新高考数学三轮冲刺小题限时练05（2份，原卷版+解析版）

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1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用补集与并集的定义计算即可.
【详解】因为，所以，
集合，，由补集的定义，可知，
根据并集的定义，可得.
故选：D.
2．已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】D
【分析】按照复数运算法则，以及复数相等的原理即可.
【详解】 ，所以 ；
故选：D.
3．11月29日，江西新余仙女湖的渔民们迎来入冬第一个开捕日，仙女湖的有机鱼迎来又一个丰收年.七位渔民分在一个小组，各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
A．96种B．120种C．192种D．240种
【答案】C
【分析】先将甲乙捆绑成一个单元，再讨论其所排位置，运算求解.
【详解】由题意可知：丙必须在最中间（第4位），则甲乙排在第1、2位或2、3位或5、6位或6、7位，
故不同的排法有种.
故选：C.
4．若函数在区间上的最大值为，则常数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为，由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质求出的最大值，结合已知条件可求得的值.
【详解】，
当时，，
则函数的最大值为，解得.
故选：C.
5．已知多项式，则（ ）
A．11B．74C．86D．
【答案】B
【分析】利用二项式定理分别求出与一次项的系数，再相加即可.
【详解】对于，其展开通项公式为，
令，得，故，
对于，其展开通项公式为，
令，得，故，
所以.
故选：B.
6．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先证明平面，以点为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立的空间直角坐标系，利用点到面的距离可求解.
【详解】解：由题意得：
因为，为中点
所以
又，与交于点A，平面，平面
所以平面
以点为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，
所以
所以
又，，设平面的法向量，则
令，则，，所以.点到平面的距离为，解得或（舍）
故选：A.
7．在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为（ ）
A．0.032B．0.048C．0.05D．0.15
【答案】B
【分析】由题意可知，分别求出此人来自三个地区的概率，再利用条件概率公式和全概率公式即可求得此人是流感患者的概率.
【详解】设事件为“此人是流感患者”，事件分别表示此人来自三个地区，
由已知可得，
，
由全概率公式得
故选：B
8．已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得内切球半径，再画图设底面半径为，利用三角函数值代换表达出表面积的公式，再设，根据基本不等式求最小值即可
【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号.
故选：A.
9．设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A．B．不与垂直
C．D．
【答案】ACD
【分析】由平面向量数量积的结合律可判断A;由平面向量垂直的条件、数量积的交换律可判断B；由三角形的两边之差小于第三遍可判断C;由平面向量的运算法则将式子展开即可判断D.
【详解】对于A，由平面向量数量积的结合律，可知A正确；
对于B，
，
所以与垂直，故B错误；
对于C，因为不共线，
所以组成三角形的三边，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选:ACD.
10．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（ ）
A．该圆台轴截面ABCD面积为
B．该圆台的体积为
C．该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°
D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm
【答案】ABD
【分析】求出圆台的高，根据梯形面积公式可求圆台轴截面的面积，从而可判断A；根据圆台的体积公式可判断B；圆台的母线与下底面所成的角为，从而可判断C；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，设的中点为P，连接，求出，即为沿着该圆台表面，从点C到中点的最短距离，从而可判断D.
【详解】由，且CD＝2AB，可得，高,
则圆台轴截面的面积为,故A正确；
圆台的体积为，故B正确；
圆台的母线与下底面所成的角为，其正弦值为,
所以，故C错误；
由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，
侧面展开图的圆心角.
设的中点为P，连接，可得,
则.
所以沿着该圆台表面，从点C到中点的最短距离为5cm，故D正确.

故选:ABD.
11．如图，过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为M，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足分别为、、N．则有（ ）
A．以AB为直径的圆与相切于点NB．
C．D．的最小值为8
【答案】ABC
【分析】由于可判断A，设l的方程为与联立可得即可判断B，根据焦半径公式及均值不等式可判断C，D．
【详解】，说明N在以AB为直径的圆上，
又，所以A正确；
设l的方程为与联立可得
，所以，，，，，
则，所以，所以，B正确；
，C正确；
，则，
中，，，由射影定理可得，则
当且仪当时取到，而，D错误．
故选：ABC
12．对，表示不超过的最大整数，如，，，我们把，叫做取整函数，也称之为高斯（）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”.早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（ ）最先提及，因此而得名“高斯（）函数”.在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（ ）
A．，B．，
C．，若，则D．，
【答案】BC
【分析】根据高斯函数的定义，结合特值法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：不妨取，则，而，故错误；
对B：不妨取，则，而，
满足，故B正确；
对C：因为，故可得同号；
当时，，满足题意；
当同为正数或负数时，设，其中和分别为的整数部分和小数部分，
因为，则，故，又同为小数，且符号相同，故，
即，则，若，则，故C正确；
对D：令，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
则当时，
；
又为单调增函数，故时，取得最大值；
当时，
；
又为单调增函数，故当时，取得最小值，
显然，不存在，使得，故D错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查函数新定义问题，涉及对数的运算，函数的单调性、特值法的综合应用，属困难题.
13．已知，则的外接圆的方程是___________．
【答案】
【分析】设外接圆的方程为，利用待定系数法求出即可.
【详解】解：设外接圆的方程为，
由题意得，解得，
所以的外接圆方程为.
故答案为：.
14．【安徽省合肥市2018冲刺最后1卷】为了研究某班学生的脚长(单位:厘米)和身高（单位:厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知.该班某学生的脚长为，据此估计其身高为__________．
【答案】.
【详解】分析：由，利用平均值公式求得样本中心点坐标，将其代入，可得的值，将再代人所求方程即可的结果.
详解：由，利用平均值公式求得，因为，
，从而当时，，故答案为.
点睛：求回归直线方程的步骤：①确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
15．直线与圆相交于两点A，B，点为圆心，且则___________.
【答案】1或−5##-5或1
【分析】由向量数量积的定义可得，根据余弦定理可得的长，由圆的垂经定理可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离可得答案.
【详解】如图，
由,
所以
在中,由余弦定理可得
所以
设圆心到直线的距离为，则
又，即
解得或
故答案为：或
16．已知定义在R上的偶函数满足，若，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】根据函数的满足的性质推得其周期，进而推得，再由集合偶函数的求导可得，可构造函数，并判断其单调性，从而将化为，即，利用函数单调性，即可求得答案.
【详解】 且是定义在R上的偶函数，
，以代换x，得，
∴是以3为周期的周期函数，
故，即 ﹔
由可得，即，
又，即，
令 ，则 ，
∴为R上的增函数，
∴不等式 即，
即，∴ ，
即不等式的解集为，
故答案为：
评卷人
得分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
评卷人
得分
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
评卷人
得分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。