新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练素养拓展13 三角形中的“四心”问题（精讲+精练）（2份，原卷版+解析版）

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一、三角形的四心定义
外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；
内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；
重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；
二、三角形的重心
（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．
（2）重心的性质：
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
重要结论：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、
、，，则有.
三、三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
注：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
重要结论：若点是△的外心，则 或
；反之，若或
，则点是△的外心。
四、三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
重要结论：若点是△的内心，则有；反之，若，则点是△的内心．
五、垂心
三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.
重要结论：若是△的垂心，则或
，反之，若或
，则是△的垂心．
二、题型精讲精练
【典例1】若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___．
【答案】
【解析】在中，取中点，连接，由重心的性质可得为的三等分点，且，
又为的中点，所以，所以，所以.故答案为：
【典例2】已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】设中点为，所以，
所以，
即，所以，
又由为中点可得点在的垂直平分线上，所以点是的外心，故选：B
【典例3】已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】C
【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向与的角平分线一致，
由，可得，即，
所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C.
【典例4】设为的外心，若，则是的（ ）
A．重心（三条中线交点）B．内心（三条角平分线交点）
C．垂心（三条高线交点）D．外心（三边中垂线交点）
【答案】C
【解析】在中，为外心，可得，
∵，∴，设的中点为，则，，
∴，可得在边的高线上．同理可证，在边的高线上，
故是三角形两高线的交点，可得是三角形的垂心，故选：C

【题型训练-刷模拟】
1.重心
一、单选题
1．（四川省泸州市泸县第五中学2023届高三下学期二诊模拟考试文科数学试题）已知△ABC的重心为O，则向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】△ABC的重心O为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点，根据向量线性运算的几何表示结合条件即得.
【详解】设分别是的中点，
由于是三角形的重心，
所以.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．垂心C．内心D．重心
【答案】D
【分析】根据向量线性关系可得，结合的几何意义判断所过的点，即可得答案.
【详解】由题设，
而所在直线过中点，即与边上的中线重合，且，
所以P的轨迹一定通过的重心.
故选：D
3．（陕西省西安地区八校2023届高三下学期第二次联考文科数学试题）在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出图形，根据平面向量的线性运算即可求解.
【详解】如图，为的重心，延长交于点，
由题意可知，，
所以，
所以，
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）设为的重心，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.
【详解】因为为重心，
所以，
所以，
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）边长为2的正中，G为重心，P为线段BC上一动点，则（ ）
A．1B．2
C．D．
【答案】B
【分析】建立适当的直角坐标系，根据题意求出点和点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】如图：以所在直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴，建立如图所示直角坐标系，由题意可知：，
因为G为的重心，所以，
因为点为线段上一动点，设点，
所以，，则，
故选：．
6．（陕西省西安市长安区2023届高三一模理科数学试题）在平行四边形中，为的重心，，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】设与相交于点，根据为的重心，化简得到，结合，求得和的值，即可求解.
【详解】如图所示，设与相交于点，由为的重心，
可得为的中点，且，
则，
因为，所以，故.
故选：A.
7．（福建省福州第一中学2023届高三适应性考试（三）数学试题）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解.
【详解】取中点为，
三个式子相加可得,
又
,
故选：D

8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
【答案】B
【分析】设出的中点，利用向量的运算法则化简；据向量共线的充要条件得到在三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项
【详解】解：如图，取的中点，连接，
则．又，
，即．
又，
点在射线上．
故的轨迹过的重心．
故选：B．
9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x＝，y＝，则的值为（ ）
A．3B．4
C．5D．6
【答案】A
【分析】由向量共线的推论知且，结合已知有，再由重心的性质有，根据平面向量基本定理列方程组即可求值.
【详解】由题意且，而x＝，y＝，
所以，
又G是△ABC的重心，故，
所以，可得，即.
故选：A
10．（2023·全国·高三专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】C
【分析】取线段BC的中点E，则．动点P满足：，，则．即可判断出结论．
【详解】取线段BC的中点E，则．
动点P满足：，，
则
则.
则直线AP一定通过△ABC的重心．
故选：C．
11．（江苏省盐城市2022-2023学年高三上学期11月模拟数学试题）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】C
【分析】先利用平面向量基本定理及三点共线得到，利用基本不等式“1的妙用”求出最小值.
【详解】在中，E为重心，所以，
设，，（，）
所以，，所以.
因为M、E、N三点共线，所以，
所以（当且仅当，即，时取等号）．
故的最小值是3．
故选：C．
12．（重庆市第八中学校2023届高三上学期高考适应性月考（二）数学试题）在中，，G为的重心，若，则外接圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】先由条件判定△ABC为等边三角形，再求得△ABC的边长，利用正弦定理求△ABC外接圆的半径即可解决.
【详解】由，可得，则有，
又在中，，G为的重心，则为等边三角形，
∵，则，
∴外接圆的半径为
故选：C．
13．（2023·全国·高三专题练习）记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到，结合余弦定理整理得，从而求得.
【详解】依题意，作出图形，
因为点是的重心，所以是的中点，故，
由已知得，
因为，所以，
又因为点是的重心，所以，则，
又因为，所以，则，
又由余弦定理得，所以，整理得，
因为，令，则，
所以，
则.
故选：D.
.
14．（吉林省吉林市2023届高三第四次调研考试数学试题）点是的重心，，则（ ）
A．32B．30C．16D．14
【答案】A
【分析】利用勾股定理和向量垂直数量积为0，列向量方程求解即可.
【详解】记，
因为是的重心，
所以，，
因为
所以
整理得
所以，解得，即
故选：A
15．（贵州省毕节市2023届高三诊断性考试（三）数学（文）试题）已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解.
【详解】由题意，所以，
即，所以，所以，
又，，
则，
所以，即，
由，，，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
又在上单调递减，，
所以当取最大值时，.
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.
二、多选题
16．（2023·全国·高三专题练习）已知为的重心，，，则的可能取值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】CD
【分析】利用重心性质把用表示后平方求模，得出其取值范围后可得正确选项．
【详解】如图，是的重心，记，
则，
，
又，即，所以，当且仅当时等号成立，
所以．即．只有CD满足．
故选：CD．
17．（重庆市2023届高三学业水平选择性考试模拟调研（二）数学试题）如图，是所在平面内任意一点，是的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用平面向量的线性运算可判断ABC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，由题意可知，、、分别为、、的中点，
所以，，
同理可得，，
所以，，A错；
对于B选项，由重心的性质可知，，，
由A选项可知，，
所以，，B对；
对于C选项，由重心的性质可知，，，
所以，
，C对；
对于D选项，，
同理可得，，
因此，，D对.
故选：BCD.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】BD
【分析】设，利用重心的性质，把用、表示，再由，，三点共线得关于，的方程，再由三角形面积比得关于，的另一方程，联立即可求得实数的值．
【详解】解：如图，，，即，设，则，
三点共线，，，
所以，与的面积之比为，， 即，化简得，解得或3.
故选：BD
三、填空题
19．（山东省济宁市育才中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）在中，为重心，，，则= .
【答案】
【分析】设中点为，根据向量线性表示可得，，然后根据向量数量积的运算律结合条件即得.
【详解】设中点为，
为的重心且，
，，
因为，，
所以.
故答案为：.
20．（黑龙江省齐齐哈尔市2023届高三二模数学试题）已知等边的重心为O，边长为3，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正三角形的性质结合数量积的定义求解作答.
【详解】在等边中，延长交于，如图，
因为为重心，则，，
所以.
故答案为：
21．（2023·全国·高三专题练习）已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则 .
【答案】3
【分析】先由向量的线性运算求得，再由G，D，E三点共线得，即可求得.
【详解】
如图，设F为BC的中点，则，又，，
则，又G，D，E三点共线，∴，即.
故答案为：3.
22．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为的重心，，，则 .
【答案】
【分析】根据及余弦定理建立方程得出，再由余弦定理求解即可．
【详解】连接AO，延长AO交BC于D，
由题意得D为BC的中点，，所以，
因为，
所以，得.
故
故答案为：
23．（江苏省南京市教学研究室2022届高三下学期高考前辅导数学试题）在中，，，，为的重心，在边上，且，则 ．
【答案】
【分析】根据为的重心，得到，再由和，利用等面积法求得，进而得到，方法一：利用基底法求解；方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】解：因为为的重心，
所以，
因为，
所以，则，
因为，所以，
即，
所以，
在中，．
方法一：因为，
，
所以，
．
方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，，
由方法一可知，，
所以．
24．（2023·全国·高三专题练习）设为的重心，若，则 ．
【答案】
【分析】注意到结论“为重心，则”，不妨创设条件：，则可得直角三角形，从而可得.
【详解】因为为重心，则，
又因为，
不妨设，所以，
所以，所以，
所以
故答案为：.
25．（2023·全国·高三专题练习）若点为的重心，且，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】设中点为，连接，可得，，利用平面向量的加法和减法运算得出，，由此可得，化简得出，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值，进而可求得的最大值.
【详解】设中点为，连接，角、、的对边为、、，
，为的中点，所以，，
，即，
，，
可得，，
由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，
所以，.
因此，的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角形中角的正弦值最值的计算，考查了平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
2.外心
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）点是平面外一点，且，则点在平面上的射影一定是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】A
【分析】过点作平面，因为，得到，即可求解.
【详解】如图所示，过点作平面，
可得，
因为，可得，
所以为的外心.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知O为锐角三角形的外心，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的定义和运算运算性质，结合余弦的二倍角公式、三角形外心的性质进行求解即可.
【详解】设锐角三角形的外接圆的半径为，即，
，
，显然是锐角，
因为O为锐角三角形的外心，所以O在锐角三角形内部，
由圆的性质可知：，显然是锐角，
，或舍去，
故选：A
3．（河南省名校青桐鸣2023届高三3月联考理科数学试题）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
【答案】B
【分析】由，利用数量积的定义得到，从而得到点O在边AB的中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断.
【详解】解：根据题意，，即，
所以，则向量在向量上的投影为的一半，
所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，
所以点O为该三角形的外心．
故选：B．
4．（广东省佛山市第一中学2023届高三4月一模数学试题）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
【答案】D
【分析】设线段的中点为，推导出，结合外心的定义可得出结论.
【详解】设线段的中点为，则、互为相反向量，
所以，，
因为，即，
所以，，即，
即，即，
所以，垂直且平分线段，
因此动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心.
故选：D.
5．（山东省滨州市邹平市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）在中，内角所对的边分别为，且，点为外心，则（ ）
A．B．C．10D．20
【答案】C
【分析】结合图形，利用垂径定理得到，再利用向量的线性运算及数量积运算即可求得结果.
【详解】记的中点为，连结，如图，
因为点为的外心，为的中点，所以，则，
所以.
故选：C.
6．（广西南宁市第十九中学2023届高三数学（文）信息卷（三）试题）的外心满足，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】从这个条件可以考虑设的中点为，从而得到三点共线可求.
【详解】设的中点为，则可化为
即为， 三点共线且，为等腰三角形，
由垂径定理得，代入数据得,
解之：，.
故选：B.
7．（重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷））已知点是的外心，，，，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】如图，点O在、上的射影是点、，根据数量积的几何意义求出、，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律得到、的方程组，解得再代入计算可得.
【详解】如图，点O在、上的射影是点、，它们分别为、的中点．
由数量积的几何意义，可得，．
又，所以，
又，
所以，即．
同理，即，解得．
所以．
故选：C.
8．（2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学理科试题）在中，， ，点满足，点为的外心，则的值为（ ）
A．17B．10C．D．
【答案】D
【解析】将用向量和表示出来，再代入得，，求出代入即可得出答案.
【详解】取的中点，连接，
因为为的外心，，
，
，
，
同理可得，
故选：D.
【点睛】本题考查数量积的运算，关键是要找到一对合适的基底表示未知向量，是中档题.
9．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，，点为的外心，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出，再求出，得到,（1），同理得到，（2），解之即得解.
【详解】由题得,
由余弦定理得，
所以，
因为点为的外心，
所以,
所以,（1）
同理,（2）
解（1）（2）得.
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是找到关于的方程，其中一个是根据平面向量的数量积定义得到方程，另外一个是平面向量的线性运算和数量积的运算得到方程.
10．（河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期开学考试数学试题）已知O是的外心,且满足,若在上的投影向量为,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据得到点位置,进而得到是以A为直角顶点的直角三角形,过向作垂线,垂足为,连接,根据在上的投影向量为,找出之间等量关系,进而得到之间关系,根据直角三角形得到,在直角三角形中,即可求得.
【详解】解:由题知,,
所以,
即,所以三点共线,且是的中点,
因为O是的外心,所以是圆的直径,
故是以A为直角顶点的直角三角形,
过向作垂线,垂足为,连接,如图所示:
因为在上的投影向量为,
所以在上的投影向量为:
,
而,
则.
故选:C.
11．（2023·全国·高三专题练习）在中，，为的外心，，，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【分析】设的中点为D,E，将，变为，根据数量积的几何意义可得，同理求得，根据数量积的定义即可求得答案.
【详解】如图，设的中点为D,E，连接OD,OE,则 ,
故，即 ,
即，故,
，即 ,
即，故,
故,
故选：B
12．（2023·全国·高三专题练习）在中，是的外心 ，若，则（ ）
A．B．3C．6D．6
【答案】C
【分析】取中点H，连接，由已知及正弦定理可求，，再根据平面向量的数量积运算求解即可．
【详解】如图，取中点H，连接，
则，，所以，
在中，，，由正弦定理得，
所以，
所以，
故选：C．
13．（福建省厦门第一中学2023届高三下学期4月期中考试数学试题）已知平面向量 ，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出，的夹角，作出平面直角坐标系，表达出各点的坐标，即可求出的值.
【详解】由题意，，
∵，解得：，
∴两向量夹角，
∵，
以为坐标原点, ,垂直于所在直线为,轴建立平面直角坐标系, 如图所示,
则, 设, 由, 知,
解得,
∴
又E为的外心，
∴，
∴为等边三角形,
∴，
∴,
∴.
故选：B.
14．（北京市八一学校2023届高三模拟测试数学试题）已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】由已知可得且，根据已知投影向量可得，进而有，再由即可得求结果.
【详解】由，故为中点，又O是的外心，
易知：，且，
由在上的投影向量，即，
所以，
由图，.
故选：A
15．（安徽省黄山市2022-2023学年高三上学期第一次质量检测数学试题）在中,,O是的外心,则的最大值为（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】C
【分析】取中点为,将写为,展开后,将作为一组基底,将其他向量写为的形式,再将三角形的边和角代入,用余弦定理将边角之间关系代入上式,再用正弦定理求出变量范围,求出最大值即可.
【详解】解:由题知,记的三边为,
因为O是的外心,
记中点为,
则有,
所以
且,
所以
①,
在中,由余弦定理得:
,
即,
即,
代入①中可得:
,
在中,由正弦定理得:
,
所以,
所以,
当时取等,
故的最大值为3.
故选:C
二、多选题
16．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）设点是的外心，且，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若是正三角形，则
D．若，，，则四边形的面积是
【答案】ACD
【分析】分别根据平面向量三点共线定理及三角形外心的性质判断即可求解.
【详解】对选项A：因为，则，，三点共线，且点是的外心，
所以，所以为中点，所以是以为直角顶点的直角三角形，故A对；
对选项B：因为，则，，三点共线，
易知是以为直角顶点的直角三角形，且为的中点，则，，故B错；
对选项C：因为是正三角形，故，则，故C对；
对选项D：因为，故在外，又，
所以，又，，则，故D对.
故选:：ACD.
17．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）设为的外心，，，的角平分线交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】对于A、B：根据题意结合正弦定理可得，结合平面向量的线性运算求；对于C、D：根据外心的性质结合平面向量的数量积运算求解.
【详解】在中，有正弦定理可得，可得，
在中，有正弦定理可得，可得，
因为，，为的角平分线，
可知，
则，
可得，
所以，即，
可得，
故A正确，B错误；
分别取的中点，连接，可知，
因为为的外心，则，
，
所以，
故C正确；D错误.
故选：AC.

18．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，，的面积S满足，点O为的外心，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】已知，结合余弦定理化简求得，再利用三角形面积公式求出，即可判断A；根据平面向量的混合运算法则，计算的值即可判断B；先利用余弦定理求出a的值，再根据正弦定理即可判断C；根据平面向量的混合运算法则，列方程组求出和的值，即可判断D.
【详解】解：对于A，已知，则，
由余弦定理可知，所以，即，
等号两边同时平方，可得，
则，即，
因为，所以，
则，即，
因为，则，
，A选项正确；
对于B，，
因为点O为的外心，所以，，
则，B选项正确；
对于C，由余弦定理，
由正弦定理，则，C选项错误；
对于D，因为，则，
即，所以①，
同理，
即，所以②，
联立①②，解得，，D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题
19．（2023·河北·校联考一模）已知O为的外心，若，且，则 .
【答案】
【分析】由平面向量数量积公式进行求解.
【详解】由圆的性质可得，，
故.
故答案为：
20．（2023·河北·模拟预测）已知为的外心，，，则 ．
【答案】
【分析】由题意画图，然后结合数量积的性质及运算求解即可.
【详解】如图：分别为的中点，则
故答案为：.
21．（2023·全国·高三专题练习）在中，为其外心，，若，则 ．
【答案】
【分析】设外接圆的半径是，对两边同时平方，由数量积的公式可求出，设，则在等腰中，求出，再由求出答案.
【详解】设外接圆的半径是，
．
设，则在等腰中，．
所以．
故答案为：.
22．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）已知O是的外心，，若且，则的面积为 .
【答案】或24
【分析】根据外心特点可知，，利用向量数量积的定义和运算律，结合可构造方程组求得，进而得到，利用三角形面积公式可求得结果.
【详解】为的外心，，
，，
，
即；①
，
即；②
由得，③
把③代入①②得，解得或.
又，
当时，，；
当时，，.
故答案为：或24.
23．（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）已知点O是锐角的外心，，，，若，则 ．
【答案】
【分析】先应用外心是垂直平分线的交点,再应用数量积的几何意义求得和列出方程组求解即可.
【详解】如图，点O在AB、AC上的射影是点D、E，它们分别为AB、AC的中点．
由数量积的几何意义，可得，．
依题意有，即．
同理，即．
将两式相加得，所以．
故答案为: .
24．（2023·全国·高三专题练习）已知是的外心，且，则 ．
【答案】
【分析】设外接圆半径为1，通过移项平方解得，，，再求出，，，再利用向量夹角公式即可求解.
【详解】，即，设，
两边同平方得，解得，
同理可得，，
，
，则，
，，
.
故答案为：.
25．（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则的值为 .
【答案】
【分析】设外接圆的半径为，由已知条件可得，即且，取的中点，连接可得，计算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解.
【详解】
设外接圆的半径为，
因为，所以，
所以，且，
取的中点，连接，则，
因为，所以，即，
所以，
在中由余弦定理可得：
，
在中，由正弦定理可得：，
故答案为：.
3.内心
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，，则直线通过的（ ）
A．垂心B．外心C．重心D．内心
【答案】D
【分析】根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到在的角平分线上，从而作出判定.
【详解】因为,∴，
设,则，
又，
∴在的角平分线上，
由于三角形中,
故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合，
故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心，
故选D.
2．（安徽省淮南市2023届高三上学期一模数学试题）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【答案】A
【分析】根据题意，可得四边形为菱形，即可得到平分，从而得到结果.
【详解】
因为，且D为中点，，
则，
又因为，则可得四边形为菱形，
即为菱形的对角线，
所以平分，即直线经过的内心
故选:A
3．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，根据三点共线可得，结合图像分析运算．
【详解】如图：圆O在边上的切点分别为，连接，延长交于点
设，则，则
设
∵三点共线，则，即
即
故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。
【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）平面内及一点满足，则点是的（ ）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
【答案】B
【分析】由可得，，从而可知，是角平分线，即可得点的性质.
【详解】解：由知，，
即，即 ，则是 的角平分线，
同理，即，则是的角平分线，
则点是的内心.
故选:B.
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的夹角，考查了三角形的“三心”.本题的关键是结合数量积运算得到，.在三角形中，中线的交点为重心，角平分线的交点为内心，高的交点为垂心，三边垂直平分线的交点为外心.
6．（山东省聊城市2021届高三三模数学试题）在中，，，，M为BC中点，O为的内心，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】在直角三角形ABC中，求得内切圆半径，用表示出，而，从而求得.
【详解】由题知，，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径，四边形AEOF为矩形，
则，又
则
则，则
故选：A
【点睛】关键点点睛：求得内切圆半径，得到，从而利用，求得参数值即可.
7．（2023·全国·高三专题练习）若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件，则O是△ABC的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
【答案】C
【分析】由得，即可得平分，
同理证得平分，平分，即可得出答案.
【详解】且，，
化简得，设，又与分别为和方向上的单位向量，
平分，又共线，故平分，同理可得平分，平分，故O是△ABC的内心.
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
【答案】B
【分析】延长AC，使得AC=CD，则，由，得，从而可得AM平分，即可得出结论.
【详解】解：延长AC，使得AC=CD，
则，
因为，所以，
因为，所以，
所以是等腰三角形，
所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分，
直线AM一定经过的内心.
故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为三角形的
A．外心B．垂心C．重心D．内心
【答案】D
【分析】在上分别取单位向量，记，则平分，用表示出，代入条件所给等式，用表示出，则可证明三点共线，即平分.同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.
【详解】在，上分别取点使得，则，作菱形，则由所以为的平分线.因为，所以，所以，所以三点共线，即在的平分线上. .同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.，故选D.
【点睛】本小题主要考查平面向量的加法运算，考查三点共线的证明，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知点O是ABC的内心，若，则cs∠BAC = （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则四边形为菱形，设该菱形的边长为，则，表示出内切圆的半径，根据等积法可以求出的长，然后转化为等腰三角形处理即可
【详解】解：由，设，则四边形为平行四边形，
因为点O是ABC的内心，所以，
所以四边形为菱形，设该菱形的边长为，则，
因为∥，，
所以的内切圆半径，
所以，
所以，解得，
所以为等腰三角形，
所以，
故选：C
二、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，设O为的内心，则的面积为 ．
【答案】
【分析】通过正弦定理和余弦定理可得，通过三角形面积公式可得内接圆半径为，进而可得结果.
【详解】当时，由正弦定，可得，
结合，由余弦定理，解之得，
若O为的内心，则设的内接圆半径为，
由，可得，，
故，∴，
∴，
故答案为：.
12．（2023·天津·三模）设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则 ．
【答案】2
【分析】由O，I分别是三角形的外心和内心，利用与共线得到线段的长度关系，用，表示出相应线段，得到等式.
【详解】
设内切圆半径为r，过O，I分别作BC的垂线，垂足分别为M，D，
则，，
因为与共线，所以，又因为，，
所以，
因为，所以，
即，所以.
故答案为：2
13．（2023·湖北·模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则 ．
【答案】
【分析】根据数量积的定义和三角形的面积公式和余弦定理求，证明为直角三角形，再求内切圆半径，结合向量运算公式求.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，又，，
所以，所以，
由余弦定理可得，又，
所以，又，所以，
所以为以为斜边的直角三角形，
设的内切圆与边相切于点，内切圆的半径为，
由直角三角形的内切圆的性质可得，故，
因为，所以，
因为，所以，所以
所以.
故答案为：.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知G为的内心，且，则 ．
【答案】/
【分析】本题利用结论得，结合本题的条件与正弦定理得，即，同理得到另外两角相等，则得到的大小.
【详解】首先我们证明一个结论：
已知是所在平面上的一点，,,为的三边长，若,则是的内心.
证明:,
则,
等式两边同时除以得，
，
表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量，则由平行四边形定则可知表示的角平分线方向上的向量，
则为的角平分线，同理、分别为的角平分线，所以是的内心.
于是我们得到本题的一个结论．
又∵，
∴由正弦定理与题目条件可知．
由可得，
可得，同理可得，即．
故答案为：.
【点睛】结论点睛：三角形四心与向量的关系结论：
重心：1.已知是所在平面上的一点，若,则是的重心.
2.已知是所在平面上的一点，若,则是的重心.
垂心：1.已知是所在平面上的一点，若,则是的垂心.
2.已知是所在平面上的一点，若
则是的垂心.
内心：本题中的结论.
外心：1.已知是所在平面上的一点，若,则是的外心.
2.已知是所在平面上的一点，若
,则是的外心.
4.垂心
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
【答案】C
【分析】结合向量数量积的运算求得正确答案.
【详解】由题意知，中，，
则，
即，
所以，
即，
同理，，；
所以是的垂心.
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出，知CD正误.
【详解】
依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中、、两两垂直，是在平面内的射影，则是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】D
【分析】连接，利用线面垂直的判定定理和性质定理可以得到，，进而得点是垂心.
【详解】解：连接，
点是在平面内的射影，面，
面，，
∵、、两两垂直，∴，
∵平面，平面，
∴平面，平面，
∵平面，平面，
∴，
面，面，
面，面，
面，面，
；
∴是△的高线的交点，记为垂心．
故选：D

4．（2023·全国·高三专题练习）已知H为的垂心，，，M为边BC的中点，则（ ）
A．20B．10C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的线性运算，，，而，代入计算即可．
【详解】由题意，，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是利用向量加减法法则得到，由，这样＝，这两个向量都可以用表示，这就与已知条件建立了联系．
5．（2023·全国·高三专题练习）若为所在平面内一点，且则点是的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】D
【分析】由得到，从而得到，同理证明即可.
【详解】，
得，即；
，
得，即；
，
，即，所以为的垂心.
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】D
【分析】计算的值，可得出结论.
【详解】因为，
，
，因此，点的轨迹经过的垂心，
故选：D.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知H为的垂心，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】，，利用、得，，解得， 再利用平方共线可得答案.
【详解】依题意，，同理．
由H为△ABC的垂心，得，即，
可知，即．同理有，
即，可知，
即，解得，
，又，
所以．
故选：C．
8．（2023·全国·高三专题练习）设是所在平面上一点，点是的垂心，满足，且，则角的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由向量的减法运算可得，从而可得，设点是边的中点，即，进而点在边的中垂线上，即点是的外心，利用向量的数量积求出的值，从而可得角的大小.
【详解】因为，所以，
即，，
即（点是边的中点），所以点在边的中垂线上.
同理点在边的中垂线上.因此点是的外心.
设外接圆的半径是.
.
故选：D
【点睛】本题考查了向量的减法、向量的加法以及向量数量积的定义，属于中档题.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（ ）
①若，则点为的重心；
②若，，，则；
③若，则点为的垂心；
④若，，且为边中点，则．
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】设中点为，由已知等式可得，由重心性质可知①正确；取中点，中点，由已知等式可得，则可得与到直线距离之比，由此可知②正确；由可得，即，同理得，，由垂心定义知③正确；由已知等式可得，由此知④正确.
【详解】对于①，当时，；
设中点为，则，即，
为的重心，①正确；
对于②，当，，时，，，
取中点，中点，
，，，即，
到直线距离与到直线距离之比为：，即；
又为中点，点到直线距离，，
，即，②正确；
对于③，由得：，
，同理可得：，，
为的垂心，③正确；
对于④，当，，时，，，
又为边中点，，
又，，，④正确.
故选：D.
10．（2023·全国·高三专题练习）若是的垂心，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知条件中的式子化简，得到，再两边同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到，再把化为，整理后得到值.
【详解】在中，，
由，
得，
连接并延长交于，
因为是的垂心，所以，，
所以
同乘以得，
因为，所以，
由正弦定理可得
又，所以有，
而，
所以，
所以得到，
而，所以得到，
故选：C.
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若A、P、Q三点共线，则存在实数使
【答案】BCD
【分析】直接利用三角形的内心，外心，垂心，重心的相关关系，向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．
【详解】解：对于A：给定的，其外心为，所以，故A不正确；
对于B：因为为给定的的垂心，故，
即,
解得：,故B正确；
对于C：因为重心为G，则有，，所以，故C正确；
对于D：由于点在的平分线上，为单位向量，所以与的平分线对应向量共线，所以存在实数使，故D正确．
故选：BCD．
12．（2023·全国·高三专题练习）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
【答案】AC
【分析】运用平面向量共线向量定理即可判断A选项，对于其它选项运用平面向量数量积的运算律及性质逐一判断即可.
【详解】对于A，设边、、的中点分别为、、
,则，所以
所以、、三点共线，即点在中线上，同理点在中线上，
则是的重心.故A正确
对于B，若，则，所以
所以为的外心，故B错误
对于C，设边、、的中点分别为点、、，
则,所以为线段的中垂线，
同理、分别为线段、的中垂线，所以是的外心，故C正确
对于D，由已知，，
即垂直，也即点在边的高上；同理，点也在边的高上，
所以则是的垂心，故D错误.
故选：AC
13．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则点的轨迹不可能经过的外心
B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心
C．若，则点的轨迹不可能经过的重心
D．若，，则点的轨迹一定过的外心
【答案】ABD
【分析】由，结合向量共线的推论判断的轨迹，讨论形状判断A、B正误；根据重心的性质得判断C；根据题设确定，，点的轨迹，讨论形状判断D.
【详解】若，根据向量共线的推论知：共线，即在直线上，
中，则的中点为三角形外心，故有可能为外心，A错；
中或，则或为三角形垂心，故有可能为垂心，B错；
若为的重心，必有，此时，C对；
若，，结合，则点在一个以AB、AC为邻边的平行四边形内（含边界），
为锐角三角形，其外心在内，则必过外心；
为直角三角形，其外心为斜边中点，则必过外心；
为钝角三角形且，其外心在外，即边的另一侧，
如下图示，点在平行四边形内（含边界），
此时，当外心在内（含边界），则必过外心；当外心在外（如下图为的中垂线），则不过外心；
所以，，，的轨迹不一定过的外心，D错.
故选：ABD
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 .
【答案】
【分析】由题可得，，利用，得，，可得， 再利用平方关系结合条件即得.
【详解】因为，
所以，同理，
由H为△ABC的垂心，得，即，
可知，即，
同理有，即，可知，即，
所以， ，又，
所以．
故答案为：.