新高考数学三轮冲刺小题限时练07（2份，原卷版+解析版）

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1．已知集合A＝{1，2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{}，则A∪B＝（ ）
A．{，1，0}B．{﹣1，}C．{，1}D．{﹣1，，1}
【答案】D
【分析】根据A∩B＝{}，求出a，b的值，进而可得答案．
【详解】解：∵集合A＝{1，2a}，B＝{a，b}，
若A∩B＝{}，则2a，即a＝﹣1，
且b，
故A＝{1，}，B＝{，﹣1}，
故A∪B＝{﹣1，，1}，
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是集合的交并补混合运算，难度不大，属于基础题．
2．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的运算化简，求模即可.
【详解】,
,
故选：D
【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，复数模的计算，属于容易题.
3．已知向量，，，的夹角为45°，若，则
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】利用向量乘法公式得到答案.
【详解】向量，，，的夹角为45°
故答案选C
【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
4．设正项等比数列的前项和为，，．记，下列说法正确的是（ ）
A．数列的公比为B．
C．存在最大值，但无最小值D．
【答案】C
【分析】根据题意，由，求出公比，可判断A的正误；利用等比数列的前项和公式求出，可判断B的正误；根据题意求出，可判断C，D的正误.
【详解】因为，，
所以正项等比数列的公比满足，且，
所以，故A错误；
由等比数列的前项和公式可得，，
因为，所以，故B错误；
因为，
所以，
易知，由指数函数单调性可知，
所以存在最大值，但无最小值，故C正确；
，故D错误；
故选：C.
5．中，角的对边分别为，且满足，则角的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据题中所给的条件，结合余弦定理，得到，化简整理得到，再利用余弦定理，求得.
【详解】根据题的条件，结合余弦定理可得，
整理得，即，
所以有，
因为，所以，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，特殊角的三角函数值，属于简单题目.
6．若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递增区间为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间．
【详解】，
求导
解得
，则当时，．
则的单调递增区间是．
故选A
【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率．已知两点坐标也可求斜率．本题还考查了导数在研究函数性质中的应用．
7．已知，且，，，则（ ）
A．c＜b＜aB．b＜c＜a
C．a＜c＜bD．a＜b＜c
【答案】D
【分析】变形给定的各个等式，构造函数，借助函数的单调性比较大小作答.
【详解】依题意，，，，
令，求导得：，当时，，当时，，
因此，函数在上单调递增，在上单调递减，
显然，，则，又，
于是得，又，所以.
故选：D
8．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减
D．是最小正周期为的周期函数
【答案】C
【分析】应用奇偶性定义判断A，根据、是否成立，即可判断B、D，由，应用换元法及导数研究复合函数的单调性判断C.
【详解】由题设，而且定义域为R，
所以是偶函数，A错误；
由，故关于对称，不关于对称，B错误；
由且，
令且，在已知区间上单调递减且，
则，故恒成立，即在上递增，
综上，在上递减，C正确.
由，故不是函数的周期，D错误.
故选：C
9．关于的二项展开式，下列说法正确的有（ ）
A．展开式各项系数的和为B．展开式中奇数项的二项式系数和为
C．展开式中存在常数项D．展开式中含项的系数为
【答案】ABD
【分析】利用赋值法，求系数和，利用二项式系数和公式判断选项，以及利用通项公式判断选项.
【详解】A.当时，，所以展开式各项系数的和为，故A正确；
B.展开式的奇数项的二项式系数和为，故B正确；
C.，当时，不是整数，所以不存在常数项，故C不正确；
D.令，得，此时展开式中含项的系数是，故D正确.
故选：ABD
10．下列叙述中，正确的是（ ）
A．若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数，则平均数和方差都会发生变化；
B．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，采用按比例分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为500的样本进行调查.已知该校一､二､三､四年级本科生人数之比为，若从四年级中抽取160名学生，则；
C．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数据的平均数为2，方差为，则这组数据一定没有出现
D．一组数据按从小到大的顺序排列为（其中），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均数5.
【答案】BCD
【分析】根据平均数的定义可判断A不正确；利用抽样比进行计算可判断B正确；这组数据有，根据方差公式可得方差大于，由此可判断C正确；根据中位数、众数和平均数的定义计算，可判断D正确.
【详解】对于A，若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数，则平均数增加.故A不正确；
对于B，抽样比为，所以，解得，故B正确；
对于C，若这组数据有，设其它4个数据分别为，则方差，所以这组数据一定没有出现.故C正确；
对于D，因为数据（其中）的中位数为，众数为，
所以，解得，所以该组数据的平均数为.故D正确.
故选：BCD
11．已知，函数，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】求出导函数，确定函数的单调性后判断．
【详解】时，，在上递增，，，
所以时，恒成立．因此AC错，BD正确．
故选：BD．
12．已知函数f(x)＝，下列选项正确的是（ ）
A．函数f(x)在(－1，0)上为减函数，在(0,＋∞)上为增函数
B．当x1>x2>0时，>
C．若方程f(|x|)＝a有2个不相等的解，则a的取值范围为(0,＋∞)
D．(1＋＋…＋)ln2≤lnn，n≥2且n∈N＋
【答案】BD
【分析】用导数求出的单调区间可判断A；构造函数，由的单调性可判断B；
转化为“方程在上有1个解”，求出的范围可判断C；构造不等式可证明D.
【详解】对于选项A：，.则，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以对任意，，即，所以在都是减函数，故A错误；
对于选项B：令，则，当时，，单调递增，
所以当时，，即，所以，故B正确；
对于选项C：因为是偶函数，所以“方程有2个不相等的解”等价于“方程在上有1个解”.
由A可知，在上单调递减，且时，；时，，
所以，当时，方程在上有1个解，即有2个不相等的解，故C错误；
对于选项D：由A知，在上单调递减，则对任意，，
即，所以当时，，即.
所以，，，，，以上式子相加得
，
即（时，等号成立），故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：
在判断B选项时，关键是构造函数；
在判断D选项时，关键是构造不等式，（）.
13．沿着一条笔直的公路有9根电线杆，现要移除2根，且被移除的电线杆之间至少还有2根电线杆被保留，则不同的移除方法有______种
【答案】21
【分析】把6根电线杆放好，7个空选择两个放入需要移除的电线杆，这样这两根需要移除的电线杆中间至少有一根，然后再把余下一根放到这两根中间去，问题得以解决．
【详解】把6根电线杆放好，7个空，选择两个放入需要移除的电线杆，
这样这两根需要移除的电线杆中间至少有一根，
然后再把余下一根放到这两根中间去，
所以有种方法，故答案为21．
【点睛】本题考查了排列组合在实际生活中的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题．
14．已知为钝角，若，则的值为______.
【答案】
【分析】利用同角三角函数关系可求得，利用二倍角公式可求得，，由，利用两角和差余弦公式可求得结果.
【详解】，，又，；
，
；
.
故答案为：.
15．圆：和圆：交于两点，则直线的方程是____．
【答案】
【分析】直接用两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程．
【详解】由
得
故答案为．
【点睛】本题考查了与圆与圆的位置关系相关的问题，考查了公共弦所在直线的求法，属于基础题．
16．如图圆锥内的球与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为，则圆锥侧面积的最小值为________．
【答案】
【分析】设圆锥的底面圆半径为，，根据题意得到，而圆锥的侧面积转化为，最后利用换元法求解最小值即可.
【详解】设圆锥的底面圆半径为，，
设球与侧面相切于点，在中，．
因为，则，
即，所以．
在中，，
故圆锥的侧面积
令，，则，
故
当且仅当，即，时，取等号，所以圆锥侧面积的最小值为．
【一题多解】解法一：设，在中，
，．
因为，
则，即，
所以，，
于是圆锥的侧面积
，
令，则，则，
当且仅当，即时取等号，所以圆锥侧面积的最小值为．
解法二：设，．
，且，
即，
，，
圆锥的侧面积
当且仅当时等号成立，故圆锥侧面积的最小值为．
故答案为：.
【点睛】本题考查圆锥的内切球、圆锥中相关量的计算，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算直观想象核心素养．
评卷人
得分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
评卷人
得分
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
评卷人
得分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。