新高考数学一轮复习考点题型训练 7.6空间几何体中垂直的判定与性质（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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【知识必备】
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
2．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
知识拓展
1．三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
2．三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
【题型精讲】
【题型一 线面垂直的判定】
技巧方法 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
例1 （2022·陕西安康·高三期末）如图，四棱锥中，平面平面，，，，，求证：平面
【答案】证明见详解
【解析】平面平面，平面平面，，，
平面，又平面，，
又，，，
，，
，，，
又，平面；
例2 （2022·江苏南通市高三模拟）如图①，在菱形中，且，为的中点．将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】连接．
∵四边形为菱形，，∴是等边三角形．
∵为的中点，∴，．
又∵，∴，，
∴，∴，
∵，∴，．
又，平面，平面，
∴平面．
【跟踪精练】
1. （2022·陕西高三模拟）如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，
连接AF，
由题意知为等腰三角形，
而为的中点，所以．
又因为平面平面，且，平面平面，平面，
所以平面．
而平面，所以．
而，平面，所以平面．
连接，则，，
而，，所以且，
所以是平行四边形，
因此，故平面．
2. （2022·海原县高三模拟）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点M在棱上，点N是BC的中点，且满足，证明：AM⊥平面
【答案】证明见解析
【解析】联结AC，由知，，即，
由在直四棱柱中，平面ABCD，则
又，则平面ACM，又平面ACM，
则，又，则，由条件知，
且，故平面；
3. （2022·山西·太原五中高一阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，为中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】因为底面为矩形，所以，
又因为平面平面平面，平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
由，所以，所以，
又因为平面，所以平面．
【题型二 面面垂直的判定】
技巧方法 判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．
(2)面面垂直性质的应用
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．
例3 （2022·全国高三模拟）如图，在三棱柱中，，，，，证明：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接，在中，，，，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以，同理，又，平面,
所以平面,又平面，
所以平面平面.
例4 （2022·河北衡水中学高三模拟）如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，在侧棱上，且，求证：平面平面；
【答案】证明见解析
【解析】∵在正三棱柱中，平面，平面，∴.
∵是棱的中点，为正三角形，∴.
∵，∴平面.
∵平面∴.
又∵，，，∴，，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴.
又∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
【跟踪精练】
1. （2022·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．
(1)求证：直线平面ADF；
(2)求证：直线平面ADF；
(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【解析】(1)证明：在直角梯形中，，，将直角梯形绕边旋转至，
所以，
又，平面，
所以平面；
(2)证明：依题意可得且，
所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面；
(3)证明：因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
过点作，交于点，
若选①，，，所以，
所以，此时，
所以
如图过点作交的延长线于点，
因为平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面，显然平面与平面不垂直；
若选②：，则，所以，，
所以，即，
又，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
若选③：，又，，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
2. （2022·全国高三模拟）如图所示，直三棱柱中，为中点．
(1)求证：平面；
(2)若三棱柱上下底面为正三角形，，，求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)连接，与相交于点F，连接MF，则为的中点，
因为为中点，所以MF是的中位线，所以，
因为平面，平面，所以平面
(2)因为直三棱柱上下底面为正三角形，，，
所以，
所以，
所以，即，
由三线合一可得：，
又因为平面ABC，平面ABC，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以
因为
所以平面，
因为平面，
所以平面平面
【题型三 线线垂直的判定】
例5 （2022·江西高三模拟）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，是线段的中点，是线段靠近点的四等分点，点在线段上，求证：
【答案】证明见解析
【解析】由题意，在直三棱柱中，，
不妨设，则，
由余弦定理可得，因为，可得，
又由是线段的中点，所以，且，
因为平面，平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以,
在直角中，，
因为是线段靠近点的四等分点，可得，
所以,可得，
又由且平面，所以平面，
因为平面，所以.
例6 （2022·重庆八中高三阶段练习）如图，在直四棱柱中，，分别为，的中点，底面是菱形，且，，，证明：
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接，.
四边形是菱形，，
.
又是的中点，.
又，.
是直四棱柱，
平面.
又平面，.
又，平面.
又平面，.
【题型精练】
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝，证明：
【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连，，
∵为等边三角形，且是边的中点，
∴，
∵平面底面，且它们的交线为，
∴平面，则，
∵，且
∴平面，
∴；
2. （2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，， 是的中点，点在棱上．
(1)求四棱锥的全面积；
(2)求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
∴BC⊥BP，∴,
同理可得,
∴
.
(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．
∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．
【题型四 垂直中的探究性问题】
例7（2022·山东·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，， ，，，，为侧棱上一点.
（1）若，求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）在侧棱上是否存在点，使得平面？ 若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，,理由见解析.
【解析】
（1）设，连结，
由已知，，,得
.由,得.
在中，由，得.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，
所以.
在直角梯形中，因，
故，，因，
所以.所以.又，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（3）在平面内作于点，则即为所求的点，
由，，，
得平面.因为平面，所以.又，
所以平面.
由，，，得.
例8（2022·福建·三明一中模拟预测）如图，在直三梭柱中，，，点，分别为和的中点．
（1）棱上是否存在点使得平面平面？若存在，写出的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）存在；；证明见解析；（2）．
【解析】（1）存在点满足题意，且．
证明如下：
取的中点为，连接，，．
则，所以平面．
因为，是的中点，所以．
在直三棱柱中，平面平面，且交线为，
所以平面，所以．
在平面内，，，
所以∽，从而可得．
又因为，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）过点作，垂足为，连接．
设点到平面的距离为．
．
而，．
所以是等腰三角形，腰长为，底边长为，
所以，
因此，解得．
【题型精练】
1. （2022·广东佛山市高三模拟）如图，在直三棱柱中，，点分别为和的中点.，）棱上是否存在点使得平面平面？若存在，写出的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由
【答案】存在点满足题意，且，证明详见解析
【解析】存在点满足题意，且.
证明如下：
取的中点为，连接.
则，所以平面.
因为是的中点，所以.
在直三棱柱中，平面平面，且交线为，
所以平面，所以.
在平面内，，，
所以，从而可得.
又因为，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
2. （2022·云南昆明市高三模拟）如图所示，在几何体中，是等边三角形，平面，，且，试在线段上确定点的位置，使平面，并证明；
【答案】见解析
【解析】当点为的中点时，平面.证明如下：取中点，连接，，
且，又，，
且，四边形为平行四边形，.
又平面，，平面，又CD面BCD,平面平面，是等边三角形，，
又平面平面，平面，平面.
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(m⊂α,n⊂α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))
⇒a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂α,a⊥β))
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))
⇒l⊥α