江苏省苏州市吴江青云实验中学2024-2025苏科版九下数学第2周阶段性训练【含答案】

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A．24B．12C．8D．36
2．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＜0；③若（﹣2，y1）与是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2024•昆山市一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，E是CD边上一点，连接AE，沿AE翻折△ADE，得到△AFE，连接CF．当CF长度最小时，△CEF的面积是（ ）
A．B．C．D．2
4．如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A．B．C．2﹣D．
5．如图，四边形ABCD是矩形，分别以点B，D为圆心，线段BC，DC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接BE，DE，BD．若AB＝4，BC＝8，则∠ABE的正切值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线上，且0＜x1＜x2，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D．若△AOB的面积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题）
7．如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形OABC的面积是9，则k＝ ．
8．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝4，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值＝ ．
9．如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数（x＞0）的图象经过点C，则k的值为 ．
11．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝6，∠D是锐角，CE⊥AD于点E，F是CD的中点，连接BF，EF．若∠EFB＝90°，则CE的长为 ．
12．如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝ cm．
三．解答题（共4小题）
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣8ax+10a﹣1（a＜0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0），其中（0＜x2＜x1），且AB＝4，与y轴的交点为C，直线CD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0），过点E作直线l⊥x轴，与抛物线、直线CD的交点分别为P、Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以C、P、Q为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
14．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的，求此时点M的坐标；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围．
15．如图，已知O是△ABC边AB上的一点，以O为圆心、OB为半径的⊙O与边AC相切于点D，且BC＝CD，连接OC，交⊙O于点E，连接BE并延长，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）求证：OA•AB＝AD•AC；
（3）若AC＝16，tan∠BAC＝，F是AC中点，求EF的长．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ECA，
根据作图过程可知：
MN是AC的垂直平分线，
∴∠FOA＝∠EOC＝90°，AO＝CO，
在△AFO和△CEO中，
，
∴△AFO≌△CEO（ASA），
∴AF＝CE，
连接AE，
∵AE＝CE，
∴AE＝CE＝AF＝5，
∴BC＝BE+CE＝3+5＝8，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
AB＝＝4，
∴矩形的周长为2（AB+BC）＝2（4+8）＝24．
故选：A．
2．【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，b＜0．
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴①的结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴9a﹣3×2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴4a+c＝a＜0，
∴②的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），
∵a＜0，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
∵＞0＞﹣1，
∴y1＞y2．
∴③的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线一定经过点（1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，
∴④的结论正确；
∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），
∴﹣3k+c＝0，
∴c＝3k．
∵3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴3k＝﹣3a，
∴k＝﹣a．
∴函数y＝ax2+（b﹣k）x
＝ax2+（2a+a）x
＝ax2+3ax
＝a﹣a，
∵a＜0，
∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，
∴⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①②④，
故选：B．
3．【解答】解：连接AC，如图，
∵△ADE沿AE翻折至△AFE，
∴△ADE≌△AFE，
∴AF＝AD，DE＝EF，
∵AF+CF≥AC，
∴当点A、F、C三点共线时，AF+CF最小，此时CF的最小值＝AF+CF﹣AF＝AC﹣AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵AD＝3，CD＝4，
∴AC＝＝5，
∴CF长度的最小值＝5﹣3＝2，
设DE＝EF＝x，则CE＝4﹣x，
∵∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠CFE＝90°，
∵CE2＝EF2+CF2，
∴（4﹣x）2＝x2+22，
解得，x＝，
∴EF＝
∴△CEF的面积是2＝，
故选：C．
4．【解答】解：连接EF，如图：
∵正方形ABCD的面积为3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝，
∵CE＝1，
∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABF＝∠ABE＝30°，
在Rt△ABF中，AF＝＝1，
∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，
∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，
∵M，N分别是BE，BF的中点，
∴MN是△BEF的中位线，
∴MN＝EF＝．
故选：D．
5．【解答】解：∵BE＝BC，DE＝CD，BD＝BD，
∴△CBD≌△EBD（SSS），
∴∠CBD＝∠EBD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∠A＝90°，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠EBD，
∴OB＝OD，
设AO＝x，则OD＝8﹣x，
∴OB＝8﹣x，
由勾股定理得：AB2+AO2＝OB2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴tan∠ABE＝＝．
故选：C．
6．【解答】解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BH⊥x轴于点H，
∵A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线y＝上，
∴AF＝，BH＝，FH＝x2﹣x1，S△AOF＝＝S△BOH，
∴S梯形ABHF＝FH•（AF+BH）＝（x2﹣x1）（+），
∵S△AOB＝S△AOF+S梯形ABHF﹣S△BOH＝+（x2﹣x1）（+）﹣＝（x2﹣x1）（+），
∴（x2﹣x1）（+）＝，
∴﹣＝x1x2，
∴﹣＝，
设t＝，则t﹣＝，
解得：t＝2或t＝﹣（舍去），
∴＝2，
∵AC∥BD∥x轴，点C，点D在双曲线y＝图象上，
∴点C（2x1，），点D（2x2，），
∴AC＝2x1﹣x1＝x1，BD＝2x2﹣x2＝x2，
∴＝＝，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
7．【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x轴，
∴S△AOD＝|k|，S△BOD＝2，
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝|k|+2，
∴S平行四边形OABC＝2S△AOB＝|k|+4，
∵平行四边形OABC的面积是9，
∴|k|＝5，
∵在第四象限，
∴k＝﹣5，
故答案为：﹣5．
8．【解答】解：连接DC，由以CE为直径作⊙F，BC＝4，AC＝5，
得∠CDE＝90°，∠CDB＝90°，
得动点D在以BC中点O为圆心，2为半径的圆上运动，
当A，D，O在一直线上时，AO＝＝，
故AD≥AO﹣OD＝﹣2，
即AD的最小值＝﹣2，
故答案为：﹣2．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，
∵BA＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵BF平分∠ABE，
∴AO＝OE，BO⊥AE，
∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，
∴tan∠OAF＝＝，
∴＝，
故答案为：．
10．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示．
∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，
∴∠ECF＝90°．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF+∠FCB＝∠FCB+∠BCE＝90°，AC＝BC，
∴∠ACF＝∠BCE．
在△ACF和△BCE中，，
∴△ACF≌△BCE（AAS），
∴S△ACF＝S△BCE，
∴S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB+S△ABC．
∵将直线y＝﹣3x向上平移3个单位可得出直线AB，
∴直线AB的表达式为y＝﹣3x+3，
∴点A（0，3），点B（1，0），
∴AB＝＝，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝，
∴S矩形OECF＝S△AOB+S△ABC＝×1×3+××＝4．
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝4，
故答案为：4．
11．【解答】解：如图，延长BF交AD的延长线于Q，连接BE，设DE＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，AD＝BC＝5，
∴∠Q＝∠CBF，
∵DF＝FC，∠DFQ＝∠BFC，
∴△BCF≌△QDF（AAS），
∴BC＝DQ，QF＝BF，
∵∠EFB＝90°，
∴EF⊥QB，
∴EQ＝BE＝x+5，
∵CE⊥AD，BC∥AD，
∴CE⊥BC，
∴∠DEC＝∠ECB＝90°，
∵CE2＝DC2﹣ED2＝EB2﹣BC2，
∴（6）2﹣x2＝（x+5）2﹣52，
整理得：2x2+10x﹣72＝0，
解得x＝4或﹣9（舍弃），
∴BE＝9，
∴CE＝＝＝2，
故答案为：2．
12．【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，
∵CF＝4cm，FB′＝1cm，
∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5（cm），
由折叠得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，
∵CB′⊥AD于点F，
∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，
∴∠BCE＝∠B′CE＝∠BCB′＝×90°＝45°，DF＝＝＝3（cm），
∴∠HEC＝∠BCE＝45°，
∴CH＝EH，
∵＝sinB＝sinD＝＝，＝csB＝csD＝＝，
∴CH＝EH＝BE，BH＝BE，
∴BE+BE＝5，
∴BE＝cm，
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
13．【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝4，
∵AB＝4，
则点A、B的坐标分别为：（2，0）、（6，0）；
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6）＝a（x2﹣8x+12）＝ax2﹣8ax+10a﹣1，
则12a＝10a﹣1，
解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣6；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣6），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x﹣6，
设PQ交AC于点H，
设点P（t，﹣t2+4t﹣6），则点H（t，t﹣6），
则△APC面积＝PH×AO＝6×|（﹣t2+4t﹣6﹣t+6）|＝|﹣t2+3t|，
当点P在x轴上方时，则△APC面积＝﹣t2+3t，
∵＜0，故△APC面积有最大值，
当t＝3时，△APC面积最大值为：；
当点P在x轴上方时，则△APC面积＝t2﹣3t，
∵6＜t≤8，
在t＞3时，△APC面积随t的增大而增大，
∴当t＝8时，△APC面积最大，最大值为24，
综上，△APC面最大值24．
（3）存在，理由：
设点P（t，﹣t2+4t﹣6），则点Q（t，6），
在Rt△BCO中，tan∠OBC＝＝，
则以C、P、Q为顶点的三角形与△OBC相似时，
tan∠PCQ＝或3，
即tan∠PCQ＝＝＝3或，
解得：t＝2（舍去）或14或或．
14．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
令y＝0，则x＝1，
∴A（1，0），
将点A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，
得，
∴，
∴y＝x2﹣6x+5；
（2）设M（m，m2﹣6m+5），
令y＝0，则x2﹣6x+5＝0，
解得x＝5或x＝1，
∴B（5，0），
∴AB＝4，
∴S△ABC＝×4×5＝10，
∵△ABM的面积等于△ABC面积的，
∴S△AMB＝6＝×4×（﹣m2+6m﹣5），
解得m＝2或m＝4，
∴M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；
（3）将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，
∵∠B'AD+∠BAD＝90°，∠PAB+∠BAD＝90°，
∴∠B'AD＝∠PAB，
∵AB＝AB'，PA＝AD，
∴△ADB'≌△APB（SAS），
∴BP＝B'D，
∵PB＝2，
∴B'D＝2，
∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，
∵B（5，0），A（1，0），
∴B'（1，﹣4），
∵BF＝2，
∴F（7，0），
∴B'F＝2，
∴DF的最大值为2+2，DF的最小值为2﹣2，
∴2﹣2≤DF≤2+2．
15．【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AC与圆O相切于点D，
∴OD⊥AC，即∠ODC＝90°，
∵BC＝CD，BC＝DC，CO＝CO，
∴△OBC≌△ODC（SSS），
∴∠OBC＝∠ODC＝90°，即OB⊥CB，
∴BC是圆O的切线；
（2）证明：∵OD⊥AC，
∴∠ADO＝90°．
∵∠OBC＝90°，
∴∠ADO＝∠ABC．
又∵∠BAC＝∠DAO，
∴△AOD∽△ACB，
∴，
∴AO•AB＝AC•AD；
（3）解：∵∠OBC＝90°，
∴，
设AB＝3x，则BC＝4x．
∵AB2+BC2＝AC2，
∴（3x）2+（4x）2＝162，
解得：x＝（舍去负值），
∴AB＝，BC＝．
∵OD⊥AC，
∴，
设OD＝4y，
则OB＝4y，AD＝3y，
∴，
∴AB＝OA+OB＝9y＝，
解得：y＝，
∴OB＝，即⊙O半径为．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF＝BF＝AC＝8，
∴∠ABF＝∠BAF．
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠ABF＝∠BAF＝∠OBE＝∠OEB，
∴△OBE∽△FBA，
∴，即，
解得：BE＝，
∴EF＝BF﹣EF＝8﹣＝．
16．【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x．
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t，
将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，
∴，
解得．
∵A（4，0），B（1，4），
∴S△OAB＝×4×4＝8，
∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，
∴S△PAB＝S△PNB+S△PNA＝PN×BE+PN×AM＝PN＝4，
∴PN＝．
设点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+m）（1＜m＜4），N（m，﹣m+），
∴PN＝﹣m2+m﹣（﹣m+）＝．
解得m＝2或m＝3；
∴P（2，）或（3，4）．
（3）∵PD∥OB，
∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，
∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，
∵＝＝，＝＝，
∴+＝．
设直线AB交y轴于点F．则F（0，），
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图，
∵∠PDC＝∠OBC，
∴∠PDG＝∠OBF，
∵PG∥OF，
∴∠PGD＝∠OFB，
∴△PDG∽△OBF，
∴PD：OB＝PG：OF，
设P（n，﹣n2+n）（1＜n＜4），
由（2）可知，PG＝﹣n2+n﹣，
∴+＝＝＝PG＝﹣（n﹣）2+．
∵1＜n＜4，
∴当n＝时，+的最大值为．日期题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
B
C
D
C
C