宁夏回族自治区吴忠市区2024-2025学年九年级下学期开学统测 数学卷（含解析）

这是一份宁夏回族自治区吴忠市区2024-2025学年九年级下学期开学统测 数学卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间120分钟，分值120分
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.每小题所给的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1. 中国代表队在第33届巴黎奥运会上取得了40金27银24铜的傲人成绩，并在多个项目上取得了突破，以下奥运比赛项目图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据中心对称图形的定义可得答案．
【详解】解：A．图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，变形的步骤进行配方后，判断即可．
【详解】解：
∴；
故选D．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式的性质是解答本题的关键．根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：A．
4. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 竹篮打水B. 守株待兔C. 水涨船高D. 水中捞月
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，熟知随机事件的定义是解题的关键．根据不可能事件的定义进行逐一判断即可，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A．竹篮打水是不可能事件；
B．守株待兔是随机事件；
C．水涨船高是必然事件；
D．水中捞月是不可能事件；
故选：B．
5. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据二次函数的顶点式，利用二次函数的平移规律即可求解．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向上平移5个单位，
得到抛物线的函数表达式为．
故选：B．
6. 如图，四边形内接于，E为BC延长线上一点．若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据邻补角互补求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数，最后根据圆周角定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．
7. 如图，是的切线，是切点，点为上一点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆中求角度，涉及切线性质、圆周角定理及四边形内角和为等知识，连接，如图所示，由切线性质得到，再由圆周角定理得到，最后由四边形内角和为计算即可得到答案，熟记切线性质、圆周角定理及四边形内角和是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
是的切线，
，
，
，
，
在四边形中，，，则由四边形内角和为可得，
故选：D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，绕原点顺时针旋转，得到，若，则点所经过的路径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，弧长的计算及勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．根据点可得，由勾股定理可得，由旋转的性质得到，最后根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：，
，
，
绕原点顺时针旋转，得到，
，
点所经过的路径长为.
故选：A．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是__．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是：，
故答案为：．
10. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此设出方程的另一个，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为，
∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
∴方程的另一根为1，
故答案为：1．
11. 若二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是_______．
【答案】m＜1
【解析】
【分析】根据△＞0⇔抛物线与x轴有两个交点，列出不等式即可解决问题．
【详解】解：∵二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴4-4m＞0，
∴m＜1．
故答案为：m＜1．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是记住△=0⇔抛物线与x轴只有一个交点，△＞0⇔抛物线与x轴有两个交点，△＜0⇔抛物线与x轴没有交点，属于中考常考题型．
12. 2024年6月27日，“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览在北京大运河博物馆开幕．据了解，开幕第一周的参观人数为4万人，第三周的参观人数增加到万人．设参观人数的周平均增长率为x，则可列方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题的关键．根据第一周的参观人数为4万人，设参观人数的周平均增长率为x，则第二周为，第三周为，根据已知条件第三周人数，列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设参观人数的周平均增长率为，根据题意得：
，
故答案为：．
13. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴是直线，当时，的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，根据图象及对称轴求出的对称点，结合图象轴上方即为的部分求解即可得到答案．
【详解】解：∵对称轴是直线，抛物线与轴交于点，
∴抛物线与轴另一个交点为，
根据图象得，当时，，
故答案为：．
14. 如图，已知的半径等于，则圆内接正六边形的边心距的长等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定及性质，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键．连接，，可得是等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出．
【详解】解：连接，，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
由题意可知，则垂直平分，
，，
，
故答案为：．
15. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长六寸．问：径几何？”意思是：如图，为的直径，弦，垂足为寸，寸，则直径的长度为______寸．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，解方程直接可得的值，即为圆的直径．
【详解】解：连接，
∵，且寸，
∴寸，
设圆的半径的长为，则
∵，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：，
解得：
∴(寸)，
故答案为：．
16. 数学兴趣小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在左右，由此可以估计白色部分的面积约为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了频率估计概率的实际应用，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．先求出点落在区域内白色部分的频率稳定在左右，再用这个结果乘以大正方形的面积即可解答．
【详解】解：根据题意，点落在区域内白色部分的频率稳定在左右，
因为大正方形的面积为，
所以由此可以估计白色部分的面积约为，
故答案为：1．
三、解答题（本题共9小题，共72分）
17. 解方程
（1）；
（2）在解方程时，小明同学的解答如下：

小军说小明的解答过程是错误的，开始出现错误的步骤是第 步，错误原因是 ．请给出正确的解答过程
【答案】（1），
（2）②，方程两边都除以的式子有可能等于0，正确的解答过程见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题关键．
（1）运用公式法求解即可；
（2）根据等式的性质进行判断，再利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：
，
，
∴，；
【小问2详解】
解：小军说小明的解答过程是错误的，开始出现错误的步骤是第②步，错误原因是方程两边都除以的式子有可能等于0；
正确的解答过程如下：
故答案为：②，方程两边都除以式子有可能等于0
18. 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）分别作出A、B、C关于原点对称的点，然后依次连接即可；
（2）分别将点B、C绕点A顺时针旋转90°得到对应点，然后依次连接即可．
【详解】（1）如图所示
（2）如图所示
【点睛】本题考查绘制中心对称图形和旋转，只需将图形上的关键点作相应对称或旋转变化即可．
19. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接．

（1）若，求的度数；
（2）若,，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理．
（1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，
∴；
【小问2详解】
∵，,，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴在中，．
20. 新中考理化科目更重视对学生独立思考、创新能力、分析和解决问题能力的考查．某校为培养学生动手和解决问题的能力，在期末考试中增设实验考试，规定每位学生必须从物理实验：A .测小石块密度， B.测定值电阻阻值；化学实验：C.配制30克的氧化钠溶液，D.过氧化氢分解制氧气这四个实验中抽取两个实验完成，假设小刚抽到每个实验的可能性相同．
（1）若小刚从中任意抽取一个实验，求小刚抽到实验C的概率；
（2）若小刚从中任意抽取两个实验，请用列表或画树状图的方法求小刚抽到的两个实验均为物理实验的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）利用树状图展示所有12种等可能的结果数，找到抽到的两个实验均为物理实验的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：若小刚从中任意抽取一个实验，则小刚抽到实验C的概率为；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由上图可得共有12种等可能的结果，其中抽到两个实验均为物理实验的结果有2种，
所以抽到两个实验均为物理实验的概率P=.
21. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形面积为．
（1）平行于墙的边为 米．（用含的代数式表示）
（2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
【答案】（1）
（2）能，的值为，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查列代数式及一元二次方程的应用，找出数量关系列出方程和函数解析式是解题的关键．
（1）根据可求出；
（2）根据矩形花圃面积能否为得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可．
【小问1详解】
解：设的长是，则米，
故答案为：；
【小问2详解】
解：能，的值为，理由如下：
根据题意：，
整理得：，
此时，，
，
，
，
．
22. 草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．
（1）计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留）
（2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数．
【答案】（1）
（2）216度
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用．
（1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解；
（2）根据扇形的弧长公式得到，求出n即可．
【小问1详解】
解：∵母线长为、高为，
∴底面半径为，
侧面积为；
【小问2详解】
解：设扇形卡纸的圆心角的度数为，
由题意得，
∴，
答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度．
23. 如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线性质与判定、三角形全等、扇形的面积、求不规则图形的面积以及含三角形的性质．解决本题的关键是掌握切线的判定定理以及求扇形的面积．
（1）利用是的切线，是的半径，求出，再证明出，求出，从而证明出切线．
（2）利用含三角形的性质求出边长，从而求出的面积．再利用扇形公式求出扇形的面积，求差即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵是的切线，是的半径．
∴
连接
在与中，
∴
∴
∵C为上的一点．
∴是的切线；
小问2详解】
∵，
∴ ，
∵，
，
∴，
∴
∴．
24. 某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件，在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价元，则每件商品利润________元，每星期可售出________件；（用含的代数式表示）
（2）若每星期售出商品的利润为元，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1），；
（2），；
（3）降价元时，利润最大且为元．
【解析】
【分析】（）根据题意列出代数式即可；
（）根据题意找出等量关系列式计算即可得；
（）根据二次函数的性质进行解答即可得；
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找出等量关系和掌握二次函数的性质．
【小问1详解】
解：设每件降价元，则每件商品利润（元），
每星期可售出件，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由（）得每件商品利润元，每星期可售出件，
∴每星期售出商品的利润，
∵降价要确保盈利，
∴，
解得；
【小问3详解】
解：由，
∵，
∴当时，每星期利润最大，为元，
答：当降价元时，利润最大且为元．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴于点C，交于点D，求的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）
（2）最大值为3，此时点P坐标为
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象性质，线段周长问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接把，代入，解得，即可作答．
（2）先设设点，再求出直线的解析式为，因为轴于点C，交于点D，所以，运用二次函数的图象性质，进行作答即可．
【小问1详解】
解：依题意，将，代入得，
，
，
∴ 抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵点P是直线上方抛物线上的一动点，且抛物线的解析式为，
∴设点，
∵点P是直线上方抛物线上的一动点，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得
∴直线解析式为，
∵轴于点C，交于点D，
∴，
∴，
整理得,
∴，
∵，
∴开口向下，
∵，
∴当时，的最大值，最大值为3．
此时代入，
得，
∴点P的坐标为．