新高考数学一轮复习考点题型训练 3.7利用导数研究函数零点（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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【知识储备】
对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．
对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情况最为常见．
分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数的图象与轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．
1．下凸函数定义
设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，，总有，当且仅当时取等号，则称为上的下凸函数．
2．上凸函数定义
设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，，总有，当且仅当时取等号，则称为上的上凸函数．
【题型精讲】
【题型一 零点的个数问题】
方法技巧 零点的个数问题
讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况，根据零点存在定理判断（证明）零点的存在性，确定函数零点的个数.
例1 （2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
【题型精练】
1．（2022·天津·崇化中学期末）已知函数f(x)＝ln x＋eq \f(1,ax)－eq \f(1,a)，a∈R且a≠0.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))时，试判断函数g(x)＝(ln x－1)ex＋x－m的零点个数．
2. （2022·山东济南高三期末）已知函数f(x)＝－x3＋ax－eq \f(1,4)，g(x)＝ex－e(e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线与曲线y＝g(x)在(0，g(0))处的切线互相垂直，求实数a的值；
(2)设函数h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f(x)，f(x)≥g(x)，,g(x)，f(x)0时，f(x)≥2a＋alneq \f(2,a)．
【题型精练】
1．（2022·广东·高三期末）已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax的图象在x＝0处的切线方程是x＋y＋b＝0．
(1)求a，b的值；
(2)求证函数f(x)有唯一的极值点x0，且f(x0)>－eq \f(3,2)．
2. （2022·山东·历城二中期末）已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝aex－2x，a∈R．
(1)求函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的极值；
(2)当a≥1时，证明：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))－lnx＋2x>2．