新高考数学一轮复习考点题型训练 5.4三角形四心和奔驰定理（精练）（2份，原卷版+解析版）

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【题型一 三角形的重心】
1.（2022·河南高三月考）设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】C
【解析】因为，所以，记BC中点为D，则，因为，所以点P的轨迹为射线AD，所以P的轨迹一定通过的重心.
故选：C
2.（2022·陕西·交大附中模拟预测）已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件：
①，②，
③，④
则点分别为的
A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心
C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心
【答案】D
3. （2022·山东·山师附中模拟预测）在△ABC中，，O为△ABC的重心，若，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，即.
因为O为△ABC的重心，且，
所以△ABC为等边三角形.
因为，
所以.
因为，
所以△ABC外接圆的半径为.
故选：B
4. （2022·云南玉溪·高三月考）在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，·＝－1，若O是△ABC的重心，则·＝________.
【答案】5
【解析】如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
∵AB＝1，∠ABC＝60°，
∴.设C(a，0)．∵·＝－1，所以，解得a＝4.
∵O是△ABC的重心，延长BO交AC于点D，所以
.
故答案为：5.
【题型二 三角形的内心】
1.（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）中，a､b､c分别是BC､AC､AB的长度，若，则O是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】




在的角平分线上，同理在的角平分线上，
点为三角形的角平分线的交点
故点是三角形的内心.
故选：B.
2.（2022·福建泉州·模拟预测）已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【解析】，根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，而向量与共线，点的轨迹过的内心，故选C．
3. （2022·全国·高三课时练习）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC内一点M满足：，则M一定为△ABC的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
【答案】D
【解析】由题意可设，，，
其中，，分别为，，方向上的单位向量，
∵，
∴，
则，
∴=.
∴M在∠BAC的角分线上，同理M在∠ABC与∠ACB的角分线上.
∴M为△ABC的内心.
故选：D.
4. （2022·江苏姑苏·苏州中学高三月考）设的角、、的对边长分别为，，，是所在平面上的一点，，则点是的
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【解析】因为，所以，，所以，，所以，，所以，，所以是的平分线，是的平分线，所以点是的内心，故选C．
5. （2022·济南中学高三月考）已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】因为
则,即
移项可得
即
则
因为
所以
化简可得,即
设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量
所以,
则
所以
则在的角平分线上
同理可知 在的角平分线上
因而为的内心
故选:B
【题型三 三角形外心】
1.（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，以下命题正确的是________．（把你认为正确的序号全部写上）．①②③④⑤
①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；
③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；
⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．
【答案】①②③④⑤
【解析】对于①，动点满足，，则点是的心，故①正确；对于②，动点满足，，又在的平分线上，与的平分线所在向量共线，的内心在满足条件的点集合中，②正确；对于③，动点满足，，，过点作，垂足为，则，，向量与边的中线共线，因此的重心一定在满足条件的点集合中，③正确；对于④，动点满足，，，，的垂心一定在满足条件的点集合中，④正确；对于⑤，动点满足，设，则，由④知，，，点的轨迹为过的的垂线，即的中垂线；的外心一定在满足条件的点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．
2.（2022·山东日照市·高三二模）在中，，为的外心，则（ ）
A．－4B．4C．－6D．6
【答案】C
【解析】设的外接圆半径为r，．
由余弦定理得：，即，所以
，即，所以．
所以
因为，，
所以．
故选：C．
3．（2022·河北武强中学高三月考）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是的外心、垂心，且为中点，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合，为的外心，，即为斜边的中点，又为中点，，为中点， ．故选D．

4. (2022·全国福建省漳州市高三期末) 设为的外心，，，分别为角，，的对边，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，因为为的外心，过点作，，
则点分别为的中点，
可得,
同理可得，
又由，
因为，，可得.
故选：A.
【题型四 三角形的垂心】
1.（2022·全国·高三专题练习）三角形所在平面内一点P满足，那么点P是三角形的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
【答案】B
【解析】由于三角形所在平面内一点P满足，
则
即有，
即有，
则点P为三角形的垂心.
故选：B.
2.（2022·海南海口·二模）已知是所在平面内一点，且满足，则点
A．在边的高所在的直线上 B．在平分线所在的直线上
C．在边的中线所在的直线上 D．是的外心
【答案】A
【解析】取的中点，则，，，，，点在边的高所在的直线上，故选A．
3. （2022•南通期末）在中，，，为的垂心，且满足，则___________.
【答案】
【解析】如图所示，为的中点，不妨设，则.因为，则，则，，由此可得.
故答案为：.
4. （2022•济南期末）已知为所在平面内一点，且满足，则点的轨迹一定通过的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【解析】，、，由，得，，即，，则，，．是的垂心．故选D．
【题型五 奔驰定理】
1.（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】如图，设与交于点，
由的面积是的面积的2倍，可得，
所以，
又三点共线，即共线，
所以存在实数使得，
因为，
所以，消去k，可得，
又因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值为1．
故选：A．
2.（2022·海南海口·二模）在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(S△BCD,S△ABD)等于( )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
【答案】B
【解析】由eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(→))得，eq \(DA,\s\up6(→))＋2eq \(DB,\s\up6(→))＋3eq \(DC,\s\up6(→))＝0，根据奔驰定理得，S△BCD∶S△ABD＝1∶3．
3. （2022•南通期末）已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A．B．
C．2D．3
【答案】B
【解析】，
．
如图，，分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，，
故，
在正三角形中，
，
，
且三角形与三角形的底边相等，面积之比为,
所以，得．
故选：B
4. （2022•济南期末）点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为( )
A．eq \f(2,9)，eq \f(4,9) B．eq \f(4,9)，eq \f(2,9) C．eq \f(1,9)，eq \f(2,9) D．eq \f(2,9)，eq \f(1,9)
【答案】A
【解析】根据奔驰定理，得3eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋4eq \(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq \(OA,\s\up6(→))＋2(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋4(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，整理得eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→))，故选A．