新高考数学一轮复习考点题型训练 5.4三角形四心和奔驰定理（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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【知识必备】
一、三角形的“重心”
1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成
三角形中线向量式：
2、重心的性质：
（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即.
3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点
= 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②
= 3 \* GB3 ③若或，，则一定经过三角形的重心
= 4 \* GB3 ④若或，，则一定经过三角形的重心
二、三角形的“垂心”
1、垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内；
直角三角形的垂心在直角顶点上；
钝角三角形的垂心在三角形外。
2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论：
1、
2、
3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心
4、奔驰定理推论：，.
三、三角形的“内心”
1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
2、常见内心向量式：是的内心，
（1）（或）
其中，，分别是的三边、、的长，
（2），，则一定经过三角形的内心。
四、三角形的“外心”
1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心
到三角形三个顶点的距离相等
2、常用外心向量式：是的外心，
1、
2、
3、动点满足，，
则动点的轨迹一定通过的外心.
4、若，则是的外心.
五、奔驰定理：是内的一点，且，
则
证明过程：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，
求证：.
延长与边相交于点，
则，
，
∵，
∴，
∴，
所以.
奔驰定理推论：，则
= 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②，，.
【题型精讲】
【题型一 三角形的重心】
必备技巧 三角形的重心
三角形的重心一定在三角形的中线上，所以，在等式中显示出的现象是两个相加的向量，前面的系数相同，还需注意两个系数相同的向量相加的同时还会产生中点．
例1（2022·河南高三月考）已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
【答案】A
【解析】在中，令线段的中点为，由正弦定理，
得，由，
得
即，而，
则，于是得与同向共线，而它们有公共起点，
即动点的轨迹是射线除点A外),又重心在线段上，
动点的轨迹一定经过的重心．
故选：A.
例2 （2022·陕西·交大附中模拟预测）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)[(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)·eq \(OC,\s\up6(→))]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过( )
A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的中点
【答案】C
【解析】取AB的中点D，则2eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，∵eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)[(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq \(OC,\s\up6(→))]，∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)[2(1－λ)eq \(OD,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq \(OC,\s\up6(→))]＝eq \f(2(1－λ),3)eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \f(1＋2λ,3)eq \(OC,\s\up6(→))，而eq \f(2(1－λ),3)＋eq \f(1＋2λ,3)＝1，∴P，C，D三点共线，∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
【跟踪精练】
1. （2022·山东·山师附中模拟预测）已知点P是的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，是边中点，则共线且，
，
所以，D正确，由于选项ABC均不能保证系数相等，故不正确．
故选：D．
2. （2022·云南玉溪·高三月考）是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，且，则点的轨迹一定通过的( )
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【解析】设的中点为．由已知原式可化为．即，所以，所以，，三点共线．所以点在边的中线上．故点的轨迹一定过的重心．
【题型二 三角形的内心】
例3（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈(0，＋∞)，所以λ的方向与的方向相同.
而＝＋λ，
所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
故选：.
例4（2022·福建泉州·模拟预测）为所在平面内一点，，，为的角，若，则点为的( )
A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心
【答案】C
【解析】由正弦定理得，即，由上式可得，所以，所以与的平分线共线，即在的平分线上，同理可证，也在，的平分线上，故是的内心．
【跟踪精练】
1. （2022·全国·高三课时练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
【答案】C
【解析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上，故是的内心.
故选：C.
2. （2022·江苏姑苏·苏州中学高三月考）在中，，，，则直线通过的
A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心
【答案】C
【解析】，，，．即，设，，则，．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形为菱形．为菱形的对角线，平分．直线通过的内心．故选C．
【题型三 三角形外心】
方法技巧 外心结论
外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等．
（1），；；
（2），，；
（3），，．
例5（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】B
【解析】设的中点为，
因为，
所以，
即，两端同时点乘，
所以
，
所以，
所以点在的垂直平分线上，即经过的外心.
故选：B.
例6（2022·山东日照市·高三二模）已知在△ABC中，AB＝1，BC＝eq \r(6)，AC＝2，点O为△ABC的外心，若eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则有序实数对(x，y)为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(3,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))
【答案】A
【解析】取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则eq \(OM,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(ON,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－(xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))eq \(AB,\s\up6(→))－yeq \(AC,\s\up6(→))，eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－(xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－y))eq \(AC,\s\up6(→))－xeq \(AB,\s\up6(→))．由eq \(OM,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))eq \(AB,\s\up6(→))2－yeq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，①，由eq \(ON,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－y))eq \(AC,\s\up6(→))2－xeq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，②，又因为eq \(BC,\s\up6(→))2＝(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))2＝eq \(AC,\s\up6(→))2－2eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))2，所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))2＋\(AB,\s\up6(→))2－\(BC,\s\up6(→))2,2)＝－eq \f(1,2)，③，把③代入①、②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－2x＋y＝0，,4＋x－8y＝0，))解得x＝eq \f(4,5)，y＝eq \f(3,5)．故实数对(x，y)为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(3,5)))．
【题型精练】
1．（2022·河北武强中学高三月考）设为的外心，若，则的值为___________.
【答案】
【解析】
设外接圆的半径为，
因为，所以，
所以，且，
取的中点，连接，则，
因为，所以，即，
所以，
在中由余弦定理可得：
，
在中，由正弦定理可得：，
故答案为：.
2. (2022·全国福建省漳州市高三期末) 在△ABC中，设eq \(AC,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))2＝2eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))，那么动点M的轨迹必经过△ABC的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】C
【解析】设BC边中点为D，∵eq \(AC,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))2＝2 eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))，∴(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝2 eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))，即eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))，∴eq \(MD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，则eq \(MD,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，即MD⊥BC，∴MD为BC的垂直平分线，∴动点M的轨迹必经过△ABC的外心，故选C．
【题型四 三角形的垂心】
例7（2022·全国·高三专题练习）若为所在平面内一点，且则点是的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】D
【解析】，
得，即；
，
得，即；
，
，即，所以为的垂心.
故选：D.
例8 （2022·海南海口·二模）已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λ(eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C))，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【答案】B
【解析】因为eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λ(eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λ(eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C))，所以eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))·λ(eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C))＝λ(－|eq \(BC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|)＝0，所以eq \(BC,\s\up6(→))⊥eq \(AP,\s\up6(→))，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
【题型精练】
1. （2022•南通期末）已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【答案】C
【解析】由得：，
即，故，
故，，
又，，
，即，
同理，即，所以是的垂心．
故选：C.
2. （2022•济南期末）下列叙述正确的是________．
①为的重心．
②为的垂心．
③为的外心．
④为的内心．
【答案】①②
【解析】①为的重心，①正确；②由，同理，，②正确；③．，
与角的平分线平行，必然落在角的角平分线上，③错误；④
为的外心，④错误．正确的叙述是①②．故答案为：①②．
【题型五 奔驰定理】
例9（2022·全国·高三专题练习）（多选题）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABCD
【解析】因为，所以，即，所以，
又由奔驰定理得，
因为不共线，所以，
所以，A正确；
延长分别与对边交于点，如图，
由得，所以，同理，所以是的垂心，
所以四边形中，，所以，B正确；
由得，
所以，
由选项B得，，，
所以，C正确；
由上讨论知，
，
，
所以，
又由选项C：，
得，
由奔驰定理：得，D正确．
故选：ABCD．
例10 （2022·海南海口·二模）已知D为△ABC的边AB的中点，M在DC上满足5eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋3eq \(AC,\s\up7(→))，则△ABM与△ABC的面积比为( )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(2,5) C．eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)
【答案】C
【解析】由5eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋3eq \(AC,\s\up7(→))，得eq \(AM,\s\up7(→))＋eq \(BM,\s\up7(→))＋3eq \(CM,\s\up7(→))＝0，根据奔驰定理得，eq \f(S△ABM,S△ABC)＝eq \f(3,5)．
【题型精练】
1. （2022•南通期末）已知点P，Q在△ABC内，eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(QA,\s\up6(→))＋3eq \(QB,\s\up6(→))＋5eq \(QC,\s\up6(→))＝0，则eq \f(|\(PQ,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|)等于( )
A．eq \f(1,30) B．eq \f(1,31) C．eq \f(1,32) D．eq \f(1,33)
【答案】A
【解析】根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝eq \f(1,2)S△ABC，∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝eq \f(1,6)S△ABC，S△QBC＝eq \f(1,5)S△ABC，∴eq \f(|\(PQ,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,5)－eq \f(1,6)＝eq \f(1,30)．
2. （2022•济南期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则，，
因此，，同理，
于是得，
又，即，由“奔驰定理”有，
则，而与不共线，有，，即，
所以.
故选：A