山西省太原市某校2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题

这是一份山西省太原市某校2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题，共16页。试卷主要包含了证明见解析等内容，欢迎下载使用。
数学
参考答案
12．
【详解】过抛物线的焦点的直线方程为：，
联立，得，
所以，
所以.
故答案为：.
13．
【详解】因为，所以，又，
故曲线在点处的切线方程为，即．
由可得，
解得．
故答案为：.
14．
【详解】由，且，则，
所以.
故答案为：，
15．(1)
(2)，或
【分析】（1）由题意求出焦点坐标，进而可得点坐标，代入抛物线方程可得答案；
（2）设直线方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理求出弦长可得答案.
【详解】（1）由题意，，，（或）
所以，解得，（舍去），
所以抛物线的方程为：
（2）由（1），，设，
由题意知直线的斜率存在，
设其方程为，与抛物线方程联立，
可得，所以，
，解得，
所以直线的方程为，
即，或.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由双曲线的性质求解即可；
（2）设为，Ax1,y1，Bx2,y2，直曲联立表示出韦达定理，由中点坐标公式得到斜率，再由弦长公式计算出结果即可；
【详解】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，所以；
双曲线的焦点坐标为，所以；所以；
所以双曲线方程为：
（2）由（1）得，根据题意得过的直线斜率存在，
设为，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立，化简得，
所以，，
因为中点的横坐标为，所以，
解得，所以，
所以.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）设出公差，利用等比中项的性质建立方程，可得的通项公式，利用公式，可得的通项公式；
（2）利用错位相减，可得答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由成等比数列，则，
可得，
由，则方程化简可得，解得，易知，
所以首项为，公差为的等差数列的通项公式为.
当时，，则，解得；
当时，，
可得，两边同时减，可得，
由，则数列是以−2为首项，以为公比的等比数列，
所以，可得.
（2）由题意可得，
，
，
两式相减可得，
，
解得.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)存在点，使得满足要求，此时
【分析】（1）由平面，，得，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过计算即可得证；
（2）利用空间向量求直线与平面的所成角的方法计算，即可得到结果；
（3）由空间向量的坐标运算以及二面角的公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，
所以，，
又，所以，，两两垂直，
以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，，
所以，所以.
（2）设平面的一个法向量，
因为，，
所以，即，
令，则，，所以，
又，设直线BD与平面BEF所成角，
则.
（3）假设存在，设，则，
所以，
设平面DHP的一个法向量n1=x1,y1,z1，因为，
所以，即，
令，则，，
所以，
由（2）问可知：平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得或（舍），
所以存在点，使得满足要求，此时，即.
19．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据双曲线的几何性质求的值，写出的标准方程；
（2）设出的方程及点的坐标，写出根与系数的关系，求出的值，
（3）先求出切线方程，结合两直线方程求出，再利用根与系数的关系、两点间距离公式求出、，根据切割比定义求解.
【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，所以，
所以的离心率为，所以，，
故的标准方程为．
（2）由（1）知，由题意知的斜率不为0，
设的方程为，，，
联立方程，得，得，
所以，
，，
所以
，得证．
（3）由题意知，显然在点处的切线的斜率存在，
设在点处的切线方程为，即，
代入，消去得，
因为与相切，所以，解得．
所以在点处的切线方程为．
易知直线的斜率，
可设直线的方程为，，．
由方程组，解得，
所以点的坐标为，所以．
由方程组，消去可得，
则，
所以，，
所以，
同理可得，
所以
，
所以，即．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定值问题的解题步骤
（1）选取变量：设点的坐标、直线的方程，设直线方程时注意斜率不存在的情况；
（2）代换变量：联立方程，写出判别式，得到根与系数的关系；
（3）表达变量：根据所求定值问题，表示出斜率、弦长、面积等；
（4）解出定值：最后通过消参得到所求定值．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
D
C
B
A
D
ABD
ACD
题号
11









答案
ACD