山西省太原市某校2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份山西省太原市某校2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．乘积的展开式中项数为（ ）
A．38B．39C．40D．41
2．若，则（ ）
A．380B．190C．188D．240
3．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记，，则（ ）
A．B．C．D．
4．若随机变量X的分布列如下：
则（ ）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
5．若是离散型随机变量，，又已知，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．
6．在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（ ）项.
A．B．C．2或3D．3或4
7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的数学期望，则P的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去公司，则不同的安排方式有（ ）
A．种B．种C．种D．种
二、多选题（本大题共3小题）
9．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．2024年6月嘉兴市普通高中期末检测的数学试卷采用新结构，其中多选题计分标准如下：①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；②部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择1个选项，乙同学在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择2个选项，甲、乙两位同学的得分分别记为和，则（ ）
A．B．
C．D．
11．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
A．
B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C．记第行的第个数为，则
D．第20行中第12个数与第13个数之比为
三、填空题（本大题共3小题）
12．某次演出已排好5个节目，后增加甲、乙、丙3个节目，要求在不改变原来节目的顺序前提下，且增加的节目不能排在第一个和最后一个，则演出顺序不同的排法有 种．
13．的展开式中常数项为
14．有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的放法有 种（一个抽屉可放多本书）．（用数字作答）
四、解答题（本大题共5小题）
15．某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：
（1）李明在一年内参加考试次数X的分布列；
（2）李明在一年内领到资格证书的概率．
16．按下列要求分配6本不同的书，分别有多少种不同的分配方法（用数字作答）．
(1)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(2)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(3)分成3份，1份4本，另外2份每份1本；
(4)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
(5)甲得1本，乙得1本，丙得4本．
17．某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在，两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子．
(1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；
(2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率．
18．已知展开式的二项式系数和为512，．
(1)求的值；
(2)求系数绝对值最大的项.
19．手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大致分为三个环节，简记为工序，工序，工序．经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，需另付聘请费用100元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用．
(1)求小李独立成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率；
(3)为了使小李获得收益的期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由．
参考答案
1．【答案】C
【详解】从第一个括号中选一个字母有2种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，从第三个括号中选一个字母有5种方法，根据分步乘法计数原理可知共有项.
故选C.
2．【答案】B
【详解】由，得，所以.
故选B
3．【答案】D
【详解】记事件，包含的基本事件数是，，，共3个基本事件，
事件，包含的基本事件数是，，共2个基本事件，
所以．
故选D.
4．【答案】B
【详解】由题可得，解得．
由，可得或4，
则（或）．
故选B
5．【答案】B
【详解】，故随机变量的值只能为，
，解得或，
所以.
故选B.
6．【答案】D
【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则，
的展开式的通项公式，
设展开式中系数最大项是，则，即，
解得，而，因此或，，，
所以展开式中系数最大的项是第3或4项.
故选D.
7．【答案】C
【详解】根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即，发球次数为2即二次发球成功的概率为，发球次数为3的概率为，则期望
，依题意有，
即，解得或，结合p的实际意义，可得.
故选C．
8．【答案】D
【详解】因为甲和乙都不能去公司，对公司去的学生人数进行分类讨论：
若去公司只有个人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司，
此时有种不同的安排方式；
若去公司有人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司，
此时有种不同的安排方式；
若去公司有人，只需将甲、乙两人分配给、公司即可，每个公司个人，
此时有种不同的安排方式.
由分类加法计数原理可知，不同的安排方式种数为种.
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】对于A：，，
所以，故A错误；
对于B：，，∴，
，故B正确；
对于C：，，∴，故C正确.
对于D：，
，∴，∴，
∴，所以D正确.
故选BCD.
10．【答案】AD
【分析】对于甲同学得分和乙同学得分，分有两个正确选项和三个正确选项两种情况计算出，的概率，求得、的分布列，进而求得，，对四个选项进行判断.
【详解】
的分布列为
由此可得,
.
的分布列为
由此可得，
.
故AD正确，BC错误，
故选AD.
11．【答案】AB
【详解】对于A：
，A错误；
对于B：第2023行中的数为的展开式的二项式系数，
则从左往右第1011个数为，第1012个数为，，B错误；
对于C：第行的第个数为，
则，C正确；
对于D：第20行中的数为的展开式的二项式系数，
则从左往右第12个数为，第13个数为，
则，D正确.
故选AB.
12．【答案】120
【详解】根据题意，用逐个插空法，则不插入两端的不同的排法有种.
13．【答案】
【详解】展开式的通项，
若，则得，所以舍去，
若，则得，此时，
所以的展开式中常数项为．
14．【答案】125
【详解】根据题意，每本书都有5个抽屉可选，所以共有种方法.
15．【答案】（1）分布列见解析；（2）
【详解】解：（1）的取值分别为1，2，3．
，，
所以李明参加考试次数的分布列为：
（2）李明在一年内领到资格证书的概率为：
16．【答案】(1)360种
(2)90种
(3)15种
(4)90种
(5)30种
【详解】（1）由于甲、乙、丙是不同的三人，分配给三人，共有（种）分配方法．
（2）分配给三人，故共有（种）分配方法．
（3）共有（种）分组方法．
（4）分配给三人，共有（种）分配方法．
（5）甲选1本有种方法，乙从余下的5本中选1本有种方法，余下的4本留给丙有种方法，故共有（种）分配方法．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设事件表示“甲第次从箱中取到论述题”，，
则；
（2）设事件为“丙从箱中取出的第一道题是选择题”，
事件为“乙从箱中取出2道选择题”，
事件为“乙从箱中取出1道选择题和1道论述题”，
事件为“乙从箱中取出2道论述题”，
则，，，
则
，
即丙取出的第一道题是选择题的概率为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由二项展开式的系数和为，于是，解得，
设，于是，
二项展开式的通项，令，则.
（2）展开式中第项的绝对值为，记，
则，
令，解得，即时；
令，解得，即时，.
于是，且，即最大，
故原式中最大，最大项为
19．【答案】(1)
(2)
(3)小李需要聘请一位技术员，理由见解析
【详解】（1）设事件“小李独立成功完成三道工序”
则．
（2）设事件“小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，成功完成三道工序”，
当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：，
当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：，
当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：，
故．
（3）若小李没有聘请技术员参与比赛，设小李最终收益为，
，所以，
若小李聘请一位技术员参与比赛，设小李最终收益为，
有如下几种情况：
技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时，
由（1）知，，
技术员参与补救并成功完成三道工序，此时，由（2）知，
技术员参与补救但仍未成功完成三道工序，此时，
，
所以，
因为，所以小李需要聘请一位技术员．
1
2
3
4
0.1
0.4
0.3
0
4
6
0
4
6
1
2
3
P
0.6
0.28
0.12