山西大同某校2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份山西大同某校2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若函数在处的导数等于，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6．现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最小值为3”，事件“两次点数的最大值为6”，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，是的中点，，若，则的值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．函数的部分图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
6．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）．
A．B．C．2D．
7．展开式中 的系数为（ ）
A．B．C．30D．90
8．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则当取得最小值时，的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（ ）
A．B．
C．D．
10．对任意实数，有.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．在等比数列中，，，则 ．
13．某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有 .
14．函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
(1)求n的值；
(2)求展开式中所有二项式系数的和；
(3)求展开式中所有的有理项．
16．如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)若，，，求二面角的余弦值．
17．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
18．已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)与直线平行的直线交于两点（均不与的顶点重合），设直线，的斜率分别为，证明：为定值．
19．设函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.
【详解】由已知得
．
故选D．
2．【答案】C
【详解】事件表示两次点数的最小值为3，最大值为6，有，共2种情况，
事件包含，共7种情况，
所以.
故选C
3．【答案】C
【详解】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，
故有，即，，
所以，所以.
所以的范围为.
故选C.
4．【答案】B
【详解】
如图，因为，所以点为线段的中点，则有,
因为是的中点，所以，
所以.
所以，.
故选B.
5．【答案】C
【详解】因为的定义域为R.定义域关于原点对称，
，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D，
当时，令可得或，
所以时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A，
故选C.
6．【答案】A
【详解】∵，设为所求的点，
则
得，，则点P到直线的最小距离为．
故选:A.
7．【答案】D
【详解】，
的通项公式为，
令，则，则，
令，则，则，
所以展开式中 的系数为.
故选D.
8．【答案】A
【详解】由过点的直线可设为，与抛物线，联立消去x得：
，
设交点，则
，由
，
取等号条件是，
此时.
故选A.
9．【答案】AD
【详解】由题意知，，
，，
，，
，
.
故选.
10．【答案】ACD
【详解】对任意实数x有
，
所以，故A正确；
令，可得，故B不正确；
令，可得，故C正确；
令，可得，故D正确．
故选ACD．
11．【答案】ACD
【详解】解：因为，即，
所以，，
解得，故A正确；
由此可得，，，，
……
所以当为奇数时，为偶数，为奇数，
所以，，
所以，
所以数列是等比数列，首项为，公比为2，
所以，所以，
所以，故B错误；
当为偶数时，为奇数，为偶数，
则，，
所以，
所以数列是等比数列，首项为，公比为2，
所以，
所以，
所以，故C正确；
对于D，
=
=，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】在等比数列中，，则，
设，
设等比数列的公比为，则，
所以，，同号，又，
所以．
13．【答案】72
【详解】先从3个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有种方法，然后将3个不同的商业广告排成一列有种方法，3个不同的商业广告之间有两个空，选择一个将剩下的一个公益广告安排进去即可，所以总共有：种方式.
14．【答案】
【详解】由题意，，设，则问题可转化为.
因为是上的增函数（增+增），所以恒成立.
设，则，时，单调递增，时，单调递减，所以，于是.
15．【答案】(1)5
(2)32
(3)答案见解析
【详解】（1）的展开式的通项为（r＝0，1，2，…，n），
∵展开式中的第二项和第三项的系数相等，
∴，即，∴n2－5n＝0，解得n＝5或n＝0（舍）；
（2）展开式中所有二项式系数的和为；
（3）二项式展开式的通项为（r＝0，1，2，…，5），
当r＝0，2，4时，对应项是有理项，
所以展开式中所有的有理项为，，．
16．【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）如图，取为内一点，作，交于点，作，交于点．
因为平面平面且平面平面，平面，
所以平面．
因为平面，
所以，同理得．
因为，且平面，
所以平面．
（2）因为，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示．
由题意，得，，，，
则，，，．
设平面的法向量为，则
令，则，，所以．
设平面的法向量为，则
令，则，，所以．
设二面角的平面角为，则由图可得．
故二面角的余弦值为．
17．【答案】(1)分布列见解析，1
(2)（ⅰ）；（ⅱ）1100
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
18．【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【详解】（1）因为直线经过椭圆的右顶点和上顶点，
当时，，当时，，则，，
所以，，
所以椭圆的标准方程为．
因为，所以椭圆的离心率为．
（2）
由（1）知直线的斜率为，
设直线的方程为，Mx1,y1，Nx2,y2，
联立方程组，消去得，则．
因为，，所以，
因为，
且，所以，
所以，即为定值．
19．【答案】(1)答案见解析
(2)存在，的最小值为0
【详解】（1）因为，
所以，
①当时，由，解得；
②当时，由，解得；
③当时，由，解得；
④当时，由，解得；
⑤当时，由，解得，
综上所述，当时，的增区间为；
当时，的增区间为；
时，的增区间为.
（2）当时，，所以，
而，
因为均为上的增函数，
故为上的增函数，
而，，
故在上有且只有一个零点，
且且时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
因为，所以，
所以，
而整数，使得关于x的不等式有解，故，
故存在整数满足题意，且的最小值为0.0
1
2