________.
【答案】x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案；
【详解】设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得:,
解得：
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
故答案为：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
19．（2023·陕西咸阳·校考一模）圆心在轴，半径为1，且过点的圆的标准方程是_____.
【答案】
【分析】设圆心坐标为，进而结合题意得，再求圆的标准方程即可.
【详解】由题，可设圆心坐标为，
因为所求圆的圆心在轴，半径为1，且过点，
所以，，解得，
所以，圆心坐标为，半径为1，
所以，所求圆的标准方程为
故答案为：
20．（2023·河北邯郸·统考二模）已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是___________.
【答案】/
【分析】求出圆C圆心到弦AB的长度d，求出弦AB的长度，M到弦AB的最大距离为d＋r(r为圆C半径)，根据三角形面积公式即可求出答案．
【详解】，则圆C的圆心为，半径为，
圆心C到直线l（弦AB）的距离为，
则，
则到弦AB的距离的最大值为，
则面积的最大值是.
故答案为：
21．点在圆的内部，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用点在圆内列不等式，解出的取值范围．
【详解】点在圆的内部，，即，解得
故答案为：定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
圆心C：
半径：
一般方程
圆心：
半径：
考点一
几何法求圆的方程
考点二
待定系数法求圆方程
考点三
点、直线到圆上点的距离问题
考点四
圆相关轨迹方程