新高考数学一轮复习考点题型训练 5.3等和线和极化恒等式（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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【知识必备】
1.三点共线结论：已知，若，则三点共线；反之亦然
证明
若点A,B,C互不重合，P是A,B,C三点所在平面上的任意一点，且，证明：A，B，C三点共线是的充要条件.
证明:(1)由A，B，C三点共线.由得
.
即，共线，故A，B，C三点共线.
(2)由A，B，C三点共线.
由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得.
故.令，则有.
2. 等和线相关性质
平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。
（1）.当等和线恰为直线AB时，k等于1.
(2).定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
3.极化恒等式：a·b＝eq \f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]
（1）公式推导：
（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq \f(1,4)．
4.三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．
（1）推导过程：由.
（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
【题型精讲】
【题型一 根据等和线求基底系数和的值】
必备技巧 根据等和线求基底系数和的值
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移该线，作出满足条件的等和线；
(3)计算满足条件的等和线的值．
例1（2022·河南高三月考）在平行四边形中ABCD中，E和F分别是CD和BC边上的中点，且,其中，则___________.
例2 （2022·陕西·交大附中模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点．若eq \(AC,\s\up7(→))＝λeq \(AE,\s\up7(→))＋μeq \(AF,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________．
【跟踪精练】
1. （2022·山东·山师附中模拟预测）直角梯形,是边长为2的正三角形，是平面上的动点，，，则的值可以为（ ）
A. 0 B.1 C.2 D.3
2. （2022·云南玉溪·高三月考）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若eq \(BE,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))＋μeq \(BD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )
A．1 B．eq \f(3,4) C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,2)
【题型二 根据等和线求基底的系数和的最值(范围)】
必备技巧 根据等和线求基底的系数和的最值(范围)
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值．
例3（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）给定两个长度为1的平面向量eq \(OA,\s\up7(→))和eq \(OB,\s\up7(→))，它们的夹角为eq \f(2π,3)，如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动，若eq \(OC,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋yeq \(OB,\s\up7(→))(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________．
例4（2022·福建泉州·模拟预测）在△ABC中，，AB＝3，AC＝1，点P是△ABC所在平面内一点， ，且满足，若，则3x＋y的最小值是( )．
A． B． C．1 D．
【跟踪精练】
1. （2022·全国·高三课时练习）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq \(AP,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋μeq \(AD,\s\up7(→))，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2eq \r(2) C．eq \r(5) D．2
2. （2022·江苏姑苏·苏州中学高三月考）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，则m＋n的取值范围是________．
【题型三 极化恒等式处理数量积的定值问题】
方法技巧 利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；
(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．
例5（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝4，eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝－1则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))的值是____．
例6（2022·山东日照市·高三二模）】如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝2，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))的值是( )
A．44 B．22 C．24 D．72
【题型精练】
1．（2022·河北武强中学高三月考）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝－7，则eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的值是________．
2. (2022·全国福建省漳州市高三期末) 在△ABC中，|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))等于( )
A．eq \f(8,9) B．eq \f(10,9) C．eq \f(25,9) D．eq \f(26,9)
【题型四 极化恒等式处理数量积中的最值范围问题】
方法技巧 利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；
(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．
例7 (全国Ⅱ高考)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值是( )
A．－2 B．－eq \f(3,2) C．－eq \f(4,3) D．－1
例8 （2022·海南海口·二模）在 正三角形ABC 中，点E，F是线段AB,AC的中点，点P在直线EF上，若三角形ABC的面积为2，则的最小值是
【题型精练】
1. （2022•南通期末）在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))2的最小值是________．
2. (天津高考)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且|eq \(MN,\s\up6(→))|＝1，则eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))的最小值为________．