新高考数学一轮复习考点题型训练 3.1导数的概念及切线问题（精练）（2份，原卷版+解析版）

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【题型一 导数的运算】
1. （多选）（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】，，，
，故AD错误，BC正确.
故选：BC.
2.（2022·全国高三专题练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)因为，所以；
(2)因为，所以；
(3)因为，所以；
(4)因为所以
3．（2022·全国高三课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】(1)因为，故.
(2)因为，故.
(3)因为，故.
4. （2022·全国高三课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)
(3)
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)
(2)
(3)
【题型二 导数求切线方程（两类）】
1.（2022·郸城县实验高中高三期末）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】，，∴，∴．将代入得，∴．故选：C．
2．（2022·吉林·白城一中高三模拟）曲线过点的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得点不在曲线上，
设切点为，因为，
所以所求切线的斜率，
所以.
因为点是切点，所以，
所以，即.
设，明显在上单调递增，且，
所以有唯一解，则所求切线的斜率，
故所求切线方程为.
故选：B.
3.（2022·定远县育才学校期末）曲线在点处的切线方程为，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】由切点在曲线上，得①；
由切点在切线上，得②；
对曲线求导得，∴，即③，
联立①②③，解之得
故选：A.
4. （2022·广东·新会陈经纶中学）（多选）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】设切点为，则，所以，
所以切线方程为，
因为切线过点（1，3），所以，即，即，
解得或，所以切线方程为或，故选：AB
【题型三 切线中求参问题】
1.（2022·全国高二课时练习）若曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】由，显然在曲线上，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
因此切线方程为：，
直线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，
故选：C
2．（2022·新余市第一中学模拟）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为______．
【答案】
【解析】由题得，所以，所以曲线在点处的切线斜率为3，
又曲线在点处的切线与直线垂直，所以，解得．故答案为：.
3．（2022·重庆八中高三月考）已知函数在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．－2B．－1C．2D．3
【答案】B
【解析】函数的导数为，
∴，即函数在处的切线斜率为，
由切线与直线垂直，
可得，
解得.
故选：B.
4.（2022·全国高三专题练习）曲线在点处的切线方程为，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】由切点在曲线上，得①；由切点在切线上，得②；
对曲线求导得，∴，即③，联立①②③，解之得
故选：A.
5. （2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习）若曲线存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，f(x)存在垂直与y轴的切线，即存在切线斜率的切线，
又，，
∴有正根，即有正根，
即函数y＝－2a与函数的图像有交点，
令，则g(t)＝，∴g(t)≥g()＝，
∴－2a≥，即a≤.
故选：C.
6. （全国卷高考）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【解析】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,故答案为：
【题型四 公切线问题】
1. （2022·安徽省舒城中学高三模拟）已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为_____.
【答案】或
【解析】设与曲线相切于点，与曲线相切于点1），
则，整理得，解得或，
当时，的方程为；当时，的方程为.故答案为：或.
2.（2022·全国高三专题练习）若曲线与曲线在公共点处有公共切线，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设公共点为，的导数为，曲线在处的切线斜率，
的导数为，曲线在处的切线斜率，
因为两曲线在公共点处有公共切线，所以，且，，
所以，即解得，所以，解得，
故选：A．
3.（2022·全国高三专题练习）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．B．1C．eD．
【答案】B
【解析】设直线与曲线相切于点，
直线与曲线相切于点，
则，且，所以，
，且，所以，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，，所以当时，，
因为，，即，
所以，
所以，故
故选：B
4. (2022·江南十校联考) （多选）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】设直线与曲线相切于点，
与曲线相切于点，
对于函数，，则，解得，所以，即.
对于函数，，则，
又，所以，
又，所以，.故选：AD
5．（2022·安徽省舒城中学高三三模）若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（ ）
A．0B．1C．eD．
【答案】D
【解析】设l与的切点为，则由，有.
同理，设l与的切点为，由，有.
故 解得 或 则或.
因，所以l为时不成立.故，
故选：D.
6. （2022·安徽·合肥一六八中学）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________.
【答案】1或
【解析】设与和的切点分别为；
由导数的几何意义可得，即，
∴，∴∴
当时，，当时，∴或.故答案为：1或.
【题型五 与切线有关的距离问题】
1.（2022·山东济南期末）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
的最小值可转化为函数图像上的点与直线上的点的距离的最小值.
【解析】设,,
点在函数上，点在函数上，
表示曲线上点到直线的点距离.
由，可得，与直线平行的直线的斜率为，
令，得，所以切点的坐标为，
切点到直线的距离.
的最小值为.
故选：B
2.（2022·云南昆明市·昆明一中高三期末）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，令，解得，所以，故的最小值为到的距离，．故选：B．
3.（2022·安徽省泗县第一中学高三模拟（理））已知，，的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【解析】可以转化为：是函数图象上的点，是函数上的点，.
当与直线平行且与的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值.
令，解得或，（舍去），又，
所以切点到直线的距离即为的最小值.
所以，所以.
故选：B.
4. （2022·江西·新余市）若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为_______
【答案】
【解析】设与直线平行且与曲线相切于点时，
此时两点距离的最小值为点到直线的距离，
因为，所以，即得，
，所以点到直线的距离为，
所以两点距离的最小值为．故答案为：