新高考数学一轮复习考点题型训练 2.8函数零点的6大题型（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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【知识储备】
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0))的零点；
【解析】当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍)；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点为－3和e2.
例2 （2022·全国高三专题练习）已知函数则函数的所有零点之和为___________.
【答案】
【解析】时，，，由，可得或，或；
时，，，由，可得或，或；
函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为
故答案为：．
【题型精练】
1.（2022·上海高三期末）已知函数，则该函数的零点是_________.
【答案】
【解析】函数的零点即为相应方程的根，所以要求函数的零点，
即x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，又，所以舍去，＝0，又，可得x，
所以函数的零点为．故答案为：．
2.（2022·北京高三专题练习）函数的零点是_______.
【答案】
【解析】解：，即，，
因为，所以，对两边取以3为底的对数得，，故答案为：
【题型二 求函数零点所在的区间】
必备技巧 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0的图像，x>2时，f(x)＝eq \f(1,2)f(x－2)，则x∈(2，4]的图像只需将x∈(0，2]的图像纵坐标缩为一半即可．正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像．通过数形结合可得共有7个交点．
在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间．
【题型精练】
1. （2022·山东青岛高三二模）已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为________．
【答案】 5
【解析】令y＝2f2(x)－3f(x)＝0，则f(x)＝0或f(x)＝eq \f(3,2)．函数f(x)＝的图象如图所
示：由图可得，f(x)＝0有2个根，f(x)＝eq \f(3,2)有3个根，故函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为5．
2．（2022·浙江省高三二模）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋1，x≤0，,lg2x，x＞0，))，则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数判断正确的是( )
A．当a>0时，有4个零点；当a0时，有3个零点；当a0时，如图1所示，先拆外层可得t1＝－eq \f(2,a)＜0，t2＝eq \f(1,2)，如图2所示，而t1有两个对应的x，t2也有两个对应的，共计4个；当a