四川省内江市资中县2024_2025学年高二数学上学期期末考试试卷火箭班含解析

这是一份四川省内江市资中县2024_2025学年高二数学上学期期末考试试卷火箭班含解析，共21页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分， 点 到直线， 法国数学家加斯帕尔•蒙日发现等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸
上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在
答题纸上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求.
1. 抛物线 的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出焦参数 ，根据焦点的位置确定准线方程．
【详解】由题意焦点在 轴正半轴， ， ，所以准线方程为 ．
故选：C．
2. 过 、 两点的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由截距式得到直线方程.
【详解】由截距式可得直线方程为 ，A 正确，BCD 错误.
故选：A
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3. 已知直线 ，直线 平行，则实数 （ ）
A. B. C. 或 D. 不存在
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线的位置关系，直接求解参数即可.
【详解】由题可得 ，
解得 .
故选：A
4. 已知 ， 分别是平面 ， 的法向量，若 ，则 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据法向量定义得到 ，进而得到 ，得到方程，求出答案.
【详解】 ，故 ，
故 ，解得 .
故选：A
5. 点 到直线 （ 为任意实数）距离的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】法一：写出点 到直线 的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；
法二：利用几何法即可求出最值.
【详解】法一：点 到直线 的距离为 ，
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，
令 ，当 时， ，
当 时， ，由对勾函数的性质可知 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
法二：易知直线 过定点 ，则点到直线的距离最大值为定点到 的距离，即 .
故选：C.
6. 在棱长为 1 的正方体 中， 为线段 的中点，则点 到平面 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ，设平面 的一个法向量为 ，
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，即 ，取 ，又 ，
所以点 到面 的距离 .
故选：B.
7. 某圆拱桥的水面跨度 12 米，拱高 4 米，现有一船宽 8 米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约
为（ ）（参考数据 ， ）.
A. 2.5 米 B. 2.7 米 C. 2.9 米 D. 3.1 米
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形 EFGH 为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将
代入求得纵坐标判断.
【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为 轴，过桥的最高点垂直于 轴的直线为 轴，建立平
面直角坐标系，设图中矩形 EFGH 为船刚好能通过桥下时的位置，
则 ， ， ， ，
设圆拱桥所在圆的方程为 ，
由已知得： ；
解得 ， .
故圆的方程为
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令 ，解得
结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为 2.9（米），
故选：C.
8. 法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们
通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 的蒙日圆方程 ，
， 分别为椭圆 的左，右焦点，离心率为 ，P 为蒙日圆 C 上一个动点，过点 P 作椭圆 的两条切
线，与蒙日圆 C 分别交于 A，B 两点，若 面积的最大值为 25，则椭圆 的长轴长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 利 用 椭 圆 的 离 心 率 可 得 ， 分 析 可 知 为 蒙 日 圆 的 直 径 ， 利 用 勾 股 定 理 可 得
，再利用基本（均值）不等式即可求解.
【详解】如图：
因为椭圆 的离心率 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以椭圆 的蒙日圆 C 的半径为 .
因为 ，所以 为蒙日圆的直径，
所以 ，所以 .
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因为 ，
当 时，等号成立.
所以 面积的最大值为： .
由 面积的最大值为 25，得 ，得 ，
进而有 ， ，
故椭圆 的长轴长为 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于借助基本（均值）不等式分析 在何时取得最大值.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 记方程 所表示的曲线为 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 曲线 可能为圆
B. 曲线 可能为等轴双曲线
C. 若 ，则 为焦点在 轴上的双曲线
D. 若 ，则 为焦点在 轴上的椭圆
【答案】ACD
【解析】
【分析】易知当 时，曲线 为圆 ，即 A 正确，假设曲线 为等轴双曲线，但方程无解，
可得假设不成立，即 B 错误；再根据双曲线标准方程定义可判断 C 正确，又利用椭圆标准方程可得 D 正确
.
【详解】对于 A，易知当 时，即 时，曲线方程为 ，
也即 ，表示圆，即 A 正确；
对于 B，若曲线 可能 等轴双曲线可知 ，显然此方程无解，
因此曲线 不可能为等轴双曲线，即 B 错误；
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对于 C，若 ，可知 ，方程可化为 ，
此时 为焦点在 轴上的双曲线，即 C 正确；
对于 D，若 ，可得 ，且 ，
所以 为焦点在 轴上的椭圆，即 D 正确.
故选：ACD
10. 将 25 个数排成 5 行 5 列：
已知第一行 ， ， ， ， 成等差数列，而每一列 ， ， ， ， 都成公
比为 的等比数列.若 ， ， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】首先利用等差数列和等比数列性质，列方程组求出公比 ，公差 ，进而求出第一行的值，再分
类讨论计算，逐个判定即可.
【详解】因为第一行 成等差数列，设公差为 ，
每列成等比数列，设公比为 ，
则 ， ， ，
变形三个方程， ， ， ，
后两个联立得到 ，即 ；(∗)
前两个联立得到 ，即 ；(∗∗)
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联立得到的式子，可解得 ，即 .故 B 正确.
将 代入前面式子，
当
此时 ，则 ；
，则 ；
，则 ；
当
此时 ，则 ；
，则 ；
，则 ；
综上所得，A，C 错误，B，D 正确.
故选：BD.
11. 已知过抛物线 焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点 ，则 的最小值为 6
B. 若点 N 为线段 AB 中点，则点 N 的坐标可以是
C. 若直线 的倾斜角为 ，则
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抛物线的定义结合距离和最小计算判断 A，联立直线和抛物线计算求解判断 B，应用韦达定理
计算面积判断 C，应用焦半径公式计算判断 D.
【详解】对于 A，过点 A 作 垂直于准线 ，垂足 ，
则 ，
当且仅当 ， ， 三点共线时取等号，所以 的最小值为 6，故 A 正确；
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对于 B，假设点 N 的坐标是 ，则 ， ，
由直线 交抛物线于 A，B 两点，得 ，两式相减得 ，
即 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
将 代入得 ，
所以直线 不过点 ，不符合题意，故 B 不正确；
对于 C，设直线方程为 ，设 ， ，
由 得 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D，设直线方程为 ，设 ， ，
由 得 ，所以 ， ，
，
即 ，即 ，故 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ， ，则 ________.
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【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量坐标运算求解即得.
【详解】 .
故答案为：
13. 已知两直线 ， 互相平行，则 ________.
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要利用两直线平行的条件来建立关于 的方程，进而求解 的值.
【详解】因为直线 与 互相平行，可得 . 解得 .
故答案为：2.
14. 已知 P 是双曲线 上一点，过点 P 分别作 C 的两条渐近线的垂线，垂足为 A，
B，且 ，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】设渐近线 的倾斜角为 ，由 ，可得 ，即 ，设
，可得 ，可得 ，结合对勾函数的单调性求解.
【详解】设渐近线 的倾斜角为 ，则 ，
， ， ，
设 ，则 ，
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则 ，
，
， ，
的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 C 的方程为 .
（1）求圆 C 关于直线 对称的圆的方程；
（2）若点 在圆 C 上运动，求 的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）最大值为 ，最小值为 .
【解析】
【分析】（1）由圆 C 标准方程得到圆心为 ，半径为 1，求得圆心 关于 对称的点为
即可；
（2）由 即为点 P 到原点的距离的平方，利用几何法求解.
【小问 1 详解】
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由圆 C 的标准方程为 ，可知圆心为 ，半径为 1.
圆心 关于 对称的点为 ，
圆 C 关于直线 对称的圆的方程为 .
小问 2 详解】
即为圆 上的点 P 到原点的距离的平方.
圆心到原点的距离为 ，
的最大值为 ，最小值为 .
16. 已知等差数列 的公差 ， ，且 ， ， 成等比数列；数列 的前 项和
，且满足 .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ， ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题目条件得到 和 ，求出首项和公差，得到 ，再利用
求出 ， 为等比数列，故 ；
（2）在（1）基础上，利用错位相减法求和即可.
【小问 1 详解】
，故 ，
， ， 成等比数列，故 ，即 ，
化简得 ，
因为 ，所以 ，
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将 代入 得 ， ，
，
①中，令 得 ，解得 ，
当 时， ②，①-②得 ，即 ，
所以 为首项为 3，公比为 3 的等比数列，
故 ；
【小问 2 详解】
，
故 ①，
所以 ②，
式子①-②得
，
故 .
17. 已知 ， 是双曲线 的左右焦点，且两顶点间的距离是 4，虚轴长是实轴
长的 .
（1）求双曲线 C 的离心率；
（2）直线 与双曲线交于 A，B 两点，若四边形 的面积为 ，求 .
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）根据条件可求 的值，进而求双曲线的离心率.
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（2）根据双曲线 对称性可得三角形 的面积为 ，进而可得点 的纵坐标，进而求 .
【小问 1 详解】
， ， ， .
， .
双曲线的离心率 .
【小问 2 详解】
直线 与双曲线交于 A，B 两点，
如图：
两点关于原点为 O 对称，设 ， .
又 ， 三角形 的面积为 .
， .
又点 在双曲线 上，则 .
所以 ，
所以 .
18. 如图，等腰梯形 ABCD 中， ， ， ， ，且 于 E，将 沿
AE 翻折至 ，使得 .
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（1）证明： ；
（2）求 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值；
（3）求平面 PCD 与平面 PAD 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3） .
【解析】
【分析】（1）由 ， 得到 平面 即可求证；
（2）连接 ED，过 D 作 于 F，分别以 EC，EA，EP 为 轴 轴 轴建立空间直角坐标系，由线
面夹角的向量法求解即可；
（3）求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；
【小问 1 详解】
， ，
又 沿 AE 翻折至 ， ，即 .
平面 ， 平面 ，
平面 .
又 平面 ， .
【小问 2 详解】
连接 ED，过 D 作 于
，
又 四边形 等腰梯形，且 ，
又 ， .
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又 且
，即 .
又 ， ， 平面 ， 平面
平面 .
以 E 为坐标原点，分别以 为 轴 轴 轴建立空间直角坐标系
， ， ，
， ， .
设平面 PAD 的法向量为
则 ，即
令 ，则 ， ， .
设 与平面 所成角为
则
与平面 所成角的正弦值为 .
【小问 3 详解】
设平面 的法向量为
则 ，即
令 ，则 ， ， .
由（2）知平面 的法向量为
.
平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
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19. 动点 与定点 的距离和 P 到定直线 的距离的比是常数 .
（1）求动点 P 的轨迹方程 E；
（2）过 F 作斜率不为 0 的直线 与 E 交于 A，B 两点，
①过原点 O 作 的平行线与 E 交于 Q 点，证明： 为定值；
②设点 ，直线 AG 与 E 交于点 C，BG 与 CF 交于点 D，求点 D 的纵坐标的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；② .
【解析】
【分析】（1）根据题意，由 求解；
（2）①设 ， ，分别与椭圆方程联立，由 ，
， 求解；②解法一：设 ， ， ，根
据 B，D，G 共线，C，D，F 共线，得到 求解.解法二：由（2）得到 ，
，两式相除得到 ，然后由 ，结合 B，D，G 共线，C，D，F 共线
得到 ，再根据点 在椭圆 上求解.
【小问 1 详解】
解： ，
.
【小问 2 详解】
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如图所示：
①设 ， ， ，则 ，
联立 ，得 ，
， .
， ，
，
，
联立 ，得 .
.
.
②解法一：设 ， ， ，
，D，G 共线，C，D，F 共线，
， ，
第 18页/共 20页
.
由①得 ， .
同理 ， .
.
， ， .
， .
又 ， 当 时，点 D 的纵坐标取得最大值 .
解法二：由（2）得 ， ，两式相除可得 ，
又 ，整理可得 ，则 .
，同理， .
由 B，D，G 共线得 ，
即 ①，
同理，由 C，D，F 共线得 ②，
联立①②可得 .
点 在椭圆 上，
第 19页/共 20页
点 D 的纵坐标取得最大值 .
第 20页/共 20页