四川省内江市资中县球溪高级中学2024-2025学年高二上学期期末考试（普通班）数学试题（Word版附解析）

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸
上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在
答题纸上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求.
1. 抛物线 的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
2. 若 构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
3 若直线 与圆 只有一个公共点，则 （ ）
A 2 B. 1 C. 0 D.
4. 已知 为等比数列 的前 项和，且 ， ，则数列 的公比 为（ ）
A. 1 B. C. 1 或 2 D. 1 或
5. 已知直线 ，直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件
6. （ ）
A. 55 B. 120 C. 165 D. 220
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7. 在正方体 中， 分别为棱 上的点， 与 的夹角为 与 的
夹角也为 ．则 （ ）
A. B. C. D.
8. 已知 ，动点 与点 的距离是它与点 的距离的 倍．动点 的轨迹与直线
交于 两点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知曲线 ．则下列说法中正确 是（ ）
A. 若 ，则 是单位圆
B. 若 ，则 是焦点在 轴上的椭圆
C. 若 ，则 是平行于 轴的两条直线
D. 若 ，则 双曲线且渐近线方程为
10. 已知 是各项均为正数的等比数列，公比为 ，前 项和为 ，且 ，
， ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列 是等比数列
C. 数列 是公差为 1 的等差数列 D. 数列 的前 项和不超过
11. 已知 ， 两点的坐标分别是 ， ，直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之和是 2，
动点 形成轨迹为曲线 ， 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线 是中心对称图形
B.
C. 直线 斜率的取值范围为
D. 若 ，则 的面积为
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 直线 的一个方向向量为_______．
13. 已知双曲线 的一条渐近线与圆 交于 两点，若
，则双曲线 的离心率为_______．
14. 如图，在纸上画一个半径为 2 的圆 ，再取一定点 ， ，将纸片折起，使圆周通过 ，然后展
开纸片，得到一条折痕 （为了看清楚，可把直线 画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成
的轮廓构成曲线 .若点 在曲线 上，且 ，则 的面积为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已 知 数 列 为 等 差 数 列 ， 记 分 别 为 数 列 的 前 项 和 ．
．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ．
16. 已知 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
17. 某研究所研究耕种深度 （单位： ）与水稻每公顷产量 （单位： ）的关系，所得数据资料如下
表.
耕种深度 8 10 12 14 16 18
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每公顷产量 6 7 8 9 11 13
（1）求样本相关系数 （结果保留两位小数），并判断它们是否具有较强的线性相关性；
（2）求经验回归方程.
参考数据： ；
参考公式： ， ， .
18. 如图，在平面直角坐标系 中，已知 是椭圆 上的一点，从原点 向圆
作两条切线分别交 于 两点．
（1）若 点在第二象限，且 ，求 和圆 的方程；
（2）若直线 的斜率存在，并分别记为 ，求证： 为定值．
19. 已 知 对 任 意 平 面 向 量 ， 把 绕 其 起 点 沿 逆 时 针 方 向 旋 转 角 得 到 向 量
，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 ．将双曲线
上 每一点绕坐标原点 沿逆时针方向旋转 后得到曲线 ．点 在 上，其横坐标为
．再按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与曲线 交于另一点 ，
令 为 关于直线 的对称点，记 的坐标为 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）求数列 的通项公式；
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（3）求证： ．
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