新高考数学三轮冲刺小题限时练04（2份，原卷版+解析版）

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1．已知全集，集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解作答.
【详解】全集，集合，则，而，
所以.
故选：C
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】利用全称命题的否定是特称命题即得.
【详解】由题得命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
3．函数曲线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由对数函数的性质可求解.
【详解】因为对数函数恒过点，
所以函数曲线恒过点.
故选：C
4．下列各式的值不等于1的一个是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式、两角和的余弦、两角和的正切、同角三角函数的基本关系依次化简各选项即可.
【详解】，
，
，
.
故选：B
5．定义域为R的奇函数在区间上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性和单调性求解不等式即可.
【详解】因为定义在R上的奇函数在区间上单调递减，且，
所以在区间上也是单调递减，
且，
所以当时，，
当时，，
由可得或
解得或，
所以满足的x的取值范围是．
故选：D
6．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用奇偶性定义判断对称性，在趋向时的变化趋势，应用排除法，即可得答案.
【详解】由题设定义域为，且，
所以为偶函数，排除D；
当时，，此时趋向，趋向，排除A、C；
故选：B
7．已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义求得，在中，利用余弦定理求得，在中，再次利用余弦定理即可得解.
【详解】解：由题意可得，
因为，
所以，
因为为椭圆的上顶点，
所以，则，
在中，
，
在中，
，
即，所以，
即椭圆的离心率为.
故选：C.
8．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.
所以，即实数a的最小值为.
故选：D.
9．关于的一元二次不等式的解集为，则下列成立的是（ ）
A．
B．
C．关于的一元二次不等式的解集为
D．函数为其定义域上的减函数
【答案】AB
【分析】由题意可得和是方程的两个根，且，利用韦达定理可得，再逐项判断即可.
【详解】因为一元二次不等式的解集为，
所以和是方程的两个根，且，
所以，解得，
故，故A正确，B正确.
即为，即，解得,故C错误.
，函数上定义域为上的偶函数，在定义域上不单调，故D错误.
故选：AB
10．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为、，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向右，焦点坐标为B．C的准线方程为
C．的最小值为4D．
【答案】ACD
【分析】将抛物线方程改写成标准方程形式即可得焦点坐标和准线方程，即可知A正确，故B错误；分类讨论直线斜率是否存在联立直线方程和抛物线方程并利用焦点弦公式即可求得的最小值为4，且可得CD都正确.
【详解】抛物线C的标准方程为，开口向右，焦点坐标为， 准线方程，故A正确，故B错误；
设.易知符号相反.
当直线AB斜率不存在时，不妨设A在第一象限，则，，；
当直线AB斜率存在时，设AB方程为，，
易知，
联立，整理可得，
则，
故总有：，
由焦点弦公式可知，
当且仅当时，等号成立；
即的最小值为4，故C正确；
又，∴，
由，故D正确．
故选：ACD．
11．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则（ ）
A．B．的公差为9
C．D．
【答案】BD
【分析】设的公差为，依题意得到方程组，求出、，即可判断A、B，再根据等差数列的通项公式及前项和公式计算可得；
【详解】解：设的公差为.由，得，又，联立方程组解得，所以A错误，B正确；因为，，所以，故C错误；因为，所以D正确.
故选：BD
12．已知圆M：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别是A，B，下列说法正确的有（ ）
A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为B．切线长PA的最小值为1
C．四边形AMBP面积的最小值为2D．直线AB恒过定点
【答案】BD
【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可判断B，由题可得四边形AMBP面积为，可判断C，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线AB的方程，即可判断D.
【详解】由圆M：，可知圆心，半径，
∴圆心到直线l：的距离为，圆M上恰有一个点到直线l的距离为，故A错误；
由圆的性质可得切线长，
∴当最小时，有最小值，又，
∴，故B正确；
∵四边形AMBP面积为，
∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误；
设，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，又，
所以，即，
又圆M：，即，
∴直线AB的方程为：，即，
由，得，即直线AB恒过定点，故D正确.
故选：BD.
13．已知复数（为虚数单位），则复数的共轭复数___________.
【答案】
【分析】由共轭复数的定义即可判断答案.
【详解】由题意，的共轭复数为3+4i.
故答案为：3+4i.
14．设向量，，若，则__________.
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果.
【详解】，，解得：.
故答案为：.
15．在正方体中，M，N分别是线段，的中点，给出下面结论：
①平面；②；③平面；④平面MNB与平面ABCD相交.
其中正确结论的序号为________.
【答案】①②③④
【解析】利用正方体中的平行和垂直关系结合线线平行的传递性可得到答案.
【详解】如图
M，N分别是线段，的中点，
平面，所以平面，故①正确
在正方形中，有，由①可得，故②正确.
由，且与相交，所以平面，故③正确.
平面MNB与平面，显然有一个公共点,由公理3，则两个平面有经过该公共点的公共直线，所以平面MNB与平面ABCD相交，故④正确.
故答案为：①②③④
【点睛】本题考查线线垂直、线面垂直、线面平行等，属于中档题.
16．如图是函数的部分图象，已知函数图象经过、两点，则____________．
【答案】##
【分析】由图象可得出函数的最小正周期，可求得的值，再将点的坐标代入函数解析式，结合的取值范围可求得的值.
【详解】由图可知，函数的最小正周期为，所以，，
所以，，可得，
所以，，可得，
因为，所以，.
故答案为：.
17．已知函数，则_______.
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式，先求得,再求即为所求.
【详解】,
.
故答案为: .
评卷人
得分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
评卷人
得分
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
评卷人
得分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。