新高考数学一轮复习考点题型训练 5.2平面向量的数量积及应用（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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【知识必备】
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角，记作< a，b>．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量的数量积
已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cs θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.
3．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cs θ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cs θ的乘积．
注意：b在a方向上的投影为|b|cs θ＝eq \f(a·b,|a|)，而a在b方向上的投影为|a|cs θ＝eq \f(a·b,|b|)，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.
4．平面向量数量积的重要性质
(1) a⊥b⇔a·b＝0；
(2)当a和b同向时，a·b＝|a||b|；当a和b反向时，a·b＝﹣|a||b|；特别地，a·a ＝|a|2，|a|＝eq \r(a·a)；
(3)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)；
5．平面向量数量积的坐标运算
设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1) a·b＝x1x2＋y1y2， (2) |a|2＝x12＋y12或|a|＝eq \r(x12＋y12). (3) a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4) cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2, eq \r(x12＋y12) · eq \r(x22＋y22) )
【题型精讲】
【题型一 平面向量数量积的计算】
必备技巧 求平面向量数量积的方法
（1）没有向量坐标时，计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
（2）有坐标时，a·b＝x1x2＋y1y2，.
例1（2022·河南高三月考）（1）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))的值为________．
（2）．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的值为__________；eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为________．
例2 （2021·北京高考真题），，，则_______；_______．
【跟踪精练】
1. （2022·陕西·交大附中模拟预测）已知在平行四边形中，，则值为__________．
2. （2022·云南玉溪·高三月考）已知中，，，点是线段的中点，则______．
【题型二 利用数量积求模长】
必备技巧 利用数量积求模长
(1)没有向量坐标时，求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝eq \r(a2)，勿忘记开方.．
(2)有向量坐标时，|a|2＝x12＋y12或|a|＝eq \r(x12＋y12)．
例3（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．3
例4（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量,，若的夹角为，则=___________.
【跟踪精练】
1. （2022·全国·高三课时练习）已知，则（ ）
A．B．C．13D．21
2. （2022·江苏姑苏·苏州中学高三月考）已知非零向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．B．1C．D．2
【题型三 利用数量积求夹角】
方法技巧 利用数量积求夹角
(1)向量有没有坐标时，主要是利用公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.
(2)向量有坐标时，cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2, eq \r(x12＋y12) · eq \r(x22＋y22) )
例5（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）已知非零向量，满足，，则与夹角为______．
例6（2022·山东日照市·高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．（2022·河北武强中学高三月考）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为___________.
2. (2022·全国福建省漳州市高三期末) 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．
(1) 求a与b的夹角θ；
(2) 求|a＋b|；
(3) 若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．
【题型四 利用数量积求解垂直问题】
方法技巧 利用向量数量积求解垂直问题
解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)
例7（2022·全国高三专题练习）已知，若，则x等于（ ）
A．8B．10C．11D．12
例8 （2022·海南海口·二模）已知向量，的夹角为45°，，且，若，则______．
【题型精练】
1. （2022•南通期末）在中，，，若是直角三角形，则的值可以是
A．B．C．D．
2. （2022·河南开封·模拟预测）已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
【题型五 利用数量积求投影】
例9 （2022·江西鹰潭·二模）已知向量，则在方向上的投影为_________
例10 (湖北高考)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )
A.eq \f(3\r(2),2) B.eq \f(3\r(15),2) C.－eq \f(3\r(2),2) D.－eq \f(3\r(15),2)
【题型精练】
1.( 2022·莆田第十五中学高三月考)已知，，，则在方向上的投影等于_______.
2．（2022·新疆克拉玛依·三模）设，是两个非零向量，，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则叫做向量在向量上的投影向量.如下图，已知扇形的半径为1，以为坐标原点建立平面直角坐标系，，，则弧的中点的坐标为________；向量在上的投影向量为________ .