四川省内江市资中县球溪高级中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学（火箭班）试题（Word版附解析）

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸
上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在
答题纸上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求.
1. 抛物线 的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
2. 过 、 两点 直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知直线 ，直线 平行，则实数 （ ）
A. B. C. 或 D. 不存在
4. 已知 ， 分别是平面 ， 的法向量，若 ，则 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
5. 点 到直线 （ 为任意实数）距离的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
6. 在棱长为 1 的正方体 中， 为线段 的中点，则点 到平面 的距离为（ ）
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A. B. C. D.
7. 某圆拱桥的水面跨度 12 米，拱高 4 米，现有一船宽 8 米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约
为（ ）（参考数据 ， ）.
A. 2.5 米 B. 2.7 米 C. 2.9 米 D. 3.1 米
8. 法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们
通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 的蒙日圆方程 ，
， 分别为椭圆 的左，右焦点，离心率为 ，P 为蒙日圆 C 上一个动点，过点 P 作椭圆 的两条切
线，与蒙日圆 C 分别交于 A，B 两点，若 面积的最大值为 25，则椭圆 的长轴长为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 记方程 所表示 曲线为 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 曲线 可能为圆
B. 曲线 可能为等轴双曲线
C. 若 ，则 为焦点在 轴上的双曲线
D. 若 ，则 为焦点在 轴上的椭圆
10. 将 25 个数排成 5 行 5 列：
已知第一行 ， ， ， ， 成等差数列，而每一列 ， ， ， ， 都成公
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比为 的等比数列.若 ， ， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知过抛物线 焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点 ，则 的最小值为 6
B. 若点 N 为线段 AB 中点，则点 N 的坐标可以是
C. 若直线 的倾斜角为 ，则
D
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ， ，则 ________.
13 已知两直线 ， 互相平行，则 ________.
14. 已知 P 是双曲线 上一点，过点 P 分别作 C 的两条渐近线的垂线，垂足为 A，
B，且 ，则 的取值范围是________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 C 的方程为 .
（1）求圆 C 关于直线 对称的圆的方程；
（2）若点 在圆 C 上运动，求 的最大值和最小值.
16. 已知等差数列 的公差 ， ，且 ， ， 成等比数列；数列 的前 项和
，且满足 .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
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17. 已知 ， 是双曲线 的左右焦点，且两顶点间的距离是 4，虚轴长是实轴
长的 .
（1）求双曲线 C 的离心率；
（2）直线 与双曲线交于 A，B 两点，若四边形 的面积为 ，求 .
18. 如图，等腰梯形 ABCD 中， ， ， ， ，且 于 E，将 沿
AE 翻折至 ，使得 .
（1）证明： ；
（2）求 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值；
（3）求平面 PCD 与平面 PAD 的夹角的余弦值.
19. 动点 与定点 的距离和 P 到定直线 的距离的比是常数 .
（1）求动点 P 的轨迹方程 E；
（2）过 F 作斜率不为 0 直线 与 E 交于 A，B 两点，
①过原点 O 作 的平行线与 E 交于 Q 点，证明： 为定值；
②设点 ，直线 AG 与 E 交于点 C，BG 与 CF 交于点 D，求点 D 的纵坐标的最大值.
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