新高考数学一轮复习考点题型训练 7.7空间几何体中求夹角（精练）（2份，原卷版+解析版）

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【题型一 异面直线所成的角】
1.（2022·陕西安康·高三期末）如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图，
∵E是BC的中点，
∴∥，,,;
在中，由余弦定理可知
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为，
解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知，，，
所以，，
则，
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为.故选：D
2.（2022·江苏南通市高三模拟）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，
所以，
因为M为BC中点，N为AD中点，
所以有，
，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，故选：B
3. （2022·陕西高三模拟）已知圆锥的顶点为，高和底面的半径之比为，设是底面的一条直径，为底面圆周上一点，且，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆锥底面圆的圆心为，设圆锥的底面圆的半径为，以圆锥底面圆的圆心为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则、、、，
，，
所以，，
，所以，，
因此，异面直线与所成的角为.故选：A.
4. （2022·海原县高三模拟）四棱锥P﹣ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则CQ与PA所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】以为轴建立空间直角坐标系，如图，设，
则，，，，为中点，则，
，设，，
，，
因为平面，即与共面，
所以存在实数，使得，
所以，解得，，
，又，
．
所以CQ与PA所成角的余弦值为．
故选：D．
5. （2022·山西·太原五中高一阶段练习）已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________.
【答案】
【解析】设A在面内的投影为E，故E为三角形BCD的中心，
设正四面体的棱长为，球的半径为.
则，，
依题可得，球心在上，，代入数据可得，
则，，
又，，
故的轨迹为平面BCD内以E为圆心，为半径的圆，
，
三点共线时，且P在BE之间时，的最小值是.
以E为圆心，BE所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，
，，，，
设，，
故，，
设直线与直线所成角为，
∵，
∴，
又，故，
故答案为：，.
【题型二 直线与平面所成的角】
1.（2022·全国高三模拟）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，且.
(1)求证：平面平面；
(2)若，，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，所以，
又因为平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面.
得证.
(2)如图，以为坐标原点，分别以、、所在的直线为坐标轴正方向建立空间直角坐标系，则点，，，，则
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令可得平面的法向量为，
设直线PB与平面ADP所成角为，则
.
直线PB与平面ADP所成角的正弦值为.
2.（2022·河北衡水中学高三模拟）如图，在三棱锥中，，点O､M分别是､的中点，底面.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：连接OB,由,O为AC的中点，得，
又底面，故,
∵点M为的中点，∴,
又∵，∴,，故平面.
(2)解法一：由（1）知平面,且 ,
又，面,平面，
∴面，则点A到面的距离就是点B到面的距离.
设直线与平面所成角为 ，，
∴与面所成的角的正弦值为，
故与面所成的角的大小为.
解法二：设点A到面的高为h，而 ,
由得，则，
设直线与平面所成角为 ，，
∴与面所成的角的正弦值为，即所成的角的大小为.
解法三：如图，以O为坐标原点，以OB,OC,OS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则 ,
则 ,
由（1）可知为平面SOM的一个法向量，
设直线与平面所成角为 ， ，
则 ,
故，即直线与平面所成角为.
3. （2022·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，为线段PD的中点．
（1）求证：
（2）求直线PB与平面CFB所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在中，因为，
所以，所以，
因为，
所以平面，因为平面PAD，所以．
（2）由（1）知，
以所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
在中，因为，所以，
所以；因为平面，平面，所以.
因为，所以平面
可得
因为，所以，
所以，，.
设平面的一个法向量为，则，
所以，令，则4，所以
设直线与平面所成的角为，
则
4. （2022·全国高三模拟）在长方体中，已知，为的中点.
（1）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由；
（2）设，，点在上且满足，求与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）存在，证明见解析；（2）.
【解析】（1）存在，当点为线段的中点时，平面平面.
证明：在长方体中，，.
又因为平面，平面，
所以平面.
又为的中点，为的中点，
所以，且.
故四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
又因为，平面，平面，
所以平面平面.
（2）在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
因为，，所以，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，即.
令，则，，所以，
因为，设，则，
所以，则.
设与平面所成角为，
则，
即.
故与平面所成角的余弦值为.
5. （2022·浙江湖州·模拟预测） 已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，是斜边为的等腰直角三角形．
(1)若时，求证：平面平面；
(2)若时，求直线与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)因，，，则有，即有，
又，且，平面，
于是得平面，而平面，
所以平面平面.
(2)在平面内，过B作直线垂直于，交直线于E，有，，如图，
则为二面角的平面角，平面，，于是得，
中，，则，在中，，，，
由余弦定理得，则有，
显然平面平面，在平面内过B作，则平面，
以B为原点，分别以射线为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量，则，令，得
而，设与平面所成的角为，
所以与平面所成的角的正弦值为.
【题型三 平面与平面的夹角】
1.（2022·江西高三模拟）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面平面ABCD，为等边三角形，，，M是棱上一点，且.
(1)求证：平面MBD；
(2)求二面角M－BD－C的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)连接AC，记AC与BD的交点为H，连接MH.
由，得，，又，则，
∴，又平面MBD，平面MBD，
∴平面MBD.
(2)记O为CD的中点，连接PO，BO.
∵为等边三角形，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面ABCD＝CD，
∴平面ABCD.
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为x轴，建立空间直角坐标系，如下图，
则，，，，，
，.
设平面BDM的法向量，则，
取x＝1得，
平面BCD的一个法向量.
设二面角M－BD－C的平面角为θ，则.
∴二面角M－BD－C的余弦值为.
2.（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，平面平面，M是AB的中点．
(1)证明：平面BEF；
(2)若，求平面BEF与平面ABC夹角的大小．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：在等边中，为的中点，所以，
在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，所以平面，
过在平面内作，垂足为，
平面平面，平面平面，平面，，
平面，平面，平面．
(2)解：由题设平面，平面平面，
，
四边形是平行四边形，又且，
所以，
延长，，相交于点，连接，则、分别为、的中点，
则平面与平面所成的角就是二面角，
可知，，所以平面，
是二面角的平面角，
又，，
所以，即平面与平面所成的角为；
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以
因为，，所以，
又，所以平面．
所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
所以，
．
由题设（）．
（1）因为，
所以，所以．
（2）设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．所以，此时
4. （2022·全国·高三专题练习）在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）若为棱上异于的点，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵在梯形中，，，为的中点，
所以且，
∴四边形为平行四边形，所以，
∵平面，平面，所以平面．
（2）解：以为原点，，所在的直线为，轴，建立如图所示空间直角坐标系．
因为，，，
所以，，，，，
则，，，．
设，，则，
．
因为，所以，
即，
化简得，解得（舍）或．
所以，，即．
设为平面的一个法向量，
则，所以，
解得令，得；
设为平面的一个法向量，
则，所以
解得令，得．
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【题型四 空间角的综合运用】
1.（2022·山东·模拟预测）在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①四面体外接球的表面积为
②点与点之间的距离为
③四面体的体积为
④异面直线与所成的角为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于①，取的中点，连接、，则，
因为，所以，，
所以，为四面体的外接球球心，球的表面积为，①对；
对于②③④，过点在平面内作，垂足为点，过点作交于点，
则二面角的平面角为，
在中，，，，则，，
，则，，，
，，，平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的垂线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，则、、、，
，②错，
，，③对，
，，
，故异面直线与所成角为，④错.
故选：B.
2.（2022·福建·三明一中模拟预测）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．
【答案】
【解析】如图所示，连接交平面于，连接，
由题意可知平面，
所以是与平面所成的角，
所以＝.
由可得，即.
在四面体中，, ,
所以四面体为正三棱锥，为的重心，
如图所示：
所以解得 ，,
又因为，
所以 ，
即在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
所以.
故答案为:
3. （2022·广东佛山市高三模拟）（多选）在四边形中(如图1)，，将四边形沿对角线折成四面体（如图2所示），使得，E，F，G分别为的中点，连接为平面内一点，则（ ）
A．三棱锥的体积为
B．直线与所成的角的余弦值为
C．四面体的外接球的表面积为
D．若，则Q点的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】
对于A，如图，取中点，连接，易得，又，平面，则平面，
易得，则，则，
，则，A正确；
对于B，，
则，
则，，则，，
又，
则，即直线与所成的角的余弦值为，B正确；
对于C，易得，，则，取的中点，连接，易得，
则四面体的外接球的半径为，则外接球表面积为，C错误；
对于D，作交延长线于，由A选项知，，又，平面，则平面，
又平面，则，又，则，又，则，
即Q点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，则Q点的轨迹长度为，D正确.
故选：ABD.
4. （2022·云南昆明市高三模拟）（多选）已知正方体的棱长为，则下列命题正确的是（ ）
A．点到平面的距离为
B．直线与平面所成角的余弦值为
C．若、分别是、的中点，直线平面，则
D．为侧面内的动点，且，则三棱锥的体积为定值
【答案】ACD
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
对于A选项，、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，到平面的距离为，A对；
对于B选项，设直线与平面所成角为，
所以，，则，
故直线与平面所成角的余弦值为，B错；
对于C选项，延长、交于点，连接交线段于点，
，则，则，即为的中点，
，，故，C对；
对于D选项，设点，其中，，
，，则，可得，
，则到平面的距离为，
易知是边长为的等边三角形，故，
因此，，D对.
故选：ACD.