新高考数学一轮复习考点题型训练 7.8空间几何体中求距离（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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【知识必备】
1．点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设eq \(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq \(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq \r(|\(AP,\s\up6(→))|2－|\(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq \r(a2－a·u2).
2．点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq \(QP,\s\up6(→))的长度，因此PQ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
【题型精讲】
【题型一 点线距】
例1 （2022·陕西安康·高三期末）在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，得，，，
，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离为故选：B
例2 （2022·江苏南通市高三模拟）如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点Р到直线的距离的最小值为_______.
【答案】
【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
因点P在线段上，则，，
，向量在向量上投影长为，
而，则点Р到直线的距离
，当且仅当时取“=”，
所以点Р到直线的距离的最小值为.
故答案为：
【跟踪精练】
1. （2022·陕西高三模拟）设为矩形所在平面外的一点，直线平面，，，.求点到直线的距离.
【答案】.
【解析】因为平面，所以，
所以，
因为四边形为矩形，所以,
所以,
因为，，
所以在上的射影长为，又，
所以点到直线的距离.
故答案为：
2. （2022·海原县高三模拟）已知棱长为1的正方体ABCD－EFGH，若点P在正方体内部且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，则点P到AB的距离为( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(\r(181),12)
C.eq \f(10\r(30),6) D.eq \f(\r(5),6)
【答案】A
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)(1,0,0)＋eq \f(1,2)(0,1,0)＋eq \f(2,3)(0,0,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3))).
又eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))在eq \(AB,\s\up6(→))上的投影为eq \f(\(AP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(3,4)，
∴点P到AB的距离为eq \r(|\(AP,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))2)＝eq \f(5,6).
【题型二 点面距】
例3 （2022·全国高三模拟）如图所示，在长方体中，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】设点E到平面的距离为h，
因为点E是棱的中点，
所以点E到平面的距离等于点B到平面的距离的一半，
又平面过的中点，
所以点B到平面的距离等于点D到平面的距离，
由等体积法，
所以，
，，
在中，，
所以，
则解得，
即点E到平面的距离为.故选：B.
例4 （2022·河北衡水中学高三模拟）在直三棱柱中，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，，，求点到平面的距离.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】（1）连结交于点，连结，因为点分别是的中点，所以，且，所以，即四边形是平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面；
（2）因为，则,,，所以，所以，,因为，且，，所以平面，因为，所以点到平面的距离为1，，根据等体积转化可知，即，解得：，所以点到平面的距离为.
【跟踪精练】
1. （2022·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：因为平面，平面，
所以.
在中，，，，
所以.
所以.
因为，，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，，，
如图，以为原点建立空间直角坐标系.
则，，，.
，.
设平面的法向量为，
则即
令，则，，
所以.
又因为，
故点到平面的距离
.
2. （2022·全国高三模拟）如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直且长度分别为1，2，2，，．
（1）若中点为，证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
因为，，的长度分别为1，2，2，且，
则，，，，，
又是的中点，所以，
所以，由已知可得平面的一个法向量为，
则，
所以，又平面，
所以平面；
（2）解：设平面的法向量为，
因为，，
则有，即，
令，则，，故，
又，
所以点到平面的距离．
【题型三 线线距】
例5 （2022·江西高三模拟）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，则，，
设和的公垂线的方向向量，
则，即，令，则，
，.故选：D.
例6 （2022·重庆八中高三阶段练习）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
【答案】
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，则有：
，，，，，
可得：
设，且
则有：，
可得：
则有：
故
则当且仅当时，
故答案为：
【题型精练】
1．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥中，，，.记中点为，中点为
（1）求异面直线与的距离；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
三棱锥三组对棱相等，因此三棱锥的外接平行六面体为长方体，将三棱锥放在长方体中研究
设长方体的三维分别为、、且，即，解得：
因此以为坐标原点，长方体在处的三条棱的方向为正方向建立空间直角坐标系，则
，，，，，，
（1） ，，
设垂直于和，
所以，
令，，，所以 ，
而，因此所求距离为：
（2），，
设平面的一个法向量为，
则 ，令，则，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则 ，令，则，，
所以，
所以，
所以所求角的余弦值为.
2. （2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中，侧面底面，是边长为2的正三角形，已知点满足.
（1）求二面角的大小；
（2）求异面直线与的距离；
（3）直线上是否存在点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）（3）存在点，其坐标为，即恰好为点
【解析】（1）侧面底面，又均为正三角形，取得中点，连接，，
则底面，
故以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
则
设平面的法向量为
取，可得
又平面的一个法向量为
由图知二面角为锐角，故二面角的大小为.
（2）异面直线与的公垂线的方向向量，则
易得，异面直线与的距离
（3），而
又，点的坐标为
假设存在点符合题意，则点的坐标可设为
平面为平面的一个法向量，
由，得.
又平面，
故存在点，使平面，其坐标为，即恰好为点.
【题型四 线面距】
例7（2022·山东·模拟预测）如图，已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点又知.
(1)求证:平面;
(2)求到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：∵在底面上的射影为的中点，∴平面平面，∵，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，且，平面，∴平面．
（2）解：取的中点，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，∵平面，平面，∴，∴四边形是菱形，∵是的中点，∴，∴，，，，∴，，设平面的法向量，则，，取，，到平面的距离．，平面，平面 平面，到平面的距离等于到平面的距离.
【题型精练】
1. （2022·广东佛山市高三模拟）如图，在梯形ABCD中，，，，平面ABCD，且，点F在AD上，且．
(1)求点A到平面PCF的距离；
(2)求AD到平面PBC的距离．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)连接AC，因为平面ABCD，又平面ABCD，
∴PA⊥CF，又，，
∴平面PAC，又平面PFC，
∴平面PFC⊥平面PAC，平面PFC⊥平面PAC=PC，
过点A作AH⊥PC于H，则AH⊥平面PFC，
故AH即为所求，
∵在梯形ABCD中，，，，，
∴，
∴在中，，
∴，即点A到平面PCF的距离为；
(2)∵，平面PBC，平面PBC，
∴平面PBC，
过点A作AE⊥PB于E，又因为平面ABCD，则BC，
又AB⊥BC，，
∴BC⊥平面PBA，则BC⊥AE，又
∴AE⊥平面PBC，即AE的长为AD到平面PBC的距离，
在等腰直角三角形PAB中，，
∴，
故AD到平面PBC的距离为
2. （2022·云南昆明市高三模拟）如图，在长方体中，，，.
(1)求直线与平面所成的角的大小；
(2)求直线到平面的距离.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)在长方体中， 平面,
即 平面，则 即为直线与平面所成的角，
由于，，故，
即直线与平面所成的角为；
(2)在长方体中，
由于 ,故四边形是平行四边形，
故，而平面，平面，
故平面，则点B到平面的距离即为直线到平面的距离.；
而 ,
故 ,
设点B到平面的距离为h，
则,即 ,
则 ，
即直线到平面的距离为.
【题型五 面面距】
例8（2022·山东·模拟预测）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：由直三棱柱的性质得平面平面，
又，平面平面，平面，
平面，
又平面，
，
，
在和中，，
，即，
又，平面
平面．
(2)解：由题意知，
在中，，
又，，
平面，平面，
平面，
、分别为、的中点，
，又，
，
平面，平面，
平面，
平面，平面，，
平面平面．
平面，平面平面，
平面，
为平行平面与之间的距离，
，
即平面与之间的距离为．
【题型精练】
1. （2022·广东佛山市高三模拟）在棱长为的正方体中，、、、分别为、、、的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面之间的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：因为、分别为、的中点，则．
又因为平面，平面，所以平面．
因为，，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，所以，平面．
又因为，所以平面平面．
(2)解：连接分别交、于点、，则为的中点，且，
因为平面，平面，，
又因为，，平面，
因为平面平面，所以，平面，
所以线段的长度等于平面与平面之间的距离，
因为、分别为、的中点，则且，
且有，则，
因为正方体的棱长为，所以，
即平面与平面之间的距离为．
2. （2022·云南昆明市高三模拟）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点.
(1)证明：平面EB1D1平面FBD；
(2)求平面EB1D1与平面FBD之间的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)若为中点，连接，又F是CC1的中点，
所以，，故为平行四边形，
所以，又E是AA1的中点，易知：，
所以，
正方体中，而，面，
由面，则面，同理面，
又，面，故平面EB1D1平面FBD；
(2)由（1）知：平面EB1D1与平面FBD之间的距离等于到面的距离，
而，而，，故△中BD的高为，
所以，
而，到面的距离，
所以，可得，
故平面EB1D1与平面FBD之间的距离为