山西省太原市某校2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份山西省太原市某校2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
测试时长： 120 分钟 总分： 150 分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式求得切线方程.
【详解】，所以，即，
故曲线在点处的切线方程为，
即.
故选：C.
2. 已知抛物线方程为 则其焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将抛物线方程化为标准方程即可确定焦点坐标.
【详解】将抛物线方程化为标准方程得：，
则其焦点坐标为.
故选：B.
3. 正项等比数列的前n项和为，则等于（ ）
A. 9B. 72C. 70D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】利用等比数列定义以及前n项和公式计算可得结果.
【详解】由题意可得，设等比数列的公比为q，
可得．
故选：D．
4. 如图，在三棱锥中，，是线段的中点，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量减法和加法的几何意义进行求解即可.
【详解】因为是线段的中点，，
所以
，
故选：D
5. 已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出圆的标准方程，根据条件列出方程组，进而求解即可.
【详解】由题知，设圆的标准方程为，
则，解得，
所以圆的标准方程为.
故选：C
6. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行的充要条件求出，利用两平行线间距离公式求解.
【详解】由题可得，解得，
所以两直线分别为，，
所以这两条直线间的距离为.
故选：B.
7. 直线/经过抛物线C：（）的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，与y轴相交于点M.若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设方程为：，与抛物线方程联立计算与，设，由得，利用的值得，计算点的坐标，利用计算的值，即可得到直线的斜率以及的值，利用过焦点的弦长公式可得结果.
【详解】
不妨设点在点上方，设.
由题意得直线斜率存在，且，
设方程为：，
由得，，
∴.
设，由得，，
∴，解得，
由得，∴，即，
由得，，解得，则，，
∴，∴，
∴.
故选：A.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为,，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用双曲线渐近线确定，由余弦定理可得，再由勾股定理得，又由确定得，最后根据求得离心率．
【详解】根据题意可知：点在以为圆心为半径的圆上，所以；
根据双曲线渐近线方程为，有，
由双曲线中，可得，
在中，，，
余弦定理有，解得；
有，所以；
在中，，，所以，
所以双曲线离心率．
故选：D
【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
二、多项选择题（多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.
9. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 是递增数列
B. 的前项和中最小
C.
D. 数列的前10项和为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件先求解出的通项公式以及前项和；对于A：由公差，即可判断；对于B：根据的表达式结合二次函数的性质进行分析判断；对于C：由通项公式计算即可判断；对于D：先判断为等差数列，然后利用公式进行求和即可判断.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
等差数列的前项和为，
所以，解得，
所以，，
对于A：等差数列中，所以是递增数列，故A正确；
对于B：，
由二次函数的性质可知当时最小，故B正确；
对于C：由，得，故C错误；
对于D：因为，则，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以的前项和为，故D正确.
故选：ABD.
10. 如图，已知棱长为2的正方体，动点是内部一点（含边界），则下列选项正确的是（ ）
A. 动点在运动的过程中，三棱锥的体积是定值
B. 对于任意，平面
C. 动点到直线的距离最小值为
D. 满足的的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正方体中平面平面可得到平面的距离为定值即可判断A；由点运动到点时不垂直于可判断B；建系，设动点到直线的距离为，求出关于的表达式，可得的最小值即可判断C；利用到平面的距离确定平面内的位置，可得点的轨迹圆弧的半径可判断D．
【详解】对于选项A，易知在正方体中，平面平面，故动点在运动的过程中，到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积是定值，故A正确；
对于选项B，当运动到点时，易知不垂直于，所以不垂直于平面，故B错误；
对于选项C，以点为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系，设，设（题眼），，，，，，则，故，设动点到直线的距离为，过作平面，过作于，连接，则，则（关键：主元法求最值），当，时，取最小值，且最小值为2，则动点到直线的距离最小值为，故C正确；
对于选项D，设到平面的距离为，由等体积法得，则，解得．如图2，取的中点，连接，作平面，垂足为，易知点在的延长线上．由选项C，可设平面内点，，又，，则解得所以，取的中点，连接，，延长，，交于点，作于点，作交于点，如图2，则，即，则，又，即，则，则，即，则，所以（提示：利用等比例确定平面内的位置）．由已知，点的轨迹为以为圆心的圆弧，不妨设该圆弧的半径为，则，则，则以为圆心的圆弧所对圆心角，故轨迹长为，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 存点，使得
C. 若，则外接圆的面积为
D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A由题可得，然后可计算离心率；B等价于判断方程组是否有解；C设，由余弦定理及题目条件可得，然后由正弦定理可得外接圆半径，即可判断选项正误；D设，可将化为，后由基本不等式可得最小值.
【详解】A选项，因为点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1，
所以，解得：，所以，则椭圆，
椭圆的离心率，故A正确；
B选项，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上，
又因为方程组无解，所以不存在点，使得，故B错误；
C选项，设，则，
若，又，
所以，即，
在中，由余弦定理可得
，
因为，所以，
设外接圆的半径为
根据正弦定理可知，，则，
即外接圆的面积为，故C正确；
D选项，设，则
，
令，则，
所以，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ACD
三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分）.
12. 抛物线 的焦点为，过点 且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，则的面积为____________.
【答案】
【解析】
【分析】将所求三角形的面积分解为以为底边的两个和的面积和，然后联立直线与抛物线的方程，消去,得到关于的一元二次方程，即可求解.
【详解】过抛物线的焦点的直线方程为：，
联立，得，
所以，
所以.
故答案为：.
13. 已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】首先对函数求导，求出在处的切线方程，然后根据二次函数与直线相切，根据判别式求出对应的.
【详解】因为，所以，又，
故曲线在点处的切线方程为，即．
由可得，
解得．
故答案为：.
14. 已知数列{}满足，且，则＝________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可证明数列是以为首项，3为公差的等差数列，即可求出数列{}的通项公式.
【详解】对两边同时取倒数，
所以，则，
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列，
所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题（本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
15. 已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，当直线垂直于轴时，.
（1）求抛物线的方程：
（2）若，求直线的方程.
【答案】（1）
（2），或
【解析】
【分析】（1）由题意求出焦点坐标，进而可得点坐标，代入抛物线方程可得答案；
（2）设直线方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理求出弦长可得答案.
【小问1详解】
由题意，，，（或）
所以，解得，（舍去），
所以抛物线的方程为：
【小问2详解】
由（1），，设，
由题意知直线的斜率存在，
设其方程为，与抛物线方程联立，
可得，所以，
，解得，
所以直线的方程为，
即，或.
16. 已知双曲线：的实轴长为，且焦点坐标为.
（1）求双曲线的方程；
（2）设双曲线的右焦点为，过的直线交于、两点，若中点的横坐标为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由双曲线的性质求解即可；
（2）设为，，，直曲联立表示出韦达定理，由中点坐标公式得到斜率，再由弦长公式计算出结果即可；
【小问1详解】
因为双曲线的实轴长为，所以，所以；
双曲线的焦点坐标为，所以；所以；
所以双曲线方程：
【小问2详解】
由（1）得，根据题意得过的直线斜率存在，
设为，，，
联立，化简得，
所以，，
因为中点的横坐标为，所以，
解得，所以，
所以.
17. 已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前项和为，并满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列前项的和．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出；利用和的关系，构造出即可求出；
（2）由（1）可知，利用错位相减法求解即可.
【小问1详解】
设等差数列公差为，
由，且，，成等比数列知：
，整理得：，
即或者，因公差大于1，故.
且，故.
数列前项和为，并满足 ①，
且，解得，
故当时， ②，
①式减②式得：，
即，故是公比为2的等比数列，
则，
故；
【小问2详解】
由（1）可知，
故
则
故
故
则
18. 如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在点，使得满足要求，此时
【解析】
【分析】（1）由平面，，得，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过计算即可得证；
（2）利用空间向量求直线与平面的所成角的方法计算，即可得到结果；
（3）由空间向量的坐标运算以及二面角的公式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
证明：因为平面，平面，
所以，，
又，所以，，两两垂直，
以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，，
所以，所以.
【小问2详解】
设平面的一个法向量，
因为，，
所以，即，
令，则，，所以，
又，设直线BD与平面BEF所成角，
则.
【小问3详解】
假设存在，设，则，
所以，
设平面DHP的一个法向量，因为，
所以，即，
令，则，，
所以，
由（2）问可知：平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得或（舍），
所以存在点，使得满足要求，此时，即.
19. 已知双曲线的右焦点为，离心率为．
（1）求的标准方程；
（2）设的右顶点为，过点的直线与的右支交于两点，记直线的斜率分别为，求证：为定值；
（3）已知点是上任意一点，直线是在点处的切线，点是上异于点的动点，且过点与（为坐标原点）平行的直线交于两点，定义为双曲线在点处的切割比，记为，求切割比．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的几何性质求的值，写出的标准方程；
（2）设出的方程及点的坐标，写出根与系数的关系，求出的值，
（3）先求出切线方程，结合两直线方程求出，再利用根与系数的关系、两点间距离公式求出、，根据切割比定义求解.
【小问1详解】
因为双曲线的右焦点为，所以，
所以的离心率为，所以，，
故的标准方程为．
【小问2详解】
由（1）知，由题意知的斜率不为0，
设的方程为，，，
联立方程，得，得，
所以，
，，
所以
，得证．
【小问3详解】
由题意知，显然在点处的切线的斜率存在，
设在点处的切线方程为，即，
代入，消去得，
因为与相切，所以，解得．
所以在点处的切线方程为．
易知直线的斜率，
可设直线的方程为，，．
由方程组，解得，
所以点的坐标为，所以．
由方程组，消去可得，
则，
所以，，
所以，
同理可得，
所以
，
所以，即．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定值问题的解题步骤
（1）选取变量：设点的坐标、直线的方程，设直线方程时注意斜率不存在的情况；
（2）代换变量：联立方程，写出判别式，得到根与系数的关系；
（3）表达变量：根据所求定值问题，表示出斜率、弦长、面积等；
（4）解出定值：最后通过消参得到所求定值．